Statistisches Testen

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1 Statistisches Testen Universität Duisburg-Essen, Fak. 4, FG Instrumentelle Analytik 7. Juni 2007

2 Statistisches Testen Inhaltsverzeichnis Schätzverfahren und Testverfahren sind Anwendungen der Stichprobentheorie. Bei den Testverfahren wird die mit der Stichprobe gewonnene Information dazu verwendet, eine Entscheidung über eine Hypothese zu treffen. Hypothesen sind Annahmen hier über die Verteilung oder einzelne Parameter der Verteilung eines Merkmals in einer Grundgesamtheit.

3 Einstichproben-t-Test (I) t-tests beruhen auf der Annahme, dass die Daten aus der Normalverteilung N(µ, σ 2 ) stammen. Wir wollen die Nullhypothese µ = µ 0 testen. Wir können die Parameter µ, σ und den Standardfehler des Mittelwertes (SEM = σ/ n) durch den empirischen Mittelwert x, die Standardabweichung s und den empirischen SEM = s/ n schätzen. Es wird t = x µ 0 SEM berechnet und überprüft ob dieser t-wert innerhalb eines Annahmebereiches liegt, außerhalb dessen t mit einer Wahrscheinlichkeit fällt, die einem spezifizierten Signifikanzniveau α (z.b. 5%) entspricht.

4 Einstichproben-t-Test (II) Wenn t aus dem Annahmbereich herausfällt, dann wird die Nullhypothese verworfen (auf dem gewählten Signifikanzniveau). Alternativ (und gleichbedeutend damit) kann man den p-wert berechnen, der die Wahrscheinlichkeit beschreibt, mit der ein t-wert erhalten wird, der so groß oder größer wie der beobachtete t-wert ist. Man verwirft die Nullhypothese wenn der p-wert kleiner als das Signifikanzniveau α ist. Der Annahmebereich entspricht einem zweiseitigen (oder einseitigen) Konfidenzintervall um µ 0.

5 Einstichproben-t-Test (III) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen > daily.intake <- c(5260,5470,5640,6180,6390,6515, ,7515,7515,8230,8770) Untersuchen Sie ob die Energieaufnahme von 11 Frauen von einem empfohlenen Wert von 7725 kj systematisch abweicht! Wenn man davon ausgeht, dass die Daten von einer Normalverteilung stammen, geht es darum zu testen, ob die Verteilung möglicherweise einen Mittelwert von µ = 7725 besitzt.

6 Einstichproben-t-Test (IV) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen > t.test(daily.intake,mu=7725) One Sample t-test data: daily.intake t = , df = 10, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to percent confidence interval: sample estimates: mean of x

7 f Einstichproben-t-Test (V) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen Vertrauensbereich und Irrtumswahrscheinlichkeit α x µ 0 α 2 α x

8 f Einstichproben-t-Test (VI) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen Annahmebereich und Signifikanzniveau α, Fehler 1. Art x µ 0 α 2 α x

9 f Einstichproben-t-Test (VII) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen p-wert x µ 0 p 2 p x

10 f Einstichproben-t-Test (VIII) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen Fehler 2. Art β, Macht=1-β β Die Wahrscheinlichkeit, dass man eine falsche Nullhypothese ablehnt, nennt man die Macht (power) des Tests. µ β µ 0 α 2 α x

11 f Einstichproben-t-Test (IX) Tägliche Energieaufnahme in kj von 11 Frauen Fehler 2. Art β, Macht=1-β β µ β µ 0 α 2 α x >power.t.test(delta=mean1-mean, sd=sd(daily.intake), type="one.sample",n=n) One-sample t test power calc. n = 11 delta = sd = sig.level = 0.05 power = alternative = two.sided

12 Zweistichproben-t-Test (I) Die Daten stammen aus zwei Gruppen x 11,..., x 1n1 und x 21,..., x 2n2, bei denen wir davon ausgehen, dass sie aus den Normalverteilungen N(µ 1, σ 2 ) und N(µ 2, σ 2 ) gezogen wurden und man möchte die Nullhypothese µ 1 = µ 2 testen. Man kann dann t = x 2 x 1 berechnen, wobei der Standardfehler der SEDM Differenz der Mittelwerte SEDM = SEM1 2 + SEM 2 2 ist.

13 Zweistichproben-t-Test (II) Vergleich des Energieverbrauchs zwischen schlanken und adipösen Frauen > data(energy) > attach(energy) > energy expend stature obese lean lean lean lean

14 Zweistichproben-t-Test (III) Vergleich des Energieverbrauchs zwischen schlanken und adipösen Frauen > t.test(expend~stature,var.equal=t) Two Sample t-test data: expend explained by stature t = , df = 20, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean in group lean mean in group obese

15 Zweistichproben-t-Test (IV) Vergleich des Energieverbrauchs zwischen schlanken und adipösen Frauen Das Konfidenzintervall [ ] bezieht sich auf die Differenz der Mittelwerte und enthält nicht 0, was in Übereinstimmung mit dem p-wert= ist und einen signifikanten Unterschied auf dem 5% Signifikanzniveau anzeigt.

16 Der gepaarte t-test (I) Gepaarte t-tests werden durchgeführt, wenn man zwei Messreihen mit der gleichen experimentellen Einheit durchführt. Die Theorie beruht im Wesentlichen auf der Bildung von Differenzen, wodurch man das Problem auf einen Einstichproben-t-Test reduziert. Beachten Sie jedoch, dass implizit davon ausgegangen wird, dass solche Differenzen eine Verteilung haben, die unabhängig vom Ausprägungsgrad der untersuchten Eigenschaft ist.

17 Der gepaarte t-test (II) Vergleich der prä- and postmenstruellen Energieaufnahme einer Gruppe von Frauen > data(intake);attach(intake) > intake pre post > post-pre [1]

18 Der gepaarte t-test (III) Vergleich der prä- and postmenstruellen Energieaufnahme einer Gruppe von Frauen: Bland-Altmann Plot difference Bland Altmann Plot > average <- (pre + post)/2 > difference <- post-pre > plot(average,difference, ylim=c(-3000,3000),col=2, cex=2,lwd=2) > text(6000,2000, labels="bland-altmann Plot",cex=2) average

19 Der gepaarte t-test (IV) Vergleich der prä- and postmenstruellen Energieaufnahme einer Gruppe von Frauen > t.test(pre, post, paired=true) Paired t-test data: pre and post t = , df = 10, p-value = 3.059e-07 alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of the differences