Dipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13

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1 Statistische Auswertungen mit R Universität Kassel, FB 07 Wirtschaftswissenschaften Dipl.-Volksw. Markus Pullen Wintersemester 2012/13 Beispiele 8. Sitzung Konfidenzintervalle, Hypothesentests > # Anwendungsbeispiel für die Normalverteilung: Konfidenzintervall für den Erwartungswert my der Normalverteilung (Arbeit im Folgenden mit der R-Konsole) > # Annahme: Die Körpergröße in unserer Fake-Datentabelle groe.gew.100 ist eine Ziehung aus einer normalverteilten Grundgesamtheit (realistische Annahme für wirklich gemessene Körpergrößen). Dann ist mean(groesse) ein erwartungstreuer Punktschätzer für den Erwartungswert my dieser Normalverteilung. > attach(groe.gew.100) > search() > mean (groesse) [1] > var (groesse) # Varianz der Stichprobe als erwartungstreuer Schätzer der Varianz der Grundgesamtheit (sigma) [1] > n = length (groesse) > 1/(n-1) * sum ( (groesse - mean(groesse) )^2 ) [1] > sd (groesse) # Standard deviation [1] > sqrt (var (groesse) ) [1] > mn.gr = mean (groesse) > sd.gr = sd (groesse) > # Wähle alpha = 0.05 => Konfidenzniveau 1 alpha = 0.95 > u.grenze = mn.gr - sd.gr / sqrt(n) * qnorm (0.975) > u.grenze [1] > o.grenze = mn.gr + sd.gr / sqrt(n) * qnorm (0.975) > o.grenze [1] > # Intervall von u.grenze bis o.grenze: eine Realisation des Konfidenzintervalls, das mit Wahrscheinlichkeit (1 alpha) den wahren Parameter my überdeckt. 1

2 > # Betrachten wir den kleinen Datensatz groe.gew mit n=10. Hier sollte statt der Standardnormalverteilung die t-verteilung mit n-1 Freiheitsgraden verwendet werden. Das Konfidenzintervall bezieht sich aber immer noch auf den Parameter my der Normalverteilung. > detach(groe.gew.100) > attach(groe.gew) > groesse [1] > n = length (groesse) > mn.gr = mean (groesse) > mn.gr [1] > sd.gr = sd (groesse) > u.grenze = mn.gr - sd.gr / sqrt(n) * qt (0.975, n-1) > u.grenze [1] > o.grenze = mn.gr + sd.gr / sqrt(n) * qt (0.975, n-1) > o.grenze [1] > # Wir erhalten dieses Konfidenzintervall auch als Nebenprodukt der Funktion t.test > t.test(groesse) One Sample t-test 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x > # Bei beiden Stichproben kommt der gleiche Punktschätzer heraus, aber bei n=100 ist die Schätzung genauer, d. h., das Konfidenzintervall kleiner. Das liegt vor allem an dem Ausdruck sqrt(n) in der Formel und nur zu einem kleinen Teil an der Diskrepanz zwischen Normalverteilung und t-verteilung. Hypothesentests: Die Daten entscheiden lassen Grundidee: 1. Formuliere eine Hypothese über eine Kennzahl der Grundgesamtheit (bzw. der theoretischen Verteilung), die sog. Nullhypothese H 0. Dabei erforderlich: Konkretisierung, auf welche Verneinung 2

3 der Nullhypothese der Test ausgerichtet werden soll -> Gegenhypothese/Alternativhypothese H 1. Oft sind unterschiedliche Verneinungen denkbar (z. B. zweiseitiger oder einseitiger Test). 2. Berechne mit Hilfe der aus den Daten ermittelten Entsprechung zu dieser Kennzahl eine Prüfgröße/Teststatistik, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung bei Gültigkeit der Nullhypothese bekannt ist. 3. Wie wahrscheinlich wäre der berechnete Wert der Prüfgröße bei Gültigkeit der Nullhypothese? Ist diese Wahrscheinlichkeit klein genug, deutet man das als Beleg dafür, dass die Nullhypothese nicht zutrifft, und lehnt sie ab. Dabei kann man aber danebenliegen (Fehler 1. Art: Ich lehne eine wahre Hypothese irrtümlich ab). Umgekehrt kann man auch danebenliegen (Fehler 2. Art). In diesem Fall wäre die berechnete Prüfgröße wahrscheinlich genug bei Gültigkeit der Nullhypothese, um als Beleg für ebendiese Gültigkeit interpretiert zu werden, obwohl die Nullhypothese in Wirklichkeit ungültig ist. 4. Die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art, die wir bereit sind, in Kauf zu nehmen, setzen wir vor dem Test fest und nennen sie α. Dieser Wert legt fest, welche Werte der Prüfgröße unwahrscheinlich genug sind, um die Nullhypothese abzulehnen. # Beispiel: Mittelwert der normalverteilten Grundgesamtheit # Annahme: Die Datentabellen groe.gew.100 und groe.gew sind Stichproben aus einer normalverteilten Grundgesamtheit (wie oben bei den Konfidenzintervallen) # Nullhypothese: die mittlere Körpergröße my der Grundgesamtheit beträgt 170 cm (eine konkrete Konstante) # Gegenhypothese: my!= (ungleich) 170 (zweiseitiger Test) # (denkbare Variante: my > 170, wenn ich begründet davon ausgehe, dass bei Ungültigkeit der Nullhypothese nur größere Werte in Frage kommen einseitiger Test) # Wähle alpha = 0.05 # Prüfgröße für Gauß-Test (große Stichproben) > attach (groe.gew.100) > n= length(groesse) > n [1] 100 > z = (mean (groesse) )/ (sd (groesse) / sqrt(n) ) > z [1] # z ist näherungsweise standardnormalverteilt (bei kleinen Stichproben: t-verteilt mit n-1 Freiheitsgraden) # Testentscheidung mit Verteilungstabelle: kritischen Wert für alpha (1-alpha/2 - Quantil, also Quantil der Standardnormal- 3

4 verteilung) aus Tabelle ablesen, wenn z > kritischer Wert (z unwahrscheinlich genug ): Nullhypothese ablehnen. # In R: 1-alpha/2 - Quantil berechnen mit qnorm: > z.krit = qnorm (.975) > z.krit [1] > # zum Vergleich, muss wg. Symmetrie der N(0,1) den gleichen Betrag haben. > qnorm (.025) [1] > abs (z) > z.krit > # Also: Nullhypothese ablehnen. > # Noch komfortabler: kein Quantil, sondern Antwort auf die Frage: Für welches alpha wäre z selbst der kritische Wert? Der Wert, der diese Frage beantwortet, heißt p-wert und gibt die Wahrscheinlichkeitsmasse an, die weiter außerhalb liegt als der Wert z. Mit seiner Hilfe kann ich die Nullhypothese für jedes beliebige alpha (verbreitet sind 0.1, 0.01 und vor allem 0.05) ablehnen, das größer ist als der p-wert. > p.wert = ( 1 - pnorm (z) ) * 2 > p.wert [1] e-09 > p.wert < 0.1 > p.wert < 0.05 > p.wert < 0.01 > # Ich lehne die Nullhypothese nicht nur zum Niveau alpha = 0.05 ab, sondern auch zu alpha = > # Wenn ich unsicher bin, wie klein eine kleine Stichprobe ist, kann ich vorsichtshalber den t-test verwenden. (Auch oben beim Quantil) > p.wert.t = ( 1 - pt (z, n-1) ) * 2 > p.wert.t [1] e-08 > p.wert.t / p.wert [1]

5 > # Dieser Wert ist zwar fast 15-mal so groß wie der Wert für die Standardnormalverteilung, aber immer noch deutlich kleiner als alle gängigen Werte für alpha, also lehne ich die Nullhypothese für alpha = 0.1, 0.05 oder 0.01 gleichermaßen ab. > # Für diesen Test gibt es auch eine Funktion in R: > t.test (groesse, mu = 170) One Sample t-test data: groesse t = , df = 99, p-value = 4.268e-08 alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x