Statistik II Februar 2005

Transkript

1 Statistik II Februar 5 Aufgabe Zufällig ausgewählten Personen der Zielgruppe wird der Prototyp eines neuen Konsumgutes vorgelegt, um die Zahlungsbereitschaft Z ( pro Einheit des Konsumgutes) zu ermitteln. Z werde als gleichverteilt über dem Intervall [0; a] unterstellt. a) Stellen Sie die für eine Stichprobenrealisation (z,z 2,...,z n ) resultierende Likelihood- Funktion f(z,z 2,...,z n a) auf. b) Es sei für n = 5 Personen die Stichprobenrealisation (z,...,z 5 ) = (6,8,,20,) registriert worden. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzwert â für a. Aufgabe 2 Aus der Grundgesamtheit der sechzig- bis siebzigjährigen männlichen Bewohner einer Großstadt wurden 00 zufällig (mit Zurücklegen) ausgewählt und befragt, ob sie Raucher sind, und wieviel Zeit pro Woche sie vor dem Fernseher verbringen. Dabei wurden 36 Raucher und 64 Nichtraucher registriert. Ferner wurden aus den in Minuten gemessenen wöchentlichen Fernsehzeiten x i, i =,...,00, die als Realisierungen normalverteilter Stichprobenvariablen angesehen werden können, bereits die Werte errechnet. 00 i= x i = 2840 und 00 i= x 2 i = a) Führen Sie je eine Intervallschätzung mithilfe eines symmetrischen Konfidenzintervalls zum Konfidenzniveau 0,5 durch für () den Anteil der Raucher, sowie (2) die Varianz der in Minuten gemessenen wöchentlichen Fernsehzeit in der vorliegenden Grundgesamtheit. b) Welcher Stichprobenumfang würde gewährleisten, dass ein zum Konfidenzniveau 0,5 gebildetes symmetrisches Konfidenzintervall für den Raucheranteil in der Grundgesamtheit höchstens die Länge 0,4 besitzt? c) Für die in a), (2) angegebene Varianz soll nun eine Punktschätzung mithilfe einer erwartungstreuen Schätzfunktion vorgenommen werden. Welches Schätzergebnis erhalten Sie?

2 Aufgabe 3 An den beiden Universitäten X und Y wurden für ein bestimmtes Fach identische Klausuren gestellt und diese nach demselben Bewertungsschema korrigiert. Aus Vereinfachungsgründen unterscheidet das verwendete Bewertungsschema nur die ganzen Noten,0 bis 5,0. Die Häufigkeiten der auf diese Weise ermittelten Klausurergebnisse können der folgenden Tabelle entnommen werden: Note,0 2,0 3,0 4,0 5,0 Universität X Universität Y Interpretieren Sie diese Noten als hinreichend kardinalskalierte Ergebnisse zweier einfacher Stichproben zu den Studienleistungen, die Klausurteilnehmer der beiden Universitäten (bei jeweils gleichem Klausur-Schwierigkeitsgrad und Bewertungsschema) zu erzielen im Stande sind. Für die Universität X wurden bereits das Stichprobenmittel x = 2,8 sowie die Stichprobenvarianz s 2 x =,35 zu den oben angegebenen Noten errechnet. a) Zu welchen Signifikanzniveaus kann (mit obigen Daten) statistisch bestätigt werden, dass (i) sich die erwarteten Studienleistungen zwischen den beiden Universitäten unterscheiden? (ii) Klausurteilnehmer der Universität X im Mittel bessere Noten als Klausurteilnehmer der Universität Y erzielen? b) Der für beide Universitäten tätige Prüfer vermutet, dass die Standardabweichung der Noten bei Universität Y mindestens so groß ist wie bei Universität X. Kann diese Vermutung mit obigen Daten widerlegt werden? Stellen Sie dabei sicher, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art nicht größer als % ist. Hinweis: Lineare Interpolation ist nicht erforderlich. Aufgabe 4 Beat Bichler, Gründer der schweizerischen Gastronomiefachschule Fondue Exklusiv, wählte aus der Grundgesamtheit aller bisherigen Absolventinnen und Absolventen der Schule 45 zufällig aus und befragte sie nach den beiden Merkmalen Jahreseinkommen (= X) und Geschlecht (= Y ). Die erhaltenen Beobachtungspaare (x i,y i ), i =,...,45 können als Ergebnis einer zweidimensionalen einfachen Stichprobe aus der Grundgesamtheit angesehen werden. Unter den Befragten waren 20 Frauen und 25 Männer. Getrennt nach dem Geschlecht der Befragten und jeweils aufsteigend sortiert lauten die ermittelten Jahreseinkommen x i (gemessen in Tsd. Schweizer Franken) für die 20 Absolventinnen: 3, 4, 42, 42, 44, 45, 46, 48, 4, 4, 5, 52, 52, 54, 56, 6, 65, 67, 6, 70 (mit x weiblich = 52,) für die 25 Absolventen: 33, 36, 37, 38, 40, 4, 42, 42, 43, 48, 50, 50, 5, 52, 55, 5, 5, 6, 64, 65, 7, 7, 77, 78, 80 (mit x männlich = 53,72) 2

3 Des Weiteren ist bekannt, dass die Standardabweichung des Jahreseinkommens in der Grundgesamtheit,6 (= σ x ) beträgt. Herr Bichler hegt die Vermutung, dass das mittlere Jahreseinkommen in der Grundgesamtheit höher sei als 56 Tsd. Schweizer Franken. a) Würden Sie eher ein hohes oder eher ein niedriges Signifikanzniveau wählen, wenn Sie Herrn Bichlers Vermutung statistisch bestätigen möchten? (Kurze Begründung!) b) Kann Herrn Bichlers Vermutung zur Irrtumswahrscheinlichkeit 0, statistisch bestätigt werden? Herrn Bichlers stets um die Gleichberechtigung des weiblichen Geschlechts bemühte Tochter Eva wittert nach einem flüchtigen Blick auf die Jahreseinkommenszahlen eine Ungerechtigkeit dergestalt, dass die beiden Merkmale Jahreseinkommen und Geschlecht nicht voneinander unabhängig sein könnten. c) Ordnen Sie zunächst alle Beobachtungen des Merkmals Jahreseinkommen, nach Geschlechtern getrennt, in folgende drei Intervalle ein: A : x i 44, A 2 : 44 < x i 54 und A 3 : x i > 54. Prüfen Sie anschließend zum Niveau α = 0,05, ob die beiden Merkmale Jahreseinkommen und Geschlecht in der Grundgesamtheit voneinander unabhängig sind oder nicht. Aufgabe 5 Wegen des enormen Andrangs hat ein Wirt eines Standes auf dem Alksburger Brückenfest eine neue vollautomatische Zapfanlage als Ersatz für die bisherige Anlage angeschafft. Kurze Zeit später glaubt der Wirt bemerkt zu haben, dass die neue Anlage pro Krug eine größere Menge abfüllt als die alte, die (wie der Wirt weiß) im Erwartungswert 48 Zentiliter (= cl) pro Krug abfüllte. Da er Gewinneinbußen befürchtet, beschließt er, von der neuen Anlage eine (einfache) Stichprobe von 32 Krügen zu nehmen und die Inhalte zu messen. Falls das Stichprobenmittel mehr als cl über dem Erwartungswert des Kruginhalts der alten Anlage liegt, soll dadurch als statistisch bestätigt gelten, dass die neue Anlage im Erwartungswert großzügiger abfüllt als die alte. Dabei geht der Wirt davon aus, dass die Abfüllmenge (in cl pro Krug) bei der neuen Anlage N(µ;σ)-verteilt ist, wobei der Wert σ 2 mit der entsprechenden Varianz der alten Anlage übereinstimmt und,053 (cl 2 ) beträgt. a) Formulieren Sie die Testhypothesen. b) Weisen Sie nach, dass die Gütefunktion des beschriebenen Tests die Gestalt g(µ) = Φ(2,2,88 µ) besitzt (mit Φ = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung). c) Berechnen Sie zur Gütefunktion aus b) die Funktionswerte g(47,5), g(48) und g(4) (auf drei Nachkommastellen genau). d) Geben Sie, falls möglich, auf drei Nachkommastellen genau einen Wert α an, so dass obiger Test ein unverfälschter Test zum Niveau α ist. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler. Art, wenn der wahre Erwartungswert pro Krug bei der neuen Anlage 4 cl beträgt? 3

4 Lösung zu Aufgabe a) Dichtefunktion der Gleichverteilung über [0; a]: { f(z) = a, falls 0 z a Likelihood-Funktion: f(z,...,z n a) = { a, falls minz n i 0 und maxz i a i i b) Wegen min{6,8,,20,} = 6 0, max{6,8,,20,} = 20 gilt: {, falls a 20 f(6,8,,20, a) = a 5 f(6,8,,20, a) maximal, falls a 20 minimal â = 20. Lösung zu Aufgabe 2 a) () Schätzung gemäß 3..3, Voraussetzung 5 Anzahl }{{ Raucher } 5 erfüllt c =,6; x = 0,36; ˆσ = 48; ˆσc =36 n = 0,04 KI = [0,266;0,454] (2) Schätzung gemäß 3.2, Voraussetzungen erfüllt c = 2 (,6+ 2 ) 2 = 72,; c 2 = 2 (,6+ 2 ) 2 = 27,3 (n )s 2 = ,4 2 = 000 v u = 773,86; v o = 357,84 KI = [773,86;357,84] b) n ( c L )2 = (,6 0,4 )2 = 6 c) s 2 = 000 = 000 Lösung zu Aufgabe 3 a) approximativer Zweistichproben-Gaußtest 4.6., Voraussetzung 4 aus Fig. 5 erfüllt: n = = 300 > 30; n 2 = = > 30 ȳ = 3; s 2 y = ( ) = 0,2; v = 2,8 3 = 2, (i) Fall 7 a): x α/2 2, α 2 0,82 α 0,0358 (ii) Fall 7 b): x α 2, α 0,82 α 0,07, ,2 4

5 b) Bamberg/Baur, S. 5, Fußnote : Transformation gemäß Universität X,8 0,8 0,2,2 2,2 Universität Y dann: approximativer Zweistichproben-Gaußtest 4.6., Vorauss. erfüllt (vgl. a), Fall 7 c) x = 300 (, ,2 3) = 0,32 s 2 x = 2 (, , ,32 2 ) = 0,48 v = ȳ = 0,32 0,65 = 4,40 0,48 ( ) = 0, ,5 s 2 y = ( ,65 2 ) = 0,5 v B = (2,33; ) Die Vermutung wird verworfen. Lösung zu Aufgabe 4 a) Ein hohes Signifikanzniveau, da dann der Verwerfungsbereich größer und mithin eine Ablehnung von H 0 ( Bestätigung von H ) wahrscheinlicher ist. b) approximativer Gaußtest 4., Voraussetzung 2 erfüllt, Fall 5 c) x = (20 52,+25 53,72) = 53; v =,6 45 = 2,06; B = (,282; ) v / B Die Vermutung kann nicht bestätigt werden. c) Kontingenztest 4., Voraussetzungen erfüllt, insbesondere h i j 5 h i j weibl. männl. h i h i j weibl. männl. A 5 4 A 56 A A A A 3 h j v = = 3,24; B = (5,; ); v / B H 0 nicht verwerfen Lösung zu Aufgabe 5 a) H 0 : µ 48; H : µ > 48 b) E( X) = µ; Var(,053 X) = 32 = 0,53; X N(µ; 0,53) g(µ) = P( X > 4) = F(4) = Φ( 4 µ 0,53 ) = Φ(2,2,88 µ) c) g(47,5) = Φ(2,2,88 47,5) = Φ(2,82) = 0,76 = 0,002 g(48) = Φ(2,2,88 48) = Φ(,88) = 0,6 = 0,030 g(4) = Φ(2,2,88 4) = Φ(0) = 0,5 = 0,500 d) α = sup g(µ) = g(48) = 0,030 µ 48 e) Wegen 4 Θ ist ein Fehler. Art nicht möglich!