Aufgabe 1. Die Abweichung Y vom errechneten Geburtstermin sei normalverteilt mit dem Erwartungswert

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1 Aufgabe 1 Marina hat ihr Studium satt und beschließt Hebamme zu werden. Sie beginnt ein Praktikum auf der Entbindungsstation eines großen städtischen Klinikums. Roswitha, eine erfahrene Hebamme, erklärt ihr, dass in einer acht Stunden dauernden Schicht durchschnittlich vier Kinder zur Welt kommen. a) Wie und mit welchem/welchen Parameter(n) ist die Zufallsvariable X : Anzahl der Geburten innerhalb von 24 Stunden verteilt? b) Berechnen Sie P (9 < X < 16). Die Abweichung Y vom errechneten Geburtstermin sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ Y = 0, d.h. im Mittel stimmt der Termin. Marina weiß aus Roswitha s langjähriger Erfahrung, dass 70% aller natürlichen Geburten bis zu zehn Tage vom berechneten Termin abweichen. c) Bestimmen Sie den 15%-Quantilswert y 0,15 der Zufallsvariablen Y und interpretieren Sie diesen. d) Berechnen Sie die Standardabweichung σ Y der Zufallsvariable Y. e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind um mehr als 14 Tage übertragen wird? Hinweis: Falls Sie Teilaufgabe d) nicht lösen konnten (und nur dann!), verwenden Sie σ Y = 11.

2 Lösung zu Aufgabe 1 a) X P oi(λ = 12) b) P (9 < X < 16) = F (15) F (9) λ = 12 nicht tabelliert, prüfe Approximation durch Normalverteilung: ( ) ,5 F (15) F (9) = Φ 12 Φ λ > 9 : Bedingung erfüllt. ( ) ( ,5 12 =Φ 3,5 3,4641 ) Φ c) 70% aller Geburten liegen im Intervall [ 10; 10]. Nutze Symmetrieeigenschaft der Normalverteilung mit µ Y = 0: Pr(Y < 10) = Pr(Y > 10) = 0, 15; y 0,15 = 10. ( 2,5 3,4641 ) = 0, % der Kinder kommen mindestens 10 Tage vor dem berechneten Termin zur Welt. d) e) λ 0,15 = y 0,15 µ Y σ Y = y 0,15 σ Y ; σ Y = y 0,15 λ 0,15 = 9, Pr(Y > 14) = 1 Pr(Y 14) = 0, Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind um mehr als 14 Tage übertragen wird beträgt 7, 35%. Alternativ mit σ Y = 11 : Pr(Y 14) = 0, 1016.

3 Aufgabe 2 Ein großes Nürnberger Marktforschungsinstitut kann wegen technischer Probleme keine Messdaten zu TV-Nutzung an seine Auftraggeber schicken. Stattdessen hat das Institut eilig Fragebögen an 22 Personen (zehn Frauen und zwölf Männer) geschickt, in denen die Merkmale Geschlecht und gestrige TV-Nutzung in Minuten (Selbsteinschätzung) erhoben werden. Für die 10 Frauen betrug die durchschnittliche TV-Nutzung 228 Minuten bei einer Stichprobenstandardabweichung von 11 Minuten. Für die insgesamt 12 Männer ergab sich eine durchschnittliche TV-Nutzung von 214 Minuten bei einer Stichprobenstandardabweichung von 13 Minuten. a) Schätzen Sie mit den obigen Informationen ein zweiseitiges 95%-Konfidenzintervall für die durchschnittliche TV-Nutzung in Minuten der Frauen. b) Ein Fernsehforscher behauptet, dass Frauen durchschnittlich mehr fernsehen als Männer, da sie mehr Zeit im Haushalt verbringen. (i) Mit welchem Test lässt sich die Aussage des Fernsehforschers überprüfen? Begründen Sie knapp. (ii) Formulieren Sie das zugehörige Hypothesenpaar so, dass Sie mit Hilfe des Tests die Hypothese des Fernsehforscher bestätigen können. Bei einer Nachbefragung wurde von 5 Männern die Information erhoben, wie viele Minuten TV-Nutzung auf die Sparte Sport und wie viele Minuten auf die Sparte Infotainment entfiel. Hierbei ergaben sich folgende Ergebnisse: i Sport Infotainment c) Ermitteln Sie bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0.05 anhand eines geeigneten Tests, ob es einen Unterschied in der durchschnittlichen Nutzung der beiden Sparten gibt.

4 Lösung: Aufgabe 2 a) Konfidenzintervall für den Mittelwert bei unbekannter Varianz: ( P X n t 1 α/2;n 1 S n n µ X n + t 1 α/2;n 1 S n n ) = 0, 95 Realisiertes KI für n = 10, X n = 228, S n = 11, t 0.975;9 = 2, 262: [ 228 2, = 220, 13; , ] = 235, b) i) Mittelwertdifferenzentest bei unverbundenen Stichproben, da es sich um die Messung des gleichen Merkmals bei zwei unabhängigen Teilstichproben handelt. ii) X: durchschnittliche TV-Nutzung Frauen Y : durchschnittliche TV-Nutzung Männer H 0 : δ = µ X µ Y 0 vs H A : δ > 0 [1 P] c) [7 Punkte]: Mittelwertdifferenzentest bei verbundenen Stichproben: X n Ȳn = D = 20 i Sport Infotainment d S 2 D = 1 n 1 n (D i D) 2 = 1 4 [( 25 20) ( 20 20) 2 ] = 3025 Hypothesenpaar: H 0 : δ = 0 vs H A : δ 0 Teststatistik: Kritischer Bereich: Testentscheidung: z = = 0, 8131 [1 P] Xn n Ȳn 0 > t 1 α/2;n 1 = t 0,975;4 = 2, 776 S D Die Teststatistik fällt nicht in den kritischen Bereich und die Nullhypothese, dass kein Unterschied vorliegt, kann nicht abgelehnt werden. Möglicherweise liegt aber ein Fehler 2. Art vor.

5 Aufgabe 3 Getreu dem Motto Gut Ding will Weile haben wartet die Bundesrepublik nun seit ca. fünf Monaten auf die Bildung einer neuen Regierung. Eine Gruppe von Politikwissenschaftlern möchte der Frage nachgehen, ob die Anzahl der Tage von der Wahl bis zur Regierungsbildung (Variable X) einen Einfluss auf die Effizienz der Regierung, gemessen anhand der Anzahl der verabschiedeten Gesetze während einer Legislaturperiode (Variable Y ), ausübt. Dazu betrachten die Forscher die Daten der letzten fünf Legislaturperioden (i = 1,..., 5), die Sie folgender Tabelle entnehmen können. 1 Bundestagswahl x i Y i Die Schätzung des linearen Regressionsmodells Û i -6,67-11,58-107,86 55,87 70,23 Y i = β 0 +β 1 x i +U i mit U i N(0, σ 2 ) und stochastisch unabhängig für i = 1,..., 5 mittels der KQ-Methode ergab für den Achsenabschnitt β 0 = 620, 755 sowie n (x i x) 2 = 1534, 8; Y = 538, 8. a) Schätzen Sie den Steigungskoeffizienten β 1 mittels der Methode der kleinsten Quadrate und interpretieren Sie diesen. Hinweis: Sollten Sie zu keiner Lösung gelangen (und nur dann!), verwenden Sie im Folgenden β 1 = 1, 80 als Ersatzergebnis. b) Bestimmen Sie die geschätzte Residuenvarianz σ 2 aus den vorliegenden Daten. c) Testen Sie mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%, ob die Anzahl der Tage bis zur Regierungsbildung einen Einfluss auf die Anzahl verabschiedeter Gesetze hat. Interpretieren Sie sowohl das Testergebnis als auch die Ihrem Test zugrundeliegende Fehlerwahrscheinlichkeit. 1 Quelle: Datenhandbuch des Bundestags.

6 Lösung zu Aufgabe 3 a) ˆβ 1 = n (x i ȳ)(y i Ȳ ) n sowie ˆβ 0 = Ȳ ˆβ 1 x (x i x) 2 ˆβ 1 = ˆβ 0 ȳ x Mit NR: x = 39, 2 erhalten wir: [1P.] ˆβ 1 = 2, 0907 [1P.] Interpretation: Mit jedem zusätzlichem Tag verringert sich die Anzahl der Gesetze um ca. 2,1! [1P.] b) ˆσ 2 = 1 n 2 Û i 2 [1P.] = 6622, 025 [1P.] c) Hypothesentest für Steigungskoeffizienten: [1P.] Hypothesenpaar: H 0 : β 1 = 0 vs H A : β 1 0 V ar( ˆβ 1 ) = ˆσ 2 1 Prüfgröße: Kritischer Bereich: n (x i x 2 ) = 4, 3146 ˆβ 1 β1 0 Var( ˆβ 1 ) = 2, = 1, 0065 [1P.] 4, 3146 t 1 α/2;n 2 = t 0,975;3 = 3, 18 [1P.] Entscheidung und Interpretation: Da 1, 0065 < 3, 18 kann die H 0 nicht abgelehnt werden. [1P.] Demnach hatten die Tage bis hin zur Regierungsbildung keinen signifikanten Einfluss auf die Anzahl der beschlossenen Gesetze. [1P.] Möglich ist ein Fehler 2. Art (β-fehler), sodass die H 0 nicht abgelehnt wurde, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist. [1P.] Die Wahrscheinlichkeit hierfür ist nicht quantifizierbar. [1P.]

7 Aufgabe 4 Ein hawaiianisches Flugunternehmen, dass Flüge von Maui nach Kauai anbietet, weiß aus jahrelanger Erfahrung, dass nur 85% der gebuchten Flüge tatsächlich angetreten werden. Beim nächsten durchgeführten Flug ist der kleine Flieger mit 25 gebuchten Tickets komplett ausgebucht. Gehen Sie davon aus, dass die einzelnen Flugbuchungen voneinander unabhängig sind. a) Wie und mit welchen Parametern ist die Anzahl der tatsächlich angetretenen Flugbuchungen von Maui nach Kauai verteilt? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von den 25 gebuchten Flügen i) genau 20 Flüge ii) weniger als 23 Flüge angetreten werden? Das Unternehmen vermutet außerdem, dass der Erhalt von Flugumbuchungen mit den vorliegenden Wettervorhersagen für den entsprechenden Flugtag zusammenhängt. Um diese Annahme zu untersuchen, wählt das Unternehmen zufällig 65 in der Vergangenheit durchgeführte Flüge aus und erstellt die folgende Kreuztabelle: Umbuchungen keine Umbuchungen schlechte Wettervorhersage gute Wettervorhersage c) Überprüfen Sie mithilfe eines geeigneten Tests und einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% die Vermutung des Flugunternehmens und interpretieren Sie Ihr Testergebnis inhaltlich.

8 Lösung zu Aufgabe 4 a) X Bin(n = 25, p = 0.85) b) i) P (X = 20) = f(5; 25, 0.15) (da p > 0.5) f(5; 25, 0.15) = ii) P (X < 23) = P (X 22) P (X 22) = 1 F (2; 25, 0.15) (da p > 0.5) = c) χ 2 -Unabhängigkeitstest Indifferenztabelle: Umbuchungen keine Umbuchungen schlechte Wettervorhersage gute Wettervorhersage Entscheidungsregel: χ 2 = l j=1 k = (n j n i.n.j n )2 n i. n.j n H 0 verwerfen, wenn χ 2 größer ist als χ 2 1 α;(k 1)(l 1) χ ;1 = Testentscheidung H 0 verwerfen Interpretation: Die Stichprobe deutet darauf hin, dass die Vermutung des Unternehmens wohl richtig ist/dass die Umbuchungen wohl vom Wetterbericht abhängen.