S1. a. Drücken Sie allgemein p durch die anderen in der Formel verwendeten Größen aus! Wie groß ist p, wenn a = 0.08, u = 1.96 und n = 120?

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1 S1. a. Drücken Sie allgemein p durch die anderen in der Formel verwendeten Größen aus! Wie groß ist p, wenn a = 0.08, u = 1.96 und n = 120? a = u p ( 1 p) n b. Wenn am 28. Oktober (Nach Auszählen der Briefwähler) die SPÖ mit einem Stimmenanteil von 29.4% um 13.2 Prozentpunkte mehr hat als die FPÖ, um wie viel Prozent hat dann die FPÖ weniger Stimmen als die SPÖ? c. Eine Regressionsgerade, die den Zusammenhang zwischen Alter (x) und Blutdruck (y) von Männern beschreiben soll, enthält die beiden Punkte (46, 121) und (61, 139). Wie lautet die Gleichung der Geraden und was bedeutet deren Steigung? a a n 1 p = ± p = ± u 2 b. um 44.9 Prozent c. y = x Jedes Jahr mehr geht mit um 1.2 höherem Blutdruck einher 1

2 1. Für vier Teilwarenkörbe (Lebensmittel, Wohnen, Kleidung, Freizeit) wurden im Jahre 2006 insgesamt ausgegeben. Davon entfielen folgende Beträge auf die einzelnen Warengruppen: Darunter stehen die Preisänderungen der Warengruppen in Prozent (von 2006 auf 2007) Lebensmittel Wohnen Kleidung Freizeit Betrag in REST Preisänderung a. Berechnen und interpretieren sie den Preisindex des Gesamtwarenkorbes von 2006 auf 2007! b. Angenommen, sie kaufen im Jahr 2007 genau gleich viel wie 2006: Wie viel geben Sie 2007 für diese Waren aus? c. Um wie viel Prozent waren das Wohnen 2006 billiger als 2007? d. Angenommen, sie kaufen im Jahr 2007 um 2 Prozent mehr (Menge an) Lebensmitteln, geben aber um 5 Prozent weniger Geld für Freizeit aus. Bei Wohnen und Kleidung gibt es keine Mengenänderung. Wie groß ist der 2007 ausgegebene Gesamtbetrag? Lösung-bsp-2-klausuroktober 08 LM WOHNEN KL FREIZEIT SUMME AUSGABEN Preismesszahl 1,037 1,042 0,95 1,1 Umsatzanteil 0, , , , a. Preisindex Summand 0, , , , ,03884 Bei gleichen Mengen: b ,4 5765, , Mengen neu: 1, Ausgaben neu: 0,95 0, , c. um 4.03% Gesamtbetrag , , d , , , ,400 2

3 2. Man würfelt mit zwei fairen regelmäßigen Würfeln. Folgende Ereignisse werden betrachtet: A: Die Augensumme beträgt fünf B: Mindestens einer der Würfel zeigt die sechs, keiner zeigt die Eins C: Beide Augenzahlen sind ungerade Zahlen a. Geben Sie die Wahrscheinlichkeiten für diese drei Ereignisse A, B und C an b. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: P(A B), P(B C), P(A C) sowie P(A B C) c. Mit welcher Wahrscheinlichkeit unterscheiden sich die beiden Augenzahlen um mindestens drei? Lösung: zu a. A zu a. B, C a. Durch Auflisten der jeweils passenden Wurfergebnisse: P(A) = 4/36 = 1/9 P(B) = 9/36 = ¼ Durch ein Diagramm mit 2 Ebenen, gerade/ungerade: P( C ) = ½ * ½ = ¼ b. P(A B) = 0 P(B C) = 18/36 P(A C) = 0 P(A B C) = 22/36 c. 12/36 zu c. Unterschied

4 3. a. Ermitteln Sie für eine mit Erwartungswert µ = 34 und der Standardabweichung σ = 8 normalverteilte Zufallsgröße X folgende Werte: (1) P(X ] 22, 42]) (2) Das 0.3-Quantil (3) eine Zahl c, für die gilt: P(X > c) = 0.64 (4) P(X = 34) b. Zeichnen Sie die Dichtefunktionskurve inklusive Skala auf der waagrechten Achse und kennzeichnen Sie darin die Lösung von a(3) c. Zeichnen Sie die Kurve der Verteilungsfunktion samt Skalen auf beiden Achsen und kennzeichnen Sie darin die Lösung zu a(1) a = 1 b. Glockenkurve c. S-förmige Kurve 4

5 4. In einer Stichprobe wurden Haushalte befragt: Wie viele PKWs gibt es in Ihrem Haushalt? Wie hoch schätzen Sie Ihre gesamten jährlichen Kosten (ohne Amortisation) dafür? Von 120 Haushalten gaben 82 an, einen (oder mehrere) PKWs zu besitzen. Für den jährlichen Aufwand - dieser wird als normalverteilte Größe betrachtet wurde aus den Angaben der 82 PKW-Halter ein Mittelwert von 1820 und eine Stichprobenstandardabweichung von errechnet. a. Ermitteln Sie ein zweiseitiges 90%-Konfidenzintervall für den Anteilswert der PKW- Besitzer b. Gemäß einer Studie beträgt der tatsächliche mittlere Aufwand 2345 Lässt sich bestätigen, dass der Aufwand für den PKW deutlich unterschätzt wird? Testen Sie zum Niveau α = a. n = 120, Schätzwert = a = Konf { p } b. n = 82 Einproben-t-Test H1: µ < 2345 Testgröße t 0 = K = ], 2.639] H0 ablehnen, Gegenhypothese hochsignifikant JA 5

6 6. Im Rahmen der Weiterentwicklung von elektronischen ABS-Systemen wurde die Geschwindigkeit von PKWs sowohl an den Vorderreifen als auch an den Hinterreifen derselben acht PKWs gemessen: Fahrzeug Nummer Messwert hinten Messwert vorne a. Testen Sie zum Niveau α = 0.1, ohne Annahme von Normalverteilungen, die Nullhypothese Die beiden Messungen liefern die selben Ergebnisse b. Ist die am Hinterreifen gemessene Geschwindigkeit Wert signifikant niedriger? (gleiches α = 0.1) (Hinweis: trotz weniger Daten Normalverteilungstabellen anwenden!) Abhängige Proben; nichtparametrisch, Lagevergleich: Vorzeichenrangtest (Wilcoxon) x y Differenz: d = y x Rang von Betrag d: Rangsumme r + = 29 E(T) = n*(n+1)/4 = 18 Var(T) = n*(n+1)*(2n+1)/24 = t 0 = = a. zweiseitig, u 0.95 = t 0 nicht kritisch, Nullhypothese beibehalten, Gleichheit akzeptiert b. einseitig, u 0.9 = K = [1.2816, ] t 0 kritisch, Geschwindigkeit am Vorderreifen ist signifikant höher 6

7 5. Im Rahmen einer Befragung wurde 34 Frauen und 66 Männern unter anderem folgende Frage gestellt: Sie haben in einem Restaurant eine Rechnung über 61,20 zu bezahlen. Wie viel Trinkgeld geben Sie?. Es stellt sich nun die Frage, ob die Frauen und Männer in etwa gleich viel Trinkgeld geben. Dazu die ersten statistischen Informationen: Mittelwert Trinkgeld Standardabweichung dazu Frauen x 1 = 2,90 s 1 = 1,70 Männer x 2 = 3,30 s 2 = 1,70 Die Daten können als normalverteilt betrachtet werden. Testniveau immer α = 5 %. a. Welcher Test ist zur Beantwortung obiger Frage durchzuführen und warum? b1. Kann die Hypothese, dass Männer und Frauen im Durchschnitt gleich viel Trinkgeld geben, aufrechterhalten werden? b2. Können Sie signifikant (mit einer Sicherheit von mindestens 95 Prozent) bestätigen, dass Männer mehr Trinkgeld geben? b. Wie viel Trinkgeld werden alle befragten im Mittel geben? a. Zweiproben-t-Test (Lage, parametrisch, da s 1 = s 2 ist der F-Test überflüssig) Hilfsgröße s = s1 = s2 = 1.7 Testgröße t 0 = = b1. H0: µ y = µ x Krit. Bereich: K = ], t ] [ + t, + [ b2. H1: µ y > µx ], 1.984] [ [ K = U, Testgröße unkritisch! Hypothese beibehalten JA 0.95 [ + t + [ K =, 98 [ [ K =, 98 U 98 = Testgröße unkritisch Gegenhypothese nicht signifikant NEIN c. x = =