Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg

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1 für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2016 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg

2 Einstichproben-t-Test und approximativer Gaußtest Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n E(X i ) = µ, Var(X i ) = σ 2 Hypothesenpaare: mit a) H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 b) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ < µ 0 c) H 0 : µ = µ 0 (oder µ µ 0 ), H 1 : µ > µ 0 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests Voraussetzungen: 1 Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder 2 Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 x i n 5 (bei B(1; p)) (approximativer Gaußtest) 197

3 Einstichproben-t-Test, approximativer Gaußtest Ablauf: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α 2 Festlegen des Verwerfungsbereichs B: Falls H 1 : µ µ 0 : B = ( ; x 1 α/2 ) (x 1 α/2 ; ) Falls H 1 : µ < µ 0 : B = ( ; x 1 α ) Falls H 1 : µ > µ 0 : B = (x 1 α ; ) Dabei steht x 1 α/2 bzw. x 1 α für das jeweilige Fraktil der t(n 1)-Verteilung bei n 29 bzw. der N(0; 1)-Verteilung bei n Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 3 Berechnen des Testfunktionswertes: v = x µ 0 n s x µ 0 n σ falls Grundgesamtheit N(µ; σ)-verteilt, σ unbekannt oder falls Verteilung der GG beliebig, n > 30, σ unbekannt falls Verteilung der GG beliebig, n > 30, σ bekannt x µ 0 n falls GG gemäß B(1; µ)-verteilt, n > 30 µ0 (1 µ 0 ) 198

4 Einstichproben-t-Test: Beispiel Beispiel t-test: Energieaufnahme von Frauen Empfohlene täglich Energieaufnahme für Frauen: 7724 kj (1845 kcal) Nehme einfache Stichprobe von 11 Frauen und teste zum Signifkanzniveau α = 0,05 für H 0 : Der Erwartungswert der täglichen Energieaufnahme für Frauen ist 7724 kj (µ 0 ) gegen H 1 : µ µ 0 daily.intake <- c(5260, 5470, 5640, 6180, 6390, 6515, 6805, 7515, 7515, 8230, 8770) t.test(daily.intake, alternative="two.sided", mu=7724, conf.level=0.95) ## ## One Sample t-test ## ## data: daily.intake ## t = , df = 10, p-value = ## alternative hypothesis: true mean is not equal to 7724 ## 95 percent confidence interval: ## ## sample estimates: ## mean of x ## Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 199

5 Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest Beispiel: X 1,..., X 2000 B(1; p) mit { 1, falls i-te Person Wähler einer bestimmten Partei X i = 0, sonst Ergebnis der Stichprobe: 2000 x i = 108 i=1 Prüfe H 0 : p 0,05 gegen H 1 : p > 0,05 zum Signifikanzniveau 2 % Lösung: approximativer Gaußtest bei dichotomer (zweiwertiger) Verteilung; Voraussetzung 2 erfüllt: Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 1 α = 0,02 2 N(0; 1) : x 1 α = x 0,98 = 2,05 (Tabelle) B = (2,05; ) 3 v = , = 0,82 0,05 (1 0,05) 4 v / B H 0 nicht verwerfen Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,01? Keine Änderung! 200

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7 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Gegeben: Einfache Stichprobe X 1,..., X n N(µ; σ) Hypothesenpaare: a) H 0 : σ 2 = σ 2 0 H 1 : σ 2 σ 2 0 b) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0), H 1 : σ 2 < σ 2 0 c) H 0 : σ 2 = σ 2 0 (oder σ 2 σ 2 0), H 1 : σ 2 > σ 2 0 Vorgehensweise: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α. 2 Festlegen des Verwerfungsbereichs: B = [ ) ( 0; x α/2 x1 α/2 ; ) im Fall a) B = [0; x α ) im Fall b) B = (x 1 α ; ) im Fall c) 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 3 Berechnung des Testfunktionswertes: v = (n 1)s2 σ 2 0 = 1 n σ 2 (x i x) 2 0 i=1 201

8 Chi-Quadrat-Test für die Varianz Beispiel: G N(µ; σ) (x 1,..., x 10 ) = (2100; 2130; 2150; 2170; 2210; 2070; 2230; 2150; 2230; 2200) Prüfe H 0 : σ = 40, H 1 : σ 40 zum Signifikanzniveau α = 0,1 Lösung: χ 2 -Test für die Varianz, Hypothese Fall a); Voraussetzungen sind erfüllt 1 α = 0,1 2 χ 2 (9) : x α 2 = x 0,05 = 3,33; x 1 α 2 = x 0,95 = 16,92 (Tabelle der χ 2 -Verteilung) 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests B = [0; 3,33) (16,92; ) 3 x = 1 10 ( ) = 2164 v = [( ) ( ) 2 ] = 16,65 v / B H 0 nicht verwerfen 202

9 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Situation: In Grundgesamtheit G: Zwei verbundene einfache Stichproben, also Beobachtung zweier Merkmale X, Y Hypothese: H 0 : Die beiden Merkmale X und Y sind in G unabhängig. H 1 : X und Y sind in G abhängig. Vorgehensweise Kontingenztest: 1 Festlegen des Signifikanzniveaus α. 2 Unterteilung der x-achse in k 2 und die y-achse in l 2 disjunkte, aneinander angrenzende Intervalle A 1,..., A k bzw. B 1,..., B l 3 Erstellen einer Kontingenztabelle mit Randhäufigkeiten: 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests x y B 1 B 2 B l A 1 h 11 h 12 h 1l h 1 A 2 h 21 h 22 h 2l h A k h k1 h k2 h kl h k h 1 h 2 h l n 203

10 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Vorgehensweise Kontingenztest (Fortsetzung): 4 Mit dem Fraktilswert x 1 α der χ 2 -Verteilung mit (k 1) (l 1) Freiheitsgraden: Berechnung des Verwerfungsbereichs B = (x 1 α ; ) 5 Zu jeder Kombination aus i = 1,..., k und j = 1,..., l: Berechnung der Größe h ij = h i h j n 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 6 Berechnung des Testfunktionswerts v: v = k i=1 j=1 ( ) l 2 h ij h ij = h ij k l i=1 j=1 h 2 ij h ij n 7 Ablehnung von H 0 genau dann, wenn v B. 204

11 Zwei verbundene einfache Stichproben: Kontingenztest Kontingenztest: Beispiel 400 Erstkandidaten einer praktischen Führerscheinprüfung schneiden abhängig von der besuchten Fahrschule folgendermaßen ab: Fahrschule A B C bestanden durchgefallen Zum Signifikanzniveau von 5 % soll getestet werden, ob das Bestehen der Prüfung unabhängig von der besuchten Fahrschule ist. Testdurchführung 1 Signifikanzniveau α = 5 % 2 entfällt, da Skalenniveau nominal 3 Kontingenztabelle: A B C best durchg χ 2 -Verteilung mit (3 1) (2 1) = 2 Freiheitsgraden: x 1 0,05 = x 0,95 = 5,99: B = (5,99; ) 5 Berechnung der h ij : A B C best ,2 51,8 durchg ,8 22,2 ( )2 6 v = (22,2 12)2 + 22,2 9,077 7 v B: Also wird H 0 abgelehnt, die Prüfungsergebnisse sind abhängig von der Fahrschule. 4. Induktive Grundlagen Punkt-Schätzung Intervall-Schätzung Signifikanztests 205

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13 übersicht Bücher Bamberg, Günter, Franz Baur und Michael Krapp (2011) Aufl. München: Oldenbourg Verlag. ISBN: Dalgaard, Peter (2002). Introductory Statistics with R. New York: Springer. 4. Induktive Fahrmeir, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz (2009). : Der Weg zur Datenanalyse. 7. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN:

14 übersicht zu Bildern und Daten Anscombe, Francis (1973). Graphs in Statistical Analysis. In: The American Statistician, S Bach, Axel, Reinhard Brüning, Katrin Krieft, Hilmar Liebsch und Martin Rosenberg (2006). Mit Zahlen lügen. URL: sendungsbeitraege/2006/1017/000_zahlen.jsp. 4. Induktive Fahrmeir, Ludwig, Rita Künstler, Iris Pigeot und Gerhard Tutz (2009). : Der Weg zur Datenanalyse. 7. Aufl. Berlin, Heidelberg: Springer. ISBN: Kramer, Walter (2011). So lügt man mit Piper Verlag. ISBN: 207

15 Poissonverteilung X λ P(λ), Verteilungsfunktionen F λ (x) = P(X λ x) x λ x λ Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 216

16 Poissonverteilung X λ P(λ), Verteilungsfunktionen F λ (x) = P(X λ x) x λ Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 217

17 Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung Dabei bedeutet Φ(x) zum Beispiel: Φ(2,13) = Φ(2,1 + 0,03) = 0,9834. Diesen Wert findet man in der Zeile mit x 1 = 2,1 und der Spalte mit x 2 = 0,03. x 1 \x Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 218

18 α-fraktile der χ 2 -Verteilung mit n Freiheitsgraden α \ n α \ n Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 219

19 α-fraktile der t-verteilung mit n Freiheitsgraden n \ α Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 220

20 α-fraktile der F-Verteilung mit den Freiheitsgraden ν 1 und ν 2 α = 0,95 ν 1 \ν α = 0,99 ν 1 \ν Induktive Binomialverteilung Poissonverteilung Standardnormalverteilung χ 2 -Verteilung t-verteilung F-Verteilung 221