Einführung in Quantitative Methoden

Transkript

1 Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40

2 Poisson-Verteilung Diese Verteilung beschreibt ZV, die alle natürliche Zahlen und 0 annehmen können Die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) = λk e λ k! für k = 0, 1,, λ ist der Parameter der Poisson-Verteilung und kann jede reelle positive Zahl sein Erwartungswert und Varianz E [X ] = λ σ 2 = λ Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 2/40

3 Poisson-Verteilung Poisson-Verteilung ist Grenzverteilung der Binomialverteilung bei n und p 0 unter der Nebenbedingung, dass np = λ beschränkt bleibt Poisson-Verteilung kann als gute Approximation für die Binomialverteilung bei großem n und kleinem p verwendet werden Poisson-Verteilung beschreibt seltene Ereignisse Anwendung bei binomialverteilter ZV mit unbekanntem oder großem n (leichtere Berechnung) und kleinem p Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 3/40

4 Poisson-Verteilung Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 4/40

5 Poisson-Verteilung Beispiel: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient die Injektion eines Serums nicht verträgt sei Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 200 Patienten mehr als 1 die Injektion nicht vertragen? Wahrscheinlichkeiten (Poisson-Verteilung) E[X ] = λ = (200)(0.001) = 0.2 P(X = 0) = 0.20 e 0.2 0! = , P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 5/40

6 Poisson-Verteilung Wahrscheinlichkeiten (Binomialverteilung B(200, 0.001)) ( ) 200 P(X = 0) = (0.001) 0 ( ) (200 0) = P(X = 1) = P(X > 1) = 1 P(X = 0) P(X = 1) = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 6/40

7 Poisson-Verteilung Beispiel: In einer Telefonzentrale kommen in einer Minute durchschnittlich 3 Gespräche an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen in einer Minute mehr als 3 Gespräche an? Denkt man sich eine Minute in n gleiche Zeitabschnitte zerlegt, die so klein sind, dass in jedem Abschnitt höchstens ein Gespräch ankommen kann, so liegt eine Binomialverteilung B(n, 3 n ) vor n ist unbekannt Poissonverteilung mit λ = 3 P(X > 3) = 1 P(X = 0) P(X = 1) P(X = 2) P(X = 3) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 7/40

8 Poisson-Verteilung P(X = 0) = 30 e 3 0! P(X = 1) = 31 e 3 1! P(X = 2) = 32 e 3 2! P(X = 3) = 33 e 3 3! = = = = P(X > 3) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 8/40

9 Geometrische Verteilung Wir führen eine Serie von Versuchen mit zwei möglichen Ausgängen, Erfolg (1) und Misserfolg (0), so lange durch bis wir den ersten Erfolg haben Die Wahrscheinlichkeit für Erfolg sei p Variante 1: Unsere ZV X erfasst die Anzahl der Durchführungen bis zum ersten Erfolg (Anzahl der Versuche, die notwendig sind, bis zum Erfolg) P(X = k) = p(1 p) k 1 für k = 1, 2,, E [X ] = 1 p ; σ2 = 1 p p 2 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 9/40

10 Geometrische Verteilung Beispiel: Würfeln einer 6, p = 1/6 P(6 beim 1. Wurf): P(X = 1) = p = 1/6 P(6 beim 2. Wurf): P(X = 2) =? 1. Wurf keine 6: P(keine 6 beim 1.Wurf) = (1 p) = 5/6 P(6 beim 2.Wurf) = p = 1/6 P(X = 2) = p(1 p) = 1/6 5/6 = 5/36 = 0.14 allgemein: P(X = k) = p(1 p) k 1 E(X ) = 1/ 1 6 = 6 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 10/40

11 Geometrische Verteilung Variante 2: Unsere ZV Y erfasst die Anzahl der Misserfolge bis zum ersten Erfolg (Anzahl der Fehlversuche vor dem Erfolg) P(Y = k) = p(1 p) k für k = 0, 1, 2,, E [Y ] = E(X ) 1 = 1 p p ; σ2 = 1 p p 2 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 11/40

12 Geometrische Verteilung Anwendung bei der Analyse von Wartezeiten bis zum Eintreffen eines bestimmten Ereignisses Lebensdauerbestimmung von Geräten und Bauteilen, d.h. dem Warten bis zum ersten Ausfall Rückfälle bei Suchterkrankungen Bestimmung der Anzahl häufiger Ereignisse zwischen unmittelbar aufeinanderfolgenden seltenen Ereignissen wie z.b. Fehlern Bestimmung der Zuverlässigkeit von Geräten Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 12/40

13 Hypergeometrische Verteilung Aus einer Gesamtheit von N Elementen, wobei A (A N) markiert sind, wird zufällig eine Stichprobe von n (n N) Elementen ohne Zurücklegen entnommen Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt in der Stichprobe eine bestimmte Anzahl a von markierten Elementen vor? ( A N A ) P(X = a) = a)( n a ( N n) E [X ] = n A N σ2 = n A N ( 1 A N ) ( ) N n N 1 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 13/40

14 Hypergeometrische Verteilung Beispiel: Lotto 6 aus 45 N = 45 Kugeln (=Zahlen) insgesamt, A = 6 Kugeln sind markiert (d.h. am Lottoschein angekreuzt), n = 6 Kugeln werden gezogen (ohne Zurücklegen). Die einzelnen Gewinnwahrscheinlichkeiten ergeben sich durch die Hypergeometrische Verteilung ( 6 )( 39 ) P(X = 3) = ( 45 ) = = P(X = 6) = ( 6 )( 39 ) 6 0 ( 45 ) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 14/40

15 Wahrscheinlichkeitsfunktion Beispiel Lotto Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 15/40

16 Hypergeometrische und Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung kann durch B(n, A N ) angenähert werden, wenn n N 0.05 Beispiel: In der Population der Personen mit Adipositas, die sich einer Magenbypass-Operation unterzogen haben, haben 10% einige Jahre nach der Operation (noch) eine Binge-Eating Störung (BED). In einer spezialisierten Klinik wurden in den letzten Jahren 1500 Personen operiert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in einer Stichprobe von n = 50 Personen maximal eine Person mit BED zu finden? Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 16/40

17 Hypergeometrische und Binomialverteilung Binomialverteilung B(50, 0.10) ( ) 50 P(X = 0) = (1 0.10) 50 = P(X = 1) = , P(X = 0) + P(X = 1) = Hypergeometrische Verteilung, N = 1500, A = 150, n = 50 P(X = 0) = ( 150 )( ( ) ) = P(X = 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 17/40

18 Normalverteilung (NV) Die NV ist eine stetige Verteilung, die durch 2 Parameter µ und σ charakterisiert ist Es sei X eine ZV die N(µ, σ 2 ) verteilt ist; X kann Werte zwischen und + annehmen Die Dichtefunktion φ(x) ( 1 x µ φ(x) = 1 σ 2π e 2 σ Geht x ± strebt φ(x) gegen 0 φ(x) ist symmetrisch um µ, d.h. µ + a = µ a (a = Konstante) ) 2 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 18/40

19 Normalverteilung (NV) σ gibt den Abstand zwischen µ und den Wendepunkten der Dichtefunktion an Wendepunkte an den Stellen µ ± σ Wenn σ groß ist, ist die Verteilung breit und niedrig, wenn σ klein ist, ist die Verteilung schmal und hoch Fläche unter φ(x) zwischen und + ist gleich 1 Die Fläche µ ± σ umfasst ca. 68% aller Fälle Die Fläche µ ± 2σ umfasst ca. 95% aller Fälle Es existieren unendlich viele NV durch beliebige Auswahl von µ und σ Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 19/40

20 Normalverteilung (NV) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 20/40

21 Standardnormalverteilung N(0, 1) Spezielle NV für µ = 0 und σ = 1 (Gauß sche Glockenkurve) Verteilung der N(0,1) ist tabelliert; Fläche zwischen µ = 0 und einem beliebigen Wert z ist ablesbar (Tabelle 1c) Quantile der NV (Tabelle 1b) 1 - Fläche rechts von einem Wert z, Fläche links von z Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 21/40

22 Standardnormalverteilung N(0, 1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 22/40

23 Standardnormalverteilung - Beispiel 1 P(0 Z 1) = (Tabelle 1c) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 23/40

24 Standardnormalverteilung - Beispiel 2 P( 1 Z 1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 24/40

25 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 25/40

26 Tabelle 1c: P( 1 Z 1) = = Tabelle 1b: P( 1 Z 1) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 26/40

27 Standardnormalverteilung N(0, 1) Ist X N(µ, σ 2 ) verteilt dann führt die Transformation X µ σ eine N(0, 1) Verteilung Vorteil, da Quantile ablesbar (Tabelle 1b) Beispiel: X N(11, 5.53). Wie hoch ist P(X 14.5)? auf z = = 1.49 P(Z 1.49) = (Tabelle 1b) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 27/40

28 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 28/40

29 Zentraler Grenzwertsatz Große Zahl voneinander unabhängiger ZV X i mit beliebiger, identischer Verteilung mit gleichem E(X i ) = µ und Varianz Var(X i ) = σ 2 Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg & Levy (1922): Die Summe Y = X 1 + X X n ist asymptotisch normalverteilt mit E(Y ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) +... E(X n ) = nµ und Varianz σ 2 (Y ) = nσ 2. Für B(n, p) Satz von de Moivre und Laplace: Summe vieler X i mit Bernoulli-Verteilung B(1, p) ist asymptotisch normalverteilt mit µ = np und σ 2 = np(1 p). Voraussetzung: np 5 und n(1 p) 5. Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 29/40

30 Binomialverteilung Experiment mit zwei Ausgängen, z.b. Erfolg und Misserfolg. Die ZV K, Anzahl der Erfolge bei n Versuchen, ist binomialverteilt mit Parametern n und p, K B(n, p) P(K = k) = ( n k ) p k (1 p) n k für k = 0, 1,, n Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 30/40

31 Beispiel: n = 10 Versuche, p(erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 31/40

32 Vorteil: Verwendung der Standardnormalverteilung N(0,1), da tabelliert Berechnen von E(K) = np und σ = np(1 p), und überprüfen ob np 5 und n(1 p) 5 Standardisieren der Variable (d.h. Berechnung des Standardmesswertes), auch z-transformation genannt Z = k µ σ Bestimmen der Wahrscheinlichkeiten aus der Tabelle der N(0,1) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 32/40

33 - Beispiel 1 n = 10 Versuche, p(erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(k 7) k = 7: Dem diskreten Wert 7 entspricht bei der stetigen NV das Intervall [6.5,7.5]. Stetigkeitskorrektur (Kontinuitätskorrektur) Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 33/40

34 Tab. 1b: P(Z 0.95) = z = = 0.95 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 34/40

35 Beispiel 2 n = 10 Versuche, p(erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(K 7): 1 P(k 7) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 35/40

36 Beispiel 3 n = 10 Versuche, p(erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 Beispiel P(K 3): Dem diskreten Wert 3 entspricht bei der stetigen NV das Intervall [2.5,3.5]. z = = 0.95 Tab. 1b: P(Z 0.95) = P(Z 0.95) = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 36/40

37 Beispiel 4 n = 10 Versuche, p(erfolg) = 0.5, µ = 5, σ = 1.58 P(4 K 6): Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 37/40

38 Beispiel 4 - Tabelle 1b z 1 : z 2 : z 1 = = 0.95 z 2 = = 0.95 Tab. 1b: P( 0.95 Z 0.95)] = 1 P(Z 0.95) P(Z 0.95) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 38/40

39 Beispiel 4 - Tabelle 1c Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 39/40

40 P( 0.95 Z 0.95) = = Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 40/40