Klassifikation von Signifikanztests

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1 Klassifikation von Signifikanztests nach Verteilungsannahmen: verteilungsabhängige = parametrische Tests verteilungsunabhängige = nichtparametrische Tests Bei parametrischen Tests werden im Modell Voraussetzungen über die Verteilung gemacht (z.b. NV) und Hypothesen über Parameter dieser Verteilung getestet. Bei nichtparametrischen Tests wird dagegen keine spezielle Verteilung vorausgesetzt (aber gegebenenfalls Voraussetzungen wie: stetige Verteilung ) i.a. weniger mächtig, d.h. Unterschiede werden seltener aufgedeckt (H 0 seltener abgelehnt) aber: schwächere Voraussetzungen im Modell (bei Ablehnung Aussage über Population zuverlässiger) nach der Anzahl der Stichproben: eine, zwei, k Stichprobe(n), Einstichprobenprobleme,... Einstichprobenprobleme: der einfache t-test der Gauß-Test 1

2 Art der Erhebung der Stichproben (abhängig oder unabhängig): abhängige (gepaarte, verbundene) Stichprobe 2 (oder mehr) ZV X, Y über der Grundgesamtheit n Versuche ω (X, Y ) (X 1,..., X n ), (Y 1,..., Y n ) verbundene Stichproben An jedem Objekt werden mehrere Merkmale untersucht. Beispiele: Blutdruck von Patienten vor und nach einer Behandlung mit einem Medikament Einkommen einer Person in den Jahren 1996, 2000, 2002 Bildung und Einkommen einer Person Unabhängige Stichproben Zufallsvariablen X, Y über der Grundgesamtheit n 1 + n 2 Versuche; X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 (X 1,..., X n1 ), (Y 1,..., Y n2 ) unabhängige Stichproben An jedem Objekt nur ein Merkmal untersucht. Beispiele: Blutdruck von Patienten aus zwei unterschiedlich behandelten Gruppen mit unterschiedlichen Personen Einkommen von Männern, Einkommen von Frauen 2

3 Gauß-Test Der einfache t-test Einstichprobenprobleme Der Binomialtest (Einstichprobenproblem, nichtparametrisch) Anliegen: A ein zufälliges Ereignis mit P (A) = p, p [0, 1], unbekannt. Überprüfung einer Hypothese über p anhand von n unabhängigen Versuchen Die mathematische Stichprobe (X 1, X 2,..., X n ) beschreibt, in welchen der n Versuche das Ereignis A eingetreten ist (vgl. Bernoulli-Schema). { 1, falls A eingetreten X = 1. Hypothesen: H 0 : p = p 0 0, falls A nicht eingetreten 2. Testgröße: H A : p p 0 (bei zweiseitiger Fragestellung) n T = i=1 X i = H n (A) T B(n; p) binomialverteilt 3. H 0 wird abgelehnt, wenn t < b α1 oder t > b 1 α2. b α1, b 1 α2... Quantile der BV: B(n; p 0 ) α = α 1 + α 2... Signifikanzniveau. (In der Regel α 1 = α 2.) 3

4 Bemerkung zu großen n: Für große n sind die Quantile der BV ohne Computer kompliziert zu berechnen. gute Approximation durch die Normalverteilung; es gilt für H n B(n; p) und große n (n > 30, n p > 5, n (1 p) > 5): T = H n n p n p (1 p) ist näherungsweise N(0, 1)-verteilt, also für diese Testgröße das entsprechende kritische Gebiet des Gauß Tests benutzen Vereinbarung: Wir werden den Binomialtest immer so durchführen: 1. Hypothese: H 0 : p = p 0 2. Testgröße: T = H n n p 0 n p0 (1 p 0 ) 3. Ablehnung von H 0, falls bei zweiseitiger Alternative H A : p p 0 t > z 1 α 2 einseitiger Alternative H A : p < p 0 t < z 1 α H A : p > p 0 t > z 1 α 4

5 Beispiel: Losverkäufer Hypothesen H 0 : p = 0, 1 H A : p < 0, 1 (einseitige Fragestellung) Testgröße: (zwei Gewinnlose) t = , , 1 0, 9 = 8 3 = 2, 67 < 1, 64 = z 0,95 Ablehnung von H 0. Im Lostopf sind signifikant zu wenige Gewinnlose. Weitere Diskussion dieses Beispiels Internet 5

6 Der χ 2 -Homogenitätstest Zweistichprobenprobleme Anliegen: Vergleich der Verteilungen zweier unabhängiger Stichproben für (kategoriale) Daten, nichtparametrischer Test Die Variablen X und Y nehmen jede nur r diskrete Werte an. Die zufälligen Häufigkeiten des Auftretens dieser Werte werden für beide Stichproben ermittelt und in folgende Tabelle eingetragen. Kategorie Stichprobe 1 (X) Stichprobe 2 (Y ) Σ 1 N 11 N 12 N 1 2 N 21 N 22 N r N r1 N r2 N r N 1 N 2 N = N Hypothesen: H 0 : p i1 = p i2, i = 1,..., r (Verteilungen sind identisch.) H A : p i1 p i2 für mindestens ein i Dabei ist: p i1 = P (X = x i ), p i2 = P (Y = x i ) 6

7 Testgröße: T = 2 j=1 r i=1 ( N ij N i N j n N i N j n ) 2 H 0 wird abgelehnt, wenn t > χ 2 r 1,1 α Bemerkungen: Der konkrete Wert der Testgröße ist der χ 2 Wert für die Stichprobe. Stichprobenumfang n insgesamt sollte mindestens 60 betragen. Die erwarteten Häufigkeiten N i N j n davon sollten > 5 sein. sollten > 1 und 80% 7

8 Beispiel: ALLBUS, Einkommensquelle nach Geschlecht H 0 bedeutet, die Einkommensquellen sind in beiden SP gleich verteilt, d.h. die %-Werte in jeder Zeile sind Schätzungen für die gleiche Wahrscheinlichkeit. Bemerkung: Interpretiert man die Zugehörigkeit zu einer der Stichproben (= Geschlecht) als ein beobachtetes Merkmal des Probanden, dann entspricht die obige Hypothese der Hypothese: Die Zufallsvariablen X (für Einkommensquelle) und Y (für Geschlecht) sind unabhängig. Je nach Interpretation der Kontingenztafel testen wir also entweder, ob sich die verschiedenen Stichproben etwa gleich zusammensetzen (Homogenität) oder, ob die Einkommensquelle vom Geschlecht abhängt (Unabhängigkeit). 8

9 Der doppelte t-test, parametrisch Anliegen: Überprüfung von Hypothesen über die Gleichheit der Erwartungswerte zweier unabhängiger normalverteilter ZV bei unbekannten, aber gleichen Varianzen (Varianzhomogenität), parametrischer Test Voraussetzungen: (X 1,..., X n ), (Y 1,..., Y m ) unabhängige Stichproben X i N(µ X, σ 2 X ), Y j N(µ Y, σ 2 Y ), σ 2 X = σ2 Y unbekannt Hypothesen: i = 1,..., n j = 1,..., m H 0 : µ X = µ Y H A : µ X µ Y 1) 2. Testgröße T = X Ȳ µ X < µ Y 2) µ X > µ Y 3) (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 Ablehnung von H 0, falls t > t n+m 2, 1 α 2 bei 1) t < t n+m 2, 1 α bei 2) t > t n+m 2, 1 α bei 3) nm n + m 9

10 Beispiel: ALLBUS, nach Geschlecht monatliches Haushalts Nettoeinkommen Vergleich der Erwartungswerte für die Zufallsvariablen X und Y, die das monatliche Haushaltsnettoeinkommen von Frauen bzw. Männern beschreiben. X und Y unabhängig, µ X = EX, µ Y = EY X und Y seien normalverteilt, Varianzen sind unbekannt. α = 0, 05 Bemerkung: NV sicher keine gute Modellannahme, X und Ȳ sind aber näherungsweise normalverteilt (ZGWS). H 0 : µ X = µ Y Durchschnitts-HH-Nettoeinkommen gleich H A : µ X < µ Y Männer verdienen mehr T = X Ȳ (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 nm n + m X, Ȳ... arithmetisches Mittel der SP SX 2, S2 Y... empirische Varianz der SP n, m... Stichprobenumfang der SP X 1,..., X n, Y 1,..., Y m 10

11 T = X Ȳ (n 1)S 2 X + (m 1)S 2 Y n + m 2 nm n + m Wenn H 0 richtig ist, dann gilt: T ist t-verteilt mit n + m 2 = 1349 Freiheitsgraden. für die konkrete Stichprobe: t = 2473, , , , = 4, 314 vergleiche mit: t 1349, 0.95 = , 314 < H 0 wird abgelehnt und entschieden: Das Durchschnitts-HH-Nettoeinkommen von Männern ist signifikant höher als das von Frauen. 11

12 Diskussion des Beispiels: * Ablehnung von α t α d α H nein ja ja ja ja *) d α... die Differenz der Mittelwerte, die (bei gleichem n, m, s X, s Y!) genügt, um H 0 abzulehnen. Der Wert heißt p-wert oder Signifikanz. Stichprobenumfänge n, m: einleuchtend: größere n und m erhöhen die Überzeugungskraft einer beobachteten Abweichung (α = 0.05, α = 0.01) n = m = d 0.05 d Wo beginnt es unsinnig zu werden? Fast alle Gehalts ,43 angaben im Datensatz sind auf ,71 1,00 volle 100DM-Beträge gerundet! 12