Mathematische und statistische Methoden II

Transkript

1 Statistik & Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum ) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Psychologie Tests für Intervalldaten Struktur einer Prüfgröße Normal- verteilung Viele der bisher betrachteten Prüfgrößen folgen derselben Struktur: Geschätzt Erwartet Prüfgröße = Standardabweichung Der geschätzte Wert kann ein Datum, ein geschätzter Erwartungswert oder selbst eine Differenz sein, z.b. beim z-test x μ bei 1-Stichproben t-test μ c beim 2-Stichproben ( μ μy) 0 t-test (abh./unabh.)

3 Psychologie Tests für Intervalldaten Zwei Perspektiven Normal- verteilung Frage 1: Unterschreitet die Wahrscheinlichkeit für eine so extreme oder noch extremere Abweichung der Beobachtung von Erwartung ein Niveau α, gegebenen dass die H 0 gilt? Diese Frage wird über inferenzstatistische Tests beantwortet. Frage 2: Welches Intervall um die Beobachtung überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-α ihren tatsächlichen (wahren) Erwartungswert. Oder: Wie gut ist eine Schätzung anhand von Stichprobendaten? Diese Frage wird über g beantwortet

4 Psychologie Tests für Intervalldaten Zwei Perspektiven Ist die Verteilungsfunktion einer Prüfgröße bekannt, kann Normal- verteilung a) Die Überschreitungswahrscheinlichkeit für einen gegebenen Wert ermittelt werden b) Ein kiti kritischer Wert zu einer gegebenen Überschreitungswahrscheinlichkeit (i.e. Signifikanzniveau) gefunden werden

5 Psychologie Tests für Intervalldaten Zwei Perspektiven Normal- verteilung Ansatz: Die Formel zur Berechnung der Prüfgröße kann umgestellt werden: Geschätzt ( Prüfgröße Standardabweichung) = Erwartet Wird nun anstelle der Prüfgröße der kritische Wert für ein gegebenes Signifkanzniveau eingesetzt, so sind alle Terme der linken Seite bekannt. Daraus lassen sich nun so genannte berechnen. Diese geben den Bereich um einen Schätzwert an, der einen unbekannten Erwartungswert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit überdeckt.

6 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilte Prüfgrößen Normalverteilung Die Prüfgröße im z-test lautet z = x μ σ ˆ Diese Gleichung lässt sich umstellen zu μ = x z ˆ σ ˆ Mit einem kritischen Wert wird daraus μ u = x ˆ σ z α z α itdbid ist dabei der kiti kritische Wert zu einem Signifkanz- ifk niveau α, der aus einer Normalverteilung mit den Parametern x und σ ermittelt wurde. Das berechnete μ u ist der Wert, den ein Datum unterschreiten müsste, um signifikant zu werden

7 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung Normalverteilte Prüfgrößen Mithilfe des Vorzeichens lassen sich nun zwei Grenzen bestimmen μ u x z ˆ σ μ ˆ o x+ z α σ z α

8 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilte Prüfgrößen Normal- verteilung Beim Konfidenzintervall interessiert der Bereich, der den wahren Erwartungswert überdeckt, nicht der Bereich, außerhalb dessen er liegt. Man veranschaulicht dies, in dem man den kritischen Wert mit 1- α kennzeichnet. μ x μ x+ ˆ 1 σ u z ˆ α σ o z α

9 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilte Prüfgrößen Normal- verteilung Einseitige sind möglich, allerdings ist die zweiseitige Variante wesentlich verbreiteter Man veranschaulicht dies, in dem man den kritischen Wert mit 1- α/2 kennzeichnet. x z ˆ σ μ x+ z ˆ σ α 2 α 2

10 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilte Prüfgrößen Zusammenfassung Normal- verteilung Für für den Erwartungswert normalverteilter Daten wird zunächst ein kritischer Wert z 1-α bzw. z 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die Normalverteilung mit ˆ μ = x und n ˆ σ = s n 1 Die Grenzen der einseitigen sind dann [ ] x z ˆ α σ ; ; ˆ + bzw. [ x+ z α σ ] Das zweiseitige Konfidenzintervall ist x z ˆ ˆ α 2 σ ; x+ z1 α 2 σ

11 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung Normalverteilte Prüfgrößen Zusammenfassung Man sagt: Das 1-α Konfidenzintervall um den geschätzten Wert überdeckt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-α 100% den wahren Populationsparameter. Falsch ist: Der wahre Populationsparameter liegt mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-α 100% im 1-α Konfidenzintervall i um den geschätzten t Wert. Der wahre Populationsparameter hat einen festen Wert. Diesen hat er deterministisch, so dass er nicht mit einer Wahrscheinlichkeit in einem bestimmten Bereich liegt, sondern mit Sicherheit an einer gegebenen, wenn auch unbekannten Position.

12 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwerte Für für den Erwartungswert einer Mittelwerteverteilung wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n-1. Die Grenzen der einseitigen sind dann ˆ μ ˆ x t1 α σ ; + bzw. ˆ μ + t ˆ α σ ; x Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist ˆ μ ˆ ˆ ˆ x t1 α 2 σ ; μ x + t1 α 2 σ Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum 1- Stichproben t-test.

13 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwerte Für für den Erwartungswert einer Mittelwerteverteilung wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n-1. Die Grenzen der einseitigen sind dann ; x t α σ x t ˆ α σ ; + bzw. + ˆ Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist x t ˆ ˆ α 2 σ ; x + t α 2 σ Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum 1- Stichproben t-test.

14 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwertsdifferenz (unabh.) Für für den Erwartungswert der Differenz von Mittelwerten unabhängiger Stichproben wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n +n Y 2. Die Grenzen der einseitigen sind dann ˆ ˆ ˆ μμ t1 ; bzw. x y α σ + ; ˆ ˆ + t ˆ Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist μμ α σ x y ˆ ; ˆ t σ + t σ x y x y ˆ μμˆ α2 ˆ μμˆ α2 Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum unabhängigen 2-Stichproben t-test.

15 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwertsdifferenz (unabh.) Für für den Erwartungswert der Differenz von Mittelwerten unabhängiger Stichproben wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n +n Y 2. Die Grenzen der einseitigen sind dann ˆ 1 ; bzw. xy t α σ + ; + ˆ Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist xy t α σ ˆ ; ˆ xy t σ + t σ α xy α Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum unabhängigen 2-Stichproben t-test.

16 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwertsdifferenz (abh.) Für für den Erwartungswert der Differenz von Mittelwerten unabhängiger Stichproben wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n 1. Die Grenzen der einseitigen sind dann ˆ μ t ˆ ; bzw. α σ + ; ˆ μ + t ˆ α σ Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist ˆ μ t ˆ σ ; ˆ μ + t ˆ σ α 2 α 2 Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum abhängigen 2-Stichproben t-test.

17 Psychologie Tests für Intervalldaten Normalverteilung t-verteilte Prüfgrößen Mittelwertsdifferenz (abh.) Für für den Erwartungswert der Differenz von Mittelwerten unabhängiger Stichproben wird zunächst ein kritischer Wert t 1-α bzw. t 1-α/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die mit df = n 1. Die Grenzen der einseitigen sind dann ˆ t1 α σ ; + bzw. ; + ˆ Das zweiseitige iti Konfidenzintervall i it ist t α σ ˆ ˆ t1 α 2 σ ; + t1 α 2 σ Die Schätzung des Standardfehlers ist analog zum abhängigen 2-Stichproben t-test.

18 Psychologie Relevante Excel Funktionen NORMINV() TINV()