Verteilung von Summen

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1 Verteilung von Summen Beispiel: Würfelwurf Frage: Wie verhält sich die Verteilung der Augensumme von -Würfeln bei wachsendem? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationseperiment durch. 6 Würfe mit 1 Würfel 6 Würfe mit 2 Würfel 6 Würfe mit 3 Würfel etc. Statistik für SoziologInnen 1 Zentraler Grenzwertsatz

2 Augensumme von 1 Wuerfel - n= Wahrscheinlichkeitsfunktion der Augensumme Statistik für SoziologInnen 2 Zentraler Grenzwertsatz

8 Zentraler Grenzwertsatz Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann gilt für die Verteilung Summe S n = X 1 + X X n Erwartungswert E(S n ) = nμ und Varianz V(S n ) = nσ². Statistik für SoziologInnen 8 Zentraler Grenzwertsatz

9 Zentraler Grenzwertsatz Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe Xi nμ Zn = nσ 2 mit wachsendem n gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert E(Z n ) = und Varianz V(Z n ) = 1. Z n ~ N(, 1²) Statistik für SoziologInnen 9 Zentraler Grenzwertsatz

10 Beispiel Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Anzahl der Verkäufe pro Tag eines bestimmten Produkts sei bekannt X Prob,4,3,2,1 Wie ist die Anzahl der Verkäufe pro 1 Tage (X1) verteilt, wenn die einzelnen Verkaufstage als unabhängig angesehen werden können? X1=X 1 +X X 1 Statistik für SoziologInnen 1 Zentraler Grenzwertsatz

11 Beispiel (Fortsetzung) X Prob,4,3,2,1 X*Prob,3,4,3 ==> E(X)=1 X²*Prob,3,8,9 ==> E(X²)=2 V(X) = 2-1² = 1 E(X1)=1 V(X1)=1 X1~N(1, 1) z.b.: P(X1>12)=1-F N ((12-1)/1)= 1-F N (2)=,23 Statistik für SoziologInnen 11 Zentraler Grenzwertsatz

12 Beispiel (Fortsetzung) Wie lautet das zentrale Schwankungsintervall für das gilt, dass der Verkauf an 1 Tagen mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% in diesem Intervall zu liegen kommt? P( u <X1< o )=,5 P(z,25 <(X1-1)/1<z,75 )=,5 P(-,674<(X1-1)/1<,674)=,5 P(93,26<X<16,74)=,5 93,26,5 16,74 Statistik für SoziologInnen 12 Zentraler Grenzwertsatz

13 Zentraler Grenzwertsatz Die Normalverteilung verdankt ihre universelle theoretische und praktische Bedeutung dem zentralen Grenzwertsatz. Unabhängig von der konkreten Ausgangsverteilung konvergiert die Verteilungsfunktion der Summe gegen die Normalverteilung. Ist die Anzahl der Summanden (n) hinreichend groß, so kann in der Prais die Verteilung einer Summe durch die Normalverteilung approimiert werden. Die Frage, ab wann n hinreichend groß ist, hängt von der gewünschten Genauigkeit und der Form der Ausgangsverteilung ab. Statistik für SoziologInnen 13 Zentraler Grenzwertsatz

14 Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes auf Mittelwert Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann gilt für die Verteilung des arithmetischen Mittels n = 1/n(X 1 + X X n ) Erwartungswert E( n ) = μ und Varianz V( n ) = σ²/n. i) Auch das arithmetisch Mittel ist dann eine Zufallsvariable ii) Die Standardabweichung des arithm. Mittels wird auch Standardfehler bezeichnet Statistik für SoziologInnen 14 Zentraler Grenzwertsatz

15 Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes auf Mittelwert Seien X 1, X 2,..., X n identisch verteilte, unabhängige Zufallsvariablen mit E(X i ) = μ und V(X i ) = σ²> Dann konvergiert die Verteilung des standardisierten Mittelwertes 1 X n i μ μ Zn = = 2 2 σ / n σ / n mit wachsendem n gegen eine Normalverteilung mit Erwartungswert E(Z n ) = und Varianz V(Z n ) = 1. Z n ~ N(, 1²) Statistik für SoziologInnen 15 Zentraler Grenzwertsatz

16 Standardfehler Die Varianz bzw. die Standardabweichung des arithmetischen Mittels ergibt sich also durch: σ 2 σ 2 / σ 2 = σ / n = σ/ = n n Der Mittelwert schwankt weniger stark als die Einzelwerte Die Standardabweichung des Mittelwertes wird auch als Standardfehler (standard error) bezeichnet. Wurzel-n Gesetz: Doppelte Genauigkeit benötigt vierfachen Stichprobenumfang! Statistik für SoziologInnen 16 Zentraler Grenzwertsatz

17 Beispiel Das mittlere Haushaltseinkommen in einer Stadt betrage 32.6,- mit einer Standardabweichung von 6.2,-. Für eine empirische Untersuchung wird eine Zufallsstichprobe von n=4 Haushalten gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe ein mittleres Jahreseinkommen von weniger als 32.,- zu beobachten? 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = 96.1 σ 4 4 = 96.1 = P ( 4 < 32.) =Φ ( ) =Φ( 1,935) =, Beachte: Einkommen sind typischerweise rechtsschief verteilt Statistik für SoziologInnen 17 Zentraler Grenzwertsatz

18 Beispiel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe von n=4 Haushalten ein mittleres Jahreseinkommen zu beobachten, dass nur um 5 vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweicht? [- also zwischen 32.1,- und 33.1,- zu liegen kommt] 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = 96.1 σ 4 4 = 96.1 = P(32.1 < 4 < 33.1) =Φ( ) Φ ( ) = Φ(1,613) Φ( 1,613) =,893 Statistik für SoziologInnen 18 Zentraler Grenzwertsatz

19 Beispiel Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in der Stichprobe von n=4 Haushalten ein mittleres Jahreseinkommen zu beobachten, dass nur um 25 vom wahren Wert in der Grundgesamtheit abweicht? [- also zwischen 32.35,- und 32.85,- zu liegen kommt] 4 N(32.6;6.2² / 4) E ( ) = 32.6 V ( ) = 6.2² / 4 = 96.1 σ 4 4 = 96.1 = P(32.35 < 4 < 32.85) =Φ( ) Φ ( ) = Φ(,86) Φ(,86) =,58 Statistik für SoziologInnen 19 Zentraler Grenzwertsatz

20 Gesetz der großen Zahlen Eng verwandt mit dem zentralen Grenzwertsatz ist, das Gesetz der großen Zahl Das schwache Gesetz der großen Zahlen lautet: P ( μ ε) für n n Vereinfacht formuliert bedeutet das Gesetz der großen Zahlen, dass mit wachsendem n (Stichprobenumfang), die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung des Stichprobenmittelwertes vom Erwartungswert der Grundgesamtheit, welche absolut größer als ε ist, gegen null geht. Statistik für SoziologInnen 2 Zentraler Grenzwertsatz

21 Beispiel: durchschnittliche Lottozahl Beim Lotto 6 aus 45 werden die Zahlen 1-45 gleichverteilt gezogen. Der Mittelwert einer Ziehung liegt theoretisch bei 23 [(45+1)/2] Bei einzelnen Ziehungen schwankt dieser Mittelwert deutlich. Der Mittelwert über alle 9 Ziehungen des Jahres 23 beträgt 23,7. Der Mittelwert über alle 1218 Ziehungen beträgt 23,9. LOTTO Zahlen 23 Datum Rd Zahlen Mittelwert 1.1. Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , So , Mi , 9.2. So , Mi , So , Mi ,17 Statistik für SoziologInnen 21 Zentraler Grenzwertsatz

22 Grenzwertsatz von De Moivre und Laplace Falls X binomialverteilt ist mit den Parametern n und p [es sei also X~Bi(n, p)] so gilt: X n p np ( 1 p) N(,) 1 Die Güte der Anpassung hängt dabei von n und p ab. (Wenn p nahe 1/2 und n möglichst groß ist, so steigt die Güte) Faustregel: np>1 und n(1-p)>1 Statistik für SoziologInnen 22 Zentraler Grenzwertsatz

23 n= 1 p= Statistik für SoziologInnen 23 Zentraler Grenzwertsatz

24 Im Vergleich zum vorherigen Bild hat sich die Anpassung verbessert. n= 2 p= Statistik für SoziologInnen 24 Zentraler Grenzwertsatz

25 Im Vergleich zum vorherigen Bild hat sich die Anpassung wieder verschlechtert. n= 2 p= Statistik für SoziologInnen 25 Zentraler Grenzwertsatz

26 n= 1 p= Sehr gute Anpassung Statistik für SoziologInnen 26 Zentraler Grenzwertsatz

27 Beispiel: Prognose des Rücklaufs Bei einer schriftlichen Befragung weiß man aus Erfahrung, dass etwa 2% der Befragten tatsächlich antworten. Es werden n=5. Fragebogen versandt. X sei die Anzahl der Antworter Var(X)=5*,2*,8 X~N(1., 8) Std.Abw. =28 Mehr als 1. Antworten: P(X>1.) =,5 Mehr als 1.2 Antworten: P(X>1.2) =, 95% Intervall für die Anzahl der zu erwartenden Antworten: P(1-1,96*28<X<1+1,96*28) =,95 P(945<X<155) =,95 Statistik für SoziologInnen 27 Zentraler Grenzwertsatz

28 n= 5 p=.2 n= 5 p=.2 y y Statistik für SoziologInnen 28 Zentraler Grenzwertsatz

29 y n= 5 p=.2 y n= 5 p= Statistik für SoziologInnen 29 Zentraler Grenzwertsatz

30 n= 5 p=.2 n= 5 p= y Statistik für SoziologInnen 3 Zentraler Grenzwertsatz y

31 y n= 5 p=.2 y n= 5 p= Statistik für SoziologInnen 31 Zentraler Grenzwertsatz

32 n= 1 p=.5 n= 1 p= y Statistik für SoziologInnen 32 Zentraler Grenzwertsatz y

33 Stetigkeitskorrektur + 5, np PX ( = ) Φ np( 1 p) Φ 5, np np( 1 p) bzw. PX ( ) Φ + 5, np np( 1 p) Vor allem für kleine Werte von n ist bei der Approimation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung daher eine Stetigkeitskorrektur (Kontinuitätskorrektur) zu berücksichtigen. Statistik für SoziologInnen 33 Zentraler Grenzwertsatz

34 Beispiel: In einer Bevölkerung sind 6% der Bürger für die Einführung eines neuen Gesetzes. Wie wahrscheinlich ist es, genau 5 Befürworter in der Stichprobe zu haben? Binomialverteilung PX ( = ) = *, *,, = 13 5 Normalverteilung PX ( = 5) = Φ Φ = Φ( 1939, ) Φ( 2, 143) =, 262, 16 =, 12 Statistik für SoziologInnen 34 Zentraler Grenzwertsatz

35 Beispiel: In einer Bevölkerung sind 6% der Bürger für die Einführung eines neuen Gesetzes. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Stichprobe von 1 (1) Personen, weniger als 5 (5) Befürworter des Gesetzes finden? a) Binomialverteilung mit n=1 und p=.6 P(X<5)=P(X=) + P(X=1) P(X=4)= =.166 (Eaktes Ergebnis durch Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung) Statistik für SoziologInnen 35 Zentraler Grenzwertsatz

36 Beispiel: b) Bei einer Stichprobe von n=1 gibt es 2 Lösungswege: b1) Einsetzen in die Formel der Binomialverteilung mit n=1 und p=.6 P(X<5)=P(X=) + P(X=1) P(X=49)=.168 b2) Approimation durch Normalverteilung X~N(6; 24) n.p=1*,6=6 n.p.(1-p)=6*,4=24 Wurzel(n.p.(1-p))=4,899 P(X 49) = F N ((49+,5-6)/4,899)= F N (-2,14)=,16 Statistik für SoziologInnen 36 Zentraler Grenzwertsatz

37 ,3,3,25,25,2,2,15,15,1,1,5, , Normalverteilung Binomialverteilung Anzahl Prob. kum. Prob. Anzahl kum. Prob. 49,,68,168 49,,124 49,5,16 5,,13,271 5,,26 Statistik für SoziologInnen 37 Zentraler Grenzwertsatz

38 Bernoullis Gesetz der großen Zahlen Überträgt man das schwache Gesetz der großen Zahlen auf die n-malige Durchführung eines Bernouilli-Eperimentes mit konstanter Wahrscheinlichkeit p, dann gilt für die relative Häufigkeit f n : P( f p ε) für n n Vereinfacht formuliert bedeutet dies, dass mit wachsendem n (Stichprobenumfang), die Wahrscheinlichkeit für eine Abweichung der relativen Häufigkeit von der konstanten Erfolgswahrscheinlichkeit, welche absolut größer als ε ist, gegen null geht. Statistik für SoziologInnen 38 Zentraler Grenzwertsatz

39 Gesetz der großen Zahlen Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass sich die relative Häufigkeit der Erfolge bei Wiederholung eines Bernouilli-Zufallseperiments immer weiter an die theoretisch erwartete Erfolgs- wahrscheinlichkeit p annähert, je häufiger das Zufallseperiment durchgeführt wird. Beachte: Dies gilt nicht für die absolute Anzahl der Erfolge! Sei X n die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen, so gilt V(X n )=n.p.(1-p). Sei f n die relative Häufigkeit der Erfolge bei n unabhängigen Wiederholungen, so gilt f n =X n /n V(f n )=p.(1-p)/n Statistik für SoziologInnen 39 Zentraler Grenzwertsatz

40 Kein absoluter Ausgleich Entwicklung des Anteils der Erfolge 7,% 65,% 6,% 55,% 5,% 45,% Die Schwankungsbreite für die absolute Abweichung nimmt beständig zu. 4,% 35,% beobachteter Anteil UG ANTEIL OG ANTEIL 6 Entwicklung der Anzahl der Erfolge 3,% Die relative Häufigkeit wird immer genauer. Anzahl der Erfolge beobachtete Anzahl UG ANZAHL OG ANZAHL ERWARTUNG Anzahl der Münzwürfe Statistik für SoziologInnen 4 Zentraler Grenzwertsatz

41 ,5 5, 4,,25 3, 2, 1,,, -1, -,25-2, -3, relative Abweichung absolute Abweichung -4, -,5-5, Statistik für SoziologInnen 41 Zentraler Grenzwertsatz