b) Bestimmen Sie die Varianz der beiden Schätzer. c) Ist ein oder sind beide Schätzer konsistent? Begründen Sie!

Transkript

1 Aufgabe 1 ( Punkte) Ein Landwirt möchte das durchschnittliche Gewicht von einjährigen Ferkeln bestimmen lassen. Dies möchte er aus seinem diesjährigen Bestand an n Tieren schätzen. Er kann dies entweder selbst machen oder es seinen Mitarbeiter Dieter machen lassen. Da der Landwirt nicht mehr der Jüngste ist, würde er nur die Hälfte der diesjährigen Ferkel fangen und wiegen können, um daraus den Mittelwert zu bilden. Dieter fängt zwar alle Ferkel, kommt jedoch bei der Zählung durcheinander und wiegt daher genau zwei Ferkel doppelt und den Rest einmal. Bei der Mittelwertbildung teilt er aber durch die Gesamtanzahl n der Ferkel. Hinweis: Es soll angenommen werden, dass die Gewichte der einjährigen Ferkel unabhängig und identisch verteilt sind. a) Der Landwirt möchte eine erwartungstreue Schätzung haben. Sollte er dafür Dieter bitten zu zählen, es selbst machen oder spielt es keine Rolle, wer zählt? Begründen Sie Ihre Antwort rechnerisch! b) Bestimmen Sie die Varianz der beiden Schätzer. c) Ist ein oder sind beide Schätzer konsistent? Begründen Sie!

2 Aufgabe 2 ( Punkte) Ein Institut hat die durchschnittliche jährliche Unfallquote bei Männern und Frauen geschätzt. Hierzu wurden n M = 21 Männer und n F = 11 Frauen befragt. Bei Männern beträgt der arithmetische Mittelwert x M = 1.1 und die geschätzte Standardabweichung s M = 0.2 und bei Frauen x F = 0.87 bzw. s F = Es soll angenommen werden, dass die Unfallquoten normalverteilt sind. a) Angenommen, die Varianzen der Unfallquoten seien bei beiden Geschlechtern gleich. Berechnen Sie für diesen Fall die Schätzung s für die gemeinsame Standardabweichung mit Hilfe von s 2 M = 1 nm n M 1 k=1 (X km X M ) 2 und s 2 F = 1 nf n F 1 k=1 (X kf X F ) 2. Hinweis: Sollten Sie kein Ergebnis ermitteln können, so rechnen Sie in b) und c) mit s = 0.22 weiter. b) Bestimmen Sie mit dem Ergebnis aus a) das Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte für α = 0.05 unter obiger Annahme gleicher Varianzen. c) Berechnen Sie das 95%-Konfidenzintervall für das Verhältnis der beiden Varianzen und kommentieren Sie anschließend mit Hilfe des Intervalls die obige Annahme gleicher Varianzen.

3 Aufgabe 3 ( Punkte) a) In den nachfolgenden Abbildungen sehen Sie drei Likelihoodfunktionen für unterschiedliche Stichproben. Bitte kennzeichnen Sie in den Zeichnungen jeweils den Maximum- Likelihood-Schätzer für den gesuchten eindimensionalen Parameter θ. b) Es soll die Lebensdauer X (in Tagen, aufgerundet) von speziellen Batterien untersucht werden. Zu diesem Zweck wird eine unabhängig und identisch verteilte Stichprobe des Umfangs n entnommen. Die beobachteten Lebensdauern sollen als geometrisch verteilt angenommen werden. Es gelte also P(X = k) = q k (1 q). (i) Berechnen Sie unter obigen Voraussetzungen für eine allgemeine Stichprobe den Maximum-Likelihood-Schätzer für q. x 1, x 2,..., x n (ii) Welcher Schätzwert ergibt sich für die Stichprobe 1, 3, 2, 6, 1, 2, 3?

4 Aufgabe 4 ( Punkte) a) Von welchen Größen hängt das zweiseitige Konfidenzintervall für den Mittelwert bei normalverteilter Gesamtheit und bekannter Varianz ab und in welcher Weise beeinflussen diese Größen das Intervall? b) Aus einer Lebensmittellieferung werden zufällig n = 400 Pakete zur Kontrolle entnommen. 20 davon erweisen sich als Ausschuss, d.h. als fehlerhaft. Der Zustand des i-ten Paketes werde durch die Zufallsvariable X i beschrieben, wobei der Wert 0 für intakt und 1 für Ausschuss stehe. (i) Wie ist X i verteilt? (ii) Wie ist X := n i=1 X i verteilt? (iii) Schätzen Sie den Ausschussanteil aus den oben angegebenen Werten. c) Berechnen Sie (unter den Annahmen der letzten Teilaufgabe) das approximative 95% Konfidenzintervall für den unbekannten Ausschussanteil. Hinweis: Falls Sie unter b) kein Ergebnis erzielt haben sollten, rechnen Sie bitte mit einem geschätzten Ausschussanteil von 0.05 weiter. d) Angenommen, der Ausschussanteil dieser Lebensmittellieferung betrage langfristig 5%. Wie groß muss n gewählt werden, damit die Länge des approximativen 95% Konfidenzintervalles den Wert 0.02 nicht übersteigt?

5 Aufgabe 5 (4 * Punkte) Während eines Biwaks in den Bergen diskutieren Sie nach Dienstschluss mit Ihrem Vorgesetzten über einen statistischen Test zum Niveau α = 0.10 mit einem bekannten Fehler 2. Art von β = Bezüglich der Interpretation dieses Tests geraten Sie heftig mit Ihrem Vorgesetzten aneinander und ziehen deshalb drei Kameraden, die in der Nähe an einem Lagerfeuer sitzen, zu Rate. Auch Ihre Kameraden sind sich nicht einig und liefern noch drei weitere Interpretationen ab. a) Entscheiden Sie, ob die folgenden vier Aussagen Ihrer Kameraden bezüglich des obigen Tests richtig oder falsch sind und begründen Sie jeweils kurz und stichhaltig Ihre Antwort! (Ohne Begründung können keine Punkte vergeben werden.) (i) Die Nullhypothese ist in 90% der Fälle richtig. (ii) Das Niveau des Tests ist unerheblich für die Testentscheidung, wenn stattdessen der p-wert gegeben ist. (iii) In 10% der Fälle kann man erwarten, dass die Nullhypothese akzeptiert wird, obwohl diese falsch ist. (iv) Obwohl die Nullhypothese richtig ist, wird diese mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% abgelehnt. b) Ihre Kameraden haben sich am nächsten Morgen gemeinsam eine Frage an Sie ausgedacht. Nehmen Sie an, es seien folgende Informationen über einen statistischen Test gegeben: - Die interessierende Zufallsvariable X kann als normalverteilt angesehen werden, - H 0 : µ X 40, H 1 : µ X > 40, - x = , - n = 41, - s = 4. Ihre Kameraden fragen Sie nach dem zugehörigen p-wert. Berechnen Sie diesen!

6 Aufgabe 6 (6 + 3 Punkte) Für einen aus drei Gütern bestehenden Warenkorb sind für die Jahre 2000 (Basiszeit bzw. t 0 ) und 2002 (Berichtszeit bzw. t 1 ) folgende Angaben zu Preisen und Umsätzen vorhanden: Gut i Mengenmesszahl (q 1 /q 0 ) Umsatz 00 in Preisen 00 (q 0 p 0 ) Umsatz 02 in Preisen 02 (q 1 p 1 ) a) Berechnen Sie den (i) Umsatzindex, (ii) Preisindex nach Paasche, (iii) Preisindex nach Laspeyres, (iv) Umsatz der drei Güter von 2002 in Preisen des Jahres b) Für obigen Warenkorb sei der Preisindex von Paasche für das Jahr 2000 zur Basis 1980 mit P P,80,00 = 2 gegeben. Beantworten Sie durch Rechnung die Frage, ob der mittlere jährliche Preisanstieg in den Jahren 1980 bis 2000 dem der Jahre 2000 bis 2002 entspricht. Hinweis: Haben Sie Aufgabe a) (ii) nicht gelöst, so unterstellen Sie den Wert P P,00,02 = c) Sie diskutieren mit einem Kommilitonen über die Interpretation von Preisindizes. Ihr Kommilitone behauptet: Der Preisindex von Paasche gibt an, um welchen Faktor sich die Ausgaben für den Warenkorb der Basisperiode t 0 in der Berichtsperiode t 1 gegenüber den Ausgaben für genau diesen Warenkorb in der Basisperiode t 0 verändert haben. Kommentieren Sie!

7 Aufgabe 7 ( Punkte) Es erscheint plausibel, einen linearen Zusammenhang zwischen den gefahrenen Kilometern und dem Alter eines gebrauchten PKW (in Jahren) zu unterstellen. Ihnen liegen folgende Daten über den Kilometerstand y i und das Alter x i eines gebrauchten PKW vor. i Kilometer y i Alter x i Folgende Werte sind Ihnen bereits bekannt: 7 s xx = und s yy = x i = 72; y x = ; i=1 8 x i y i = ; i=1 8 û 2 i = i=1 für û i = y i (â 0 + â 1 x i ). Unterstellen Sie folgendes einfaches lineares Modell: y i = a 0 + a 1 x i + ɛ i, i = 1,..., n. a) Wie viele der obigen Autos sind überdurchschnittlich alt? b) Berechnen Sie eine geeignete normierte Maßzahl für den Zusammenhang zwischen Kilometern und Alter. c) Schätzen Sie die Koeffizienten des obigen Modells mittels der Methode der kleinsten Quadrate. Hinweis: Sollten Sie kein Ergebnis erhalten, rechnen Sie im Folgenden mit â 0 = und â 1 = weiter. d) Interpretieren Sie den Achsenabschnitt am Sachverhalt. Erscheint Ihnen das vorliegende Modell plausibel? e) Mit ihrem Modell haben Sie für einen PKW einen Kilometerstand von prognostiziert. Wie alt war folglich das Auto?

8 Aufgabe 8 ( Punkte) Unter einem Oktaeder-Würfel versteht man einen Würfel mit 8 gleich großen Seitenflächen, die mit den Zahlen 1 bis 8 beschriftet sind. Sie beobachten in der Fußgängerzone einen Glücksspieler, der ein Würfelspiel mit seinem Oktaeder-Würfel anbietet. Dabei notieren Sie die Ergebnisse der letzten 160 Würfe des Oktaeders (Unterstellen Sie für die Würfe Unabhängigkeit und identische Verteilung): Ergebnis Oktaeder-Wurf Häufigkeit (N i ) a) Überprüfen Sie mittels eines geeigneten Tests (α = 0.05) die Vermutung, dass es sich bei dem vorliegenden Oktaeder-Würfel um einen unfairen Oktaeder-Würfel handelt. Dabei soll ein Oktaeder-Würfel als unfair bezeichnet werden, falls die Zahlen 1 bis 8 mit unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten auftreten. b) Wie müssten die Häufigkeiten in obiger Tabelle aussehen, damit die Prüfgröße aus der letzten Teilaufgabe ihren maximalen bzw. ihren minimalen Wert annimmt. c) Es bezeichne X den (zufälligen) Ausgang eines Oktaeder-Wurfes. Testen Sie die Nullhypothese H 0 : P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) = 0.175, P (X = 5) = P (X = 6) = P (X = 7) = P (X = 8) = mit einem geeigneten Test für obigen Datensatz und α = 0.05.