Teil VIII Hypothesentests für zwei Stichproben

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1 Woche 9: Hypothesentests für zwei Stichproben Teil VIII Hypothesentests für zwei Stichproben WBL 15/17, Alain Hauser Berner Fachhochschule, Technik und Informatik Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 2 / 21 Lernziele Beispiel: Monoaminooxidase und Schizophrenie Sie können die richtige Wahl zwischen einem Ein- und einem Zweistichproben-Test (bzw. zwischen einem gepaarten und ungepaarten Test) treffen... einen 2-Stichproben-t-Test (ungepaarten t-test) durchführen, von Hand und in R... ein Vertrauensintervall für die Differenz zweier Erwartungswerte berechnen... einen Mann-Whitney-U-Test und einen Kolmogorov-Smirnov-Test in R durchführen Vorlesung basiert auf Kapitel 4.8 des Skripts Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 3 / 21 Monoaminooxidase (MAO): Enzym, das vermutlich eine Rolle spielt in der Regulierung des Verhaltens Studie: Aktivitätsniveau von 42 Patienten mit unterschiedlichem Typ von Schizophrenie untersucht MAO Aktivität I II III Schizophrenie Typ (Potkin et al., 1978) Haben Patienten mit unterschiedlichem Schizophrenie-Typ im Durchschnitt unterschiedliche MAO-Aktivitätsniveaus? Was ist der wesentliche Unterschied zum Datensatz mit der Durchblutung vor und nach Kaffee-Konsum? Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 4 / 21

2 MAO-Datensatz: zwei Stichproben vergleichen Situation beim MAO-Datensatz: zwei zu vergleichende Stichproben, deren Messwerte nicht gepaart werden können (d.h., deren Messungen nicht korrespondieren) Unterschied beim Durchblutungs-Datensatz: Messwerte der beiden Stichproben können gepaart werden; jeder Proband liefert Messwert vor und nach Kaffee-Konsum. Tests für zwei (ungepaarte) Stichproben: t-test für 2 Stichproben (oder ungepaarter t-test) Mann-Whitney-U-Test Kolmogorov-Smirnov-Test... und viele weitere, hier nicht behandelt Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 5 / 21 MAO-Datensatz: ungepaarter t-test 1. Modell: X i, Y i : MAO-Aktivität von Patienten mit Schizophrenie von Typ 1 bzw. 2. X 1,..., X n N (µ X, σ 2 ) Y 1,..., Y m N (µ Y, σ 2 ) 2. Nullhypothese: H 0 : µ X = µ Y Alternativhypothese: H A : µ X µ Y 3. Teststatistik: T = X Y s pool 1/n+1/m = , wobei s 2 pool = 1 n + m 2 ( (n 1)s 2 x + (m 1)s 2 y s 2 pool heisst gepoolte Stichproben-Varianz: es ist ein Schätzer für die (in beiden Stichproben als identisch angenommene) Varianz Verteilung von T unter H 0 : T t n+m 2 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 6 / 21 ) MAO-Datensatz: ungepaarter t-test MAO-Datensatz: ungepaarter t-test 4. Signifikanzniveau wählen: z.b. α = 5% 5. Verwerfungsbereich: K = (, t n+m 2,1 α/2 ] [t n+m 2,1 α/2, ) t k,α : α-quantil der t-verteilung mit k Freiheitsgraden (df) Hier: df = n + m 2 = 32; t n+m 2,1 α/2 = t 32,0.975 = p(t) t Quantile in R berechnen: > qt(0.975, n+m-2) [1] Testentscheid: H 0 wird verworfen, falls T K, andernfalls beibehalten Hier: T = , K = (, ] [2.0369, ); X K, daher wird H 0 verworfen p-wert: kleinstes Signifikanzniveau α, für welches H 0 verworfen wird Hier: p = 2 (1 F (T )), wobei F die kumulative Verteilungsfunktion mit n + m 2 Freiheitsgraden beschreibt. > 2*(1 - pt(t, n + m - 2)) [1] Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 7 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 8 / 21

3 Schneller geht s mit R... Annahmen prüfen > t.test(x, y, alternative = "two.sided", paired = FALSE, conf.level = 0.95) Welch Two Sample t-test data: x and y t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval: sample estimates: mean of x mean of y Die Annahmen der Normalverteilung der beiden Variablen X und Y sollten (graphisch) geprüft werden: Empirische Quantile Q Q Plot: X Theoretische Quantile Empirische Quantile Q Q Plot: Y Theoretische Quantile Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 9 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 10 / 21 Nicht-parametrische Tests für zwei Stichproben Mann-Whitney-U-Test Was tun, wenn Voraussetzungen für gepaarten t-test nicht erfüllt sind? Alternative: nicht-parametrische Tests: Mann-Whitney-U-Test (auch Wilcoxon-Mann-Whitney-Test genannt) Kolmogorov-Smirnov-Test Beide Alternvativen lassen sich auf zwei unabhängige Stichproben X 1,..., X n und Y 1,..., Y m anwenden. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 11 / Modell: Verteilung der Stichproben X i und Y i unterscheidet sich bloss um eine Verschiebung, ist sonst aber beliebig. Formal: wobei F Y (y) = F X (y a). X 1,..., X n F X, Y 1,..., Y m F Y, 2. Nullhypothese: H 0 : a = 0 (keine Verschiebung, d.h. identische Verteilungen) Alternativhypothese: H A : a 0 Teststatistik und deren Verteilung sind kompliziert, in der Praxis nur mit Software zu berechnen. Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 12 / 21

4 Mann-Whitney-U-Test in R Mann-Whitney-U-Test: Annahmen prüfen Mann-Whitney-U-Test ist auch in R-Funktion wilcox.test implementiert: > wilcox.test(x, y, alternative = "two.sided", paired = FALSE, conf.level = 0.95) Wilcoxon rank sum test with continuity correction data: x and y W = 221.5, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 Annahme, dass sich Verteilung beider Stichproben höchstens durch eine Verschiebung unterscheiden, ist nicht einfach zu prüfen. Möglichkeit: beide empirischen kumulativen Verteilungsfunktionen plotten: Fn(x) Emp. kumul. Vert.fn. X Y x Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 13 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 14 / 21 Kolmogorov-Smirnov-Test Kolmogorov-Smirnov-Test in R 1. Modell: X 1,..., X n F X, Y 1,..., Y m F Y (keine weiteren Annahmen an Verteilungen von X und Y ) 2. Nullhypothese: F X = F Y (beide Grössen haben dieselbe Verteilung) Alternativhypothese: F X F Y 3. Teststatistik: d = maximale Differenz zwischen empirischen kumulativen Verteilungsfunktionen von X und Y. Verteilung von d unter Nullhypothese ist kompliziert. > ks.test(x, y, alternative = "two.sided") Two-sample Kolmogorov-Smirnov test data: x and y D = , p-value = alternative hypothesis: two-sided Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 15 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 16 / 21

5 Überblick: verschiedene Tests und p-werte für MAO-Datensatz Wie aussagekräftig sind p-werte? Test p-wert, 2-seitig t-test Mann-Whitney-U-Test Kolmogorov-Smirnov-Test Je weniger Annahmen ein Test macht, desto universeller einsetzbar ist er, desto kleiner ist aber seine Macht. Beispiel t-test: Nullhypothese macht Aussage über Erwartungswert (oder Differenz von Erwartungswerten), nicht über ganze Verteilung. Nullhypothese ist nie exakt richtig. Mit genügend grosser Stichprobe können wir jede Nullhypothese verwerfen, bzw. beliebig kleine p-werte erhalten. Wissenschaftliche Publikationen: gewisse Journals verbieten aus dem Grund sogar die Publikation von p-werten... Alternative zum t-test: Effektstärke berechnen Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 17 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 18 / 21 Effektstärke MAO-Datensatz: Effektstärke Situation: 2 Stichproben, eine aus bestimmtem experimentellem Setting ({X i } i ), eine aus Kontrollgruppe ({Y i } i ) (es gibt alternative Definitionen) p(x) Grosse Effektstärke Effektstärke d = X Y s pool p(x) Kleine Effektstärke control exp. Im MAO-Datensatz haben wir X = Y = s pool = 3.293, daher eine Effektstärke von d = = 1.07 Density X (Typ I) Y (Typ II) y x x Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 19 / 21 Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 20 / 21

6 Literatur Steven G Potkin, H Eleanor Cannon, Dennis L Murphy, and Richard Jed Wyatt. Are paranoid schizophrenics biologically different from other schizophrenics? New England Journal of Medicine, 298(2):61 66, Berner Fachhochschule Haute école spécialisée bernoise Bern University of Applied Sciences 21 / 21