Aufgabe Σ erreichbare Punkte

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1 TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Stochastik Matrikel-Nr. Modulprüfung Prüfungsfach: Stochastik und Statistik für Ingenieure Prüfer: Prof. Hans-Jörg Starkloff Tag: 21. Juli 2016 Aufgabe Σ erreichbare Punkte erreichte Punkte Geben Sie zu allen Aufgaben einen nachvollziehbaren Lösungsweg an! Beantworten Sie die Fragen möglichst kurz und mit eigenen Worten! 1. Aufgabe: Ein System besteht aus vier Komponenten. Dabei sei A i (i = 1,..., 4) das Ereignis, dass die i-te Komponente des Systems ausfällt. Diese Ereignisse sind vollständig unabhängig und haben folgende Wahrscheinlichkeiten: P (A 1 ) = 0, 1 P (A 2 ) = 0, 05 P (A 3 ) = 0, 03 und P (A 4 ) = 0, 04. Fallen die Komponenten 1 und 2 gemeinsam aus, dann kommt es zum Ausfall des Systems. Das System fällt ebenfalls aus, falls die Komponenten 3 und 4 gemeinsam ausfallen. In allen anderen Fällen funktioniert das System. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das System funktioniert? 2. Aufgabe: Das Riesenrad auf dem Stadtfest verwendet drei verschiedene Sorten von Glühbirnen. Innerhalb eines Jahres fallen die Glühbirnen, je nach Sorte, mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten aus. Der Anteil der Glühbirnen am Riesenrad und die Ausfallwahrscheinlichkeiten sind in der folgenden Tabelle zu finden. Sorte Anteil Ausfallwahrscheinlichkeit 1 55% 5% 2 30% 3% 3 15% 1% a) Formulieren Sie vor der Berechnung der in b) und c) gesuchten Wahrscheinlichkeiten relevante Ereignisse und geben Sie dafür die aus dem Text folgenden Wahrscheinlichkeiten an! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt eine zufällig ausgewählte Glühbirne innerhalb eines Jahres aus? c) Eine zufällig ausgewähle Glühbirne ist innerhalb eines Jahres ausgefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es sich um eine von Sorte 2 handelt? 1

2 3. Aufgabe: Das Medienzentrum hat 10 Beamer der gleichen Marke in Betrieb. Bei jedem dieser Beamer kommt es mit einer Wahrscheinlichkeit von 4% innerhalb des Semesters zum Ausfall der Lampe. Die Lampen der Beamer fallen unabhängig voneinander aus. a) Wie ist die zufällige Anzahl X der Beamerlampen, die ausfallen, verteilt? (Parameter mit angeben!) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als eine Beamerlampe innerhalb des Semesters ausfällt? c) Eine noch funktionierende Beamerlampe ist am Ende des Semesters noch 70 e wert. Eine ausgefallende Lampe wird am Ende des Semesters durch eine neue ersetzt. Eine neue Beamerlampe ist 120 e wert. Wie groß ist der erwartete Wert der 10 Beamerlampen, nachdem die ausgefallenen ersetzt wurden? 4. Aufgabe: Welche der folgenden Verteilungen würde man zur Modellierung welcher Zufallsvariable verwenden: a: Binomialverteilung g: Normalverteilung b: diskrete Gleichverteilung h: stetige Gleichverteilung c: hypergeometrische Verteilung i: Exponentialverteilung d: geometrische Verteilung j: Erlangverteilung (spezielle Gammaverteilung) e: negative Binomialverteilung k: Weibullverteilung f: Poissonverteilung Ein Eisverkäufer verkauft an einem heißen Sommertag 800 Eiskugeln. Wie ist das zufällige summarische Gewicht der 800 verkauften Eiskugeln verteilt? Im Lagerraum ist eine Kiste mit 20 Äpfeln, davon sind sieben der Sorte Gala und 13 der Sorte Jonagold. Jemand entnimmt vier Äpfel aus der Kiste. Da das Licht im Lagerraum defekt ist, kann er bei der Entnahme nicht erkennen, zu welcher Sorte die Äpfel gehören. Wie ist die zufällige Anzahl X der Äpfel mit Sorte Jonagold unter den vier entnommenen verteilt? Bei der Endkontrolle von Fußbällen werden Bälle mit Mängeln aussortiert. Wie ist die zufällige Anzahl der kontrollierten Fußbälle bis zum elften Ball mit Mängeln verteilt? Angenommen, Ihnen und Ihrem Nachbarn fällt während der Klausur gleichzeitig jeweils ein Bleistift zu Boden. Wie ist der zufällige Winkel zwischen den beiden Geraden, auf welchen die beiden Stifte jeweils liegen, verteilt? Der Versicherung ist bekannt, dass Schäden innerhalb des Monats August rein zufällig auftreten, wobei die Anzahl der Schäden Poisson-verteilt ist. Wie ist die zufällige Zeit zwischen dem ersten und dem zehnten Schaden verteilt? Bei einem Spiel beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 30%. Das Spiel wird fünfmal unabhängig voneinander gespielt. Wie ist die zufällige Anzahl X der gewonnenen Spiele verteilt? 2

3 5. Aufgabe: Bei einem Eisverkäufer ist bekannt, dass eine Kugel Eis zwischen 50g und 60g wiegt. Das Gewicht einer Eiskugel kann als normalverteilt mit Erwartungswert 55g und Standardabweichung 2g modelliert werden. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Eiskugel mehr als 58g wiegt? b) Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Eiskugel weniger als 52g wiegt, soll höchstens 3% sein. Wie groß darf die Standardabweichung höchstens sein, damit diese Forderung erfüllt wird? Der Erwartungswert sei dabei unverändert 55g. 6. Aufgabe: In der Frühschicht sollen die Arbeitsabläufe verbessert werden. Zwei interessante Merkmale dabei sind: X 1 - Bearbeitungszeit und X 2 - Anzahl der Arbeiter in der Schicht. a) Welche Skala besitzen die Merkmale? b) Für 51 Stichprobenwerte von X 1 wurden die folgenden Grafiken erstellt. > boxplot(x1,horizontal = TRUE) > stripchart(x1,method = "stack") Begründen Sie Ihre Antworten zu folgenden Fragen anhand der Grafiken: i. Gibt es Bindungen? ii. Wieviele Ausreißer gibt es? c) Aus den 51 Stichprobenwerten der Bearbeitungszeit x 1, x 2,..., x 51 soll die erwartete Bearbeitungszeit geschätzt werden. Geben Sie dafür einen erwartungstreuen Schätzer an! 3

4 7. Aufgabe: Es ist bekannt, dass Mineralwasser mit einem relativ hohen Magnesiumgehalt empfehlenswert ist. Für zwei verschiedene Mineralwassersorten wurden unabhängig voneinander die folgenden Magnesiumgehalte in mg erhoben. l x1 (Sorte 1) 80,89 81,70 80,73 81,39 81,52 81,05 80,98 81,31 80,83 81,60 x2 (Sorte 2) 80,56 79,99 81,03 80,64 80,21 80,66 80,52 81,08 80,42 80,89 a) plot(x1,x2,horizontal=true,names=c("sorte 1","Sorte 2"), main="magnesiumgehalt") Magnesiumgehalt Sorte 1 Sorte Vergleichen Sie die Magnesiumgehalte der beiden Sorten bezüglich der Lage! b) Welche Stichprobensituation liegt vor? c) Testen Sie zum Niveau α = 0, 01, ob sowohl der zufällige Magnesiumgehalt der Sorte 1 als auch der der Sorte 2 (also beide) normalverteilt sind! Verwenden Sie aus den Tests (1) bis (19) (mit R) die richtigen Tests! Formulieren Sie die Hypothesen und treffen Sie die Testentscheidung! Wie lautet das Testergebnis? d) Testen Sie zum Niveau α = 0, 01, ob die Varianz des Magnesiumgehalts der Sorte 1 signifikant unterschiedlich zur Varianz des Magnesiumgehalts der Sorte 2 ist! Verwenden Sie unter Beachtung des Testergebnisses aus Aufgabenteil c) aus den Tests (1) bis (19) (mit R) den richtigen Test! Formulieren Sie die Hypothesen und treffen Sie die Testentscheidung! Wie lautet das Testergebnis? e) Es wird behauptet, dass der erwartete Magnesiumgehalt der Sorte 1 größer ist als der der Sorte 2. Testen Sie diese Behauptung zum Niveau α = 0, 01! Verwenden Sie unter Beachtung der Ergebnisse aus den Aufgabenteilen b),c) und d) aus den Tests (1) bis (19) (mit R) den richtigen Test! Begründen Sie die Wahl des Tests! Formulieren Sie die Hypothesen und treffen Sie die Testentscheidung! Wie lautet das Testergebnis? 4

5 (1) > shapiro.test(x1) Shapiro-Wilk normality test data: x1 W = , p-value = (2) > shapiro.test(x2) Shapiro-Wilk normality test data: x2 W = , p-value = (3) > Sorte<-as.factor(c(rep("Sorte1",length(x1)),rep("Sorte2",length(x2)))) > Magnesiumgehalt<-c(x1,x2) > fligner.test(magnesiumgehalt,sorte) Fligner-Killeen test of homogeneity of variances data: Magnesiumgehalt and Sorte Fligner-Killeen:med chi-squared = , df = 1, p-value = (4) > var.test(x1,x2,alternative="two.sided") F test to compare two variances F = , num df = 9, denom df = 9, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is not equal to sample estimates: ratio of variances (5) > t.test(x1,x2,alternative="two.sided") Welch Two Sample t-test t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than sample estimates: mean of x mean of y 5

6 (6) > t.test(x1,x2,alternative="less") Welch Two Sample t-test t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 -Inf sample estimates: mean of x mean of y (7) > t.test(x1,x2,alternative="greater") Welch Two Sample t-test t = , df = , p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to Inf sample estimates: mean of x mean of y (8) > t.test(x1,x2,alternative="two.sided",paired=true) Paired t-test t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to sample estimates: mean of the differences 0.6 (9) > t.test(x1,x2,alternative="less",paired=true) Paired t-test t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0 -Inf sample estimates: mean of the differences 0.6 6

7 (10) > t.test(x1,x2,alternative="greater",paired=true) Paired t-test t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to Inf sample estimates: mean of the differences 0.6 (11) > t.test(x1,x2,alternative="two.sided",var.equal=true) Two Sample t-test data: t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is less than sample estimates: mean of x mean of y (12) > t.test(x1,x2,alternative="less",var.equal=true) Two Sample t-test data: t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than 0 -Inf sample estimates: mean of x mean of y (13) > t.test(x1,x2,alternative="greater",var.equal=true) Two Sample t-test data: t = , df = 18, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to Inf sample estimates: mean of x mean of y 7

8 (14) > wilcox.test(x1,x2,alternative="two.sided") Wilcoxon rank sum test with continuity correction W = 88.5, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative ="two.sided") : (15) > wilcox.test(x1,x2,alternative="less") Wilcoxon rank sum test with continuity correction W = 88.5, p-value = alternative hypothesis: true location shift is less than 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative = "less") : (16) > wilcox.test(x1,x2,alternative="greater") Wilcoxon rank sum test with continuity correction W = 88.5, p-value = alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative ="greater"): (17) > wilcox.test(x1,x2,alternative="two.sided",paired=true) Wilcoxon signed rank test with continuity correction V = 53, p-value = alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative = "two.sided", paired = TRUE) : (18) > wilcox.test(x1,x2,alternative="less",paired=true) Wilcoxon signed rank test with continuity correction V = 53, p-value = alternative hypothesis: true location shift is less than 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative = "less", paired = TRUE) : 8

9 (19) > wilcox.test(x1,x2,alternative="greater",paired=true) Wilcoxon signed rank test with continuity correction V = 53, p-value = alternative hypothesis: true location shift is greater than 0 In wilcox.test.default(x1, x2, alternative = "greater", paired = TRUE) : 8. Aufgabe: Ein Hersteller von Vitamin-C-Tabletten möchte nachweisen, dass diese Erkältungen vorbeugen. Dazu führte er mit 400 Personen eine Untersuchung durch. Das Ergebnis seiner Untersuchung wurde wie folgt in R eingegeben: > Tabelle<-matrix(c(142,58,112,88),2,2,byrow=TRUE) > rownames(tabelle)<-c("vitamin C", "Placebo") > colnames(tabelle)<-c("nicht erkältet","erkältet") > Tabelle nicht erkältet erkältet Vitamin C Placebo a) Deutet der folgende Plot darauf hin, dass die Einnahme von Vitamin-C- Tabletten Erkältungen vorbeugt? Begründen Sie kurz! > mosaicplot((tabelle),main="mosaikplot",color=c("darkgreen","red3")) Mosaikplot Vitamin C Placebo erkältet nicht erkältet 9

10 b) Welche Hypothesen werden im Folgenden getestet? Wie lautet die Testentscheidung und das Testergebnis bei einem Signifikanzniveau von α = 0, 05? > chisq.test(tabelle, correct=false) Pearson's Chi-squared test data: Tabelle X-squared = , df = 1, p-value = c) Zur durchgeführten Untersuchung macht der Hersteller keine Angaben, wie die Personen für die Untersuchung ausgewählt wurden. Was lässt sich damit bezüglich der Brauchbarkeit der Untersuchung sagen? 10