Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

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1 Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester

2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter Wahrscheinlichkeitsraum Definition 1.1 Sei Ω eine endliche oder abzählbar unendliche Menge. Sei Pr : Ω R eine Abbildung. (Ω, Pr) ist ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, falls folgende Bedingungen erfüllt sind: 1. Für alle ω Ω gilt: 0 Pr [ω] ω Ω Pr [ω] = 1. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 2 / 71

3 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Ereignis Definition 1.2. Sei (Ω, Pr) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Menge A Ω heißt Ereignis. Die Wahrscheinlichkeit Pr [A] des Ereignisses A ist definiert als Pr [A] = ω A Pr [ω]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 3 / 71

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Prinzip von Laplace Prinzip von Laplace: Wenn nichts dagegen spricht, kann man davon ausgehen, dass alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind. Formal: Für alle ω Ω gilt: Voraussetzung: Ω < Pr [ω] = 1 Ω. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 4 / 71

5 Rechenregeln Additionssatz Satz 2.1 (Additionssatz) Für zwei disjunkte Ereignisse A und B gilt: Pr [A B] = Pr [A] + Pr [B]. Allgemein: Sind die Ereignisse A 1,..., A n paarweise disjunkt, dann gilt: [ n ] n Pr A i = Pr [A i ]. i=1 Für eine unendliche Menge von disjunkten Ereignissen A 1, A 2,... gilt: i=1 [ ] Pr A i = i=1 Pr [A i ]. i=1 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 5 / 71

6 Rechenregeln Elementare Rechenregeln Satz 2.2 Für zwei beliebige Ereignisse A und B gilt: 1. Pr [ ] = 0, Pr [Ω] = Pr [A] Pr [ A ] = 1 Pr [A]. 4. Wenn A B, dann Pr [A] Pr [B]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 6 / 71

7 Rechenregeln Siebformel Satz 2.3 (Siebformel) Für zwei Ereignisse A und B gilt: Pr [A B] = Pr [A] + Pr [B] Pr [A B]. Für drei Ereignisse A 1, A 2 und A 3 gilt: Pr [A 1 A 2 A 3 ] = Pr [A 1 ] + Pr [A 2 ] + Pr [A 3 ] Pr [A 1 A 2 ] Pr [A 1 A 3 ] Pr [A 2 A 3 ] + Pr [A 1 A 2 A 3 ] Allgemein: Für n 2 Ereignisse A 1,..., A n gilt: Pr [A 1... A n ] [ ] = ( 1) S +1 Pr A i S {1,...,n} i S Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 7 / 71

8 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Definition 3.1 Gegeben sind die Ereignisse A und B, wobei Pr [B] > 0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit Pr [A B] von A gegeben B ist definiert durch Pr [A B] Pr [A B] =. Pr [B] Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 8 / 71

9 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Multiplikationssatz Satz 3.5 (Multiplikationssatz) Gegeben sind die Ereignisse A 1,..., A n. Angenommen, Pr [A 1... A n ] > 0. Dann gilt: Pr [A 1... A n ] = Pr [A 1 ] Pr [A 2 A 1 ] Pr [A 3 A 1 A 2 ]... Pr [A n A 1... A n 1 ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 9 / 71

10 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Geburtstagsproblem exp(-x) 1-x 2 y x Approximation von 1 x durch e x Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 10 / 71

11 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Beispiel: Geburtstagsproblem (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 11 / 71

12 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Satz der totalen Wahrscheinlichkeit Satz 3.7 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit) Angenommen die Ereignisse A 1,..., A n bilden eine Partition von Ω, d.h. n i=1 A i = Ω und für alle i j gilt A i A j =. Dann gilt für jedes Ereignis B Ω: Pr [B] = n Pr [B A i ] Pr [A i ]. i=1 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 12 / 71

13 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Satz von Bayes Satz 3.9 (Satz von Bayes) Gegeben sind die paarweise disjunkten Ereignisse A 1,..., A n. Falls B A 1... A n mit Pr [B] > 0, dann ist für ein beliebiges i {1,..., n} Pr [A i B] = Pr [B A i ] Pr [A i ] Pr [B] Pr [B A i ] Pr [A i ] = n j=1 Pr [B A j ] Pr [A j ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 13 / 71

14 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Satz von Bayes (Forts.) Satz 3.9 (Satz von Bayes) Für eine unendliche Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A 1, A 2,... mit B i=1 A i gilt analog, dass Pr [A i B] = Pr [B A i ] Pr [A i ] Pr [B] Pr [B A i ] Pr [A i ] = j=1 Pr [B A j ] Pr [A j ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 14 / 71

15 Unabhängige Ereignisse Unabhängige Ereignisse Definition 4.1 (Unabhängigheit) Die Ereignisse A und B sind unabhängig, falls gilt. Pr [A B] = Pr [A] Pr [B] Konsequenz: Für zwei unabhängige Ereignisse A und B gilt: Pr [A B] = Pr [A]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 15 / 71

16 Unabhängige Ereignisse Unabhängige Ereignisse (Forts.) Definition 4.3 (Unabhängigkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n sind unabhängig, wenn für alle Teilmengen S {1,..., n} gilt, dass [ ] Pr A i = Pr [A i ]. i S i S Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 16 / 71

17 Unabhängige Ereignisse Eine nützliche Eigenschaft Notation: A 0 = A und A 1 = A. Satz 4.4 Seien A 1,..., A n beliebige Ereignisse. Sei k {1,..., n} und sei {i 1,..., i k } {1,..., n} eine beliebige Auswahl von Indizes. Angenommen, für alle (b 1,..., b n ) {0, 1} n gilt: Pr [ A b ] [ Abn n = Pr A b 1 ] [ 1... Pr A b n ] n. Dann gilt für alle (b i1,..., b ik ) {0, 1} k, dass [ ] Pr A b i 1 i 1... A b i k i k = Pr [ ] A b i 1 i 1... Pr [ ] A b i k i k. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 17 / 71

18 Unabhängige Ereignisse Nachweis der Unabhängigkeit von Ereignissen Satz 4.5 Die Ereignisse A 1,..., A n sind genau dann unabhängig, wenn für alle (b 1,..., b n ) {0, 1} n gilt, dass Pr [ A b ] [ Abn n = Pr A b 1 ] [ 1... Pr A b n ] n, wobei A 0 i = A i und A 1 i = A i. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 18 / 71

19 Unabhängige Ereignisse Kombination von unabhängigen Ereignissen Satz 4.6 Sind A, B und C unabhängige Ereignisse, dann sind auch A B und C bzw. A B und C unabhängige Ereignisse. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 19 / 71

20 Zufallsvariablen Zufallsvariable Definition 5.1 (Zufallsvariable) Gegeben ist ein Wahrscheinlichkeitsraum mit Ereignisraum Ω. Eine Abbildung X : Ω R heißt Zufallsvariable (über Ω). Eine Zufallsvariable X über einer endlichen und abzählbar unendlichen Ergebnismenge Ω heißt diskret. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 20 / 71

21 Zufallsvariablen Bedingte Zufallsvariable Definition 5.2 (Bedingte Zufallsvariable) Sei X eine Zufallsvariable und A ein Ereignis mit Pr [A] > 0. Die bedingte Zufallsvariable X A besitzt die Dichte f X A (x) = Pr [X = x A] = Pr [ X 1 (x) A ]. Pr [A] Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 21 / 71

22 Zufallsvariablen Dichte und Verteilung einer Zufallsvariablen Definition 5.3 (Dichte und Verteilung) Sei X eine diskrete Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Die Dichtefunktion (kurz: Dichte) von X ist die Funktion f X : R [0; 1] mit f X (x) = Pr [X = x] = Pr [ω]. ω X 1 (x) Die Verteilungsfunktion (kurz: Verteilung) von X ist die Funktion F X : R [0; 1] mit F X (x) = Pr [X x] = x x Pr [X = x ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 22 / 71

23 Zufallsvariablen Beispiel: Summe zweier Würfel Dichte der Augensumme zweier Würfel Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 23 / 71

24 Zufallsvariablen Beispiel: Summe zweier Würfel (Forts.) Verteilung der Augensumme zweier Würfel Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 24 / 71

25 Zufallsvariablen Kombination Zufallsvariable und Funktion Satz 5.5 Sei X eine Zufallsvariable über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω und sei f : R R eine beliebige Abbildung. Dann ist f(x) eine Zufallsvariable über Ω. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 25 / 71

26 Erwartungswert Erwartungswert Definition 6.1 (Erwartungswert) Der Erwartungswert Exp [X] einer diskreten Zufallsvariablen X ist definiert als Exp [X] = x W X x Pr [X = x] = x W X x f X (x) vorausgesetzt die obige Summe konvergiert. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 26 / 71

27 Erwartungswert Berechnung von Erwartungswerten Satz 6.4 Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A 1,..., A n eine Partition des Ereignisraums Ω. Angenommen, es gilt Pr [A i ] > 0 für alle i {1,..., n}. Dann ist: Exp [X] = n Exp [X A i ] Pr [A i ]. i=1 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 27 / 71

28 Erwartungswert Berechnung von Erwartungswerten (Forts.) Satz 6.4 (Variante 2) Sei X eine diskrete Zufallsvariable. Sei A 1, A 2, A 3,... eine Partition des Ereignisraums Ω. Angenommen, es gilt Pr [A i ] > 0 für alle i {1, 2, 3,...}, die Erwartungswerte Exp [X A i ] existieren und die Summe i=1 Exp [X A i] Pr [A i ] konvergiert. Dann ist: Exp [X] = Exp [X A i ] Pr [A i ]. i=1 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 28 / 71

29 Erwartungswert Berechnung von Erwartungswerten (Forts.) Satz 6.6 Sei X eine Zufallsvariable, deren Erwartungswert existiert. Dann gilt: Exp [X] = ω Ω X(ω) Pr [ω]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 29 / 71

30 Erwartungswert Monotonie des Erwartungswerts Satz 6.7 (Monotonie des Erwartungswerts) Seien X und Y Zufallsvariablen über dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω. Falls für alle ω Ω die Ungleichung X(ω) Y(ω) gilt, dann gilt Exp [X] Exp [Y]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 30 / 71

31 Erwartungswert Linearität des Erwartungswerts Satz 6.8 (Linearität des Erwartungswerts) Sei X eine Zufallsvariable und seien a, b R beliebige Zahlen. Dann gilt: Exp [a X + b] = a Exp [X] + b. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 31 / 71

32 Erwartungswert Nochmals Berechnung von Erwartungswerten Satz 6.9 Sei X eine Zufallsvariable mit W X N 0. Dann gilt: Exp [X] = Pr [X i]. i=0 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 32 / 71

33 Erwartungswert Linearität des Erwartungswerts Satz 6.10 (Linearität des Erwartungswerts) Seien X 1,..., X n Zufallsvariablen und a 1,..., a n R beliebige Zahlen. Für die Zufallsvariable X = a 1 X a n X n gilt: Exp [X] = a 1 Exp [X 1 ] +... a n Exp [X n ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 33 / 71

34 Erwartungswert Multipikativität des Erwartungswerts Satz 6.12 (Multiplikativität des Erwartungswerts) Für unabhängige Zufallsvariablen X 1,..., X n gilt Exp [X 1... X n ] = Exp [X 1 ]... Exp [X n ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 34 / 71

35 Varianz und Standardabweichung Varianz und Standardabweichung Definition 7.2 (Varianz) Sei X eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ = Exp [X]. Die Varianz Var [X] von X ist definiert als Var [X] = Exp [ (X µ) 2] = x W X (x µ) 2 Pr [X = x]. Definition 7.3 (Standardabweichung) Die Standardabweichung (Streuung) von X ist definiert als σ X = Var [X]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 35 / 71

36 Varianz und Standardabweichung Berechnung der Varianz Satz 7.5 Für eine beliebige Zufallsvariable X gilt Var [X] = Exp [ X 2] Exp [X] 2. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 36 / 71

37 Varianz und Standardabweichung Varianz einer linearen Funktion Satz 7.7 Für eine beliebige Zufallsvariable X und a, b R gilt Var [a X + b] = a 2 Var [X]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 37 / 71

38 Varianz und Standardabweichung Varianz unabhängiger Zufallsvariablen Satz 7.8 Seien X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen. Sei X = X X n. Dann gilt: Var [X] = Var [X 1 ] Var [X n ]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 38 / 71

39 Diskrete Verteilungen Binomialverteilung Binomialverteilung Eine Zufallsvariable X mit W X = {0, 1, 2,..., n} ist binomialverteilt mit den Parametern n und p, symbolisch X Bin(n, p), falls ( ) n Pr [X = k] = p k (1 p) n k k für alle k = 0, 1, 2,..., n. Es gilt: Exp [X] = n p Var [X] = n p (1 p) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 39 / 71

40 Diskrete Verteilungen Binomialverteilung Binomialverteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 40 / 71

41 Diskrete Verteilungen Binomialverteilung Binomialverteilung (Forts.) Satz 9.1 Wenn X Bin(n X, p) und Y Bin(n Y, p), dann gilt für Z = X + Y, dass Z Bin(n X + n Y, p). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 41 / 71

42 Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung Geometrische Verteilung Eine Zufallsvariable X mit W X = N ist geometrisch verteilt mit dem Parameter p, symbolisch X Geo(p), falls für alle k N. Es gilt: Exp [X] = 1 p Var [X] = 1 p p 2 Pr [X = k] = (1 p) k 1 p Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 42 / 71

43 Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung Geometrische Verteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 43 / 71

44 Diskrete Verteilungen Geometrische Verteilung Geometrische Verteilung (Forts.) Satz 9.2 (Gedächtnislosigkeit) Falls X Geo(p), dann gilt Pr [X > y + x X > x] = Pr [X > y]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 44 / 71

45 Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung Poisson Verteilung Eine Zufallsvariable X mit W X = N 0 ist Poisson verteilt mit dem Parameter λ, symbolisch X Poi(λ), falls für alle k N 0. Es gilt: Exp [X] = λ Var [X] = λ Pr [X = k] = e λ λ k k! Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 45 / 71

46 Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung Poisson Verteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 46 / 71

47 Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung Poisson Verteilung (Forts.) Gesetz der seltenen Ereignisse: Für alle λ N gilt: lim n ( n k ) ( λ n ) k ( 1 λ ) n k = λk n k! e λ Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 47 / 71

48 Diskrete Verteilungen Poisson Verteilung Poisson Verteilung (Forts.) Satz 9.5 Summe von Poisson Verteilungen Seien X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen, wobei X i Poi(λ i ) für alle i = 1,..., n. Sei X = X X n. Dann gilt: X Poi(λ λ n ). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 48 / 71

49 Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung Seien N, M, n näturliche Zahlen mit der Eigenschaft M N und n N. Die Zufallsvariable X ist hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M und n (symbolisch: X Hyp(N, M, n)), falls ( M )( N M ) k n k Pr [X = k] = ( N n) für alle k {0, 1,..., n}. Es gilt: Exp [X] = n M N Var [X] = n M N ( ) 1 M N n N N 1 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 49 / 71

50 Diskrete Verteilungen Hypergeometrische Verteilung Hypergeometrische Verteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 50 / 71

51 Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Markov Ungleichung Markov Ungleichung Satz 10.1 (Markov Ungleichung) Sei X eine Zufallsvariable, die nur nicht-negative Werte annimmt. Dann gilt für alle t R mit t > 0, dass Pr [X t] Exp [X]. t Äquivalent: Pr [X t Exp [X]] 1 t. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 51 / 71

52 Abschätzen von Wahrscheinlichkeiten Ungleichung von Chebyshev Ungleichung von Chebyshev Satz 10.2 (Ungleichung von Chebyshev) Sei X eine Zufallsvariable und t R mit t > 0. Dann gilt Pr [ X Exp [X] t] Var [X] t 2. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 52 / 71

53 Stetige Zufallsvariablen Einführendes Beispiel Beispiel Glücksrad ϕ Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 53 / 71

54 Stetige Zufallsvariablen Definition Stetige Zufallsvariable Definition 11.2 (Stetige Zufallsvariable) Eine stetige Zufallsvariable X ist definiert durch eine integrierbare Dichtefunktion f X : R R + 0 mit der Eigenschaft f X (x) dx = 1. Die zu f X gehörende Verteilungsfunktion F X ist definiert als F X (x) = Pr [X x] = x f X (t) dt Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 54 / 71

55 Stetige Zufallsvariablen Definition Ereignis Definition 11.3 (Ereignis) Sei X eine stetige Zufallsvariable. Eine Menge A R, die durch Vereinigung A = k I k abzählbar vieler paarweise disjunkter Intervalle beliebiger Art (offen, halboffen, geschlossen, einseitig unendlich) gebildet werden kann, heißt Ereignis. Das Ereignis A tritt ein, wenn X einen Wert aus A annimmt. Die Wahrscheinlichkeit von A ist definiert als Pr [A] = f X (x) dx = f X (x) dx. A k I k Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 55 / 71

56 Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz Erwartungswert und Varianz Definition 11.7 (Erwartungswert und Varianz) Sei X eine stetige Zufallsvariable. Der Erwartungswert von X ist Exp [X] = t f X (t) dt, falls das Integral t f X(t) dt endlich ist. Die Varianz von X ist Var [X] = Exp [ (X Exp [X]) 2] = wenn Exp [ (X Exp [X]) 2] existiert. (t Exp [X]) 2 f X (t) dt, Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 56 / 71

57 Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz Formel zur Berechnung des Erwartungswerts Satz 11.8 Sei X eine stetige Zufallsvariable und sei g : R R eine Abbildung. Für die Zufallsvariable Y = g(x) gilt: Exp [Y] = g(t) f X (t) dt. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 57 / 71

58 Stetige Verteilungen Gleichverteilung Gleichverteilung Die stetige Zufallsvariable X ist gleichverteilt über dem Intervall [a, b], wobei a < b, falls sie die Dichte f X (x) = { 1 b a x [a; b], 0 sonst. besitzt. Die entsprechende Verteilung ist: 0 x < a, x a F X (x) = a x b, b a 1 x > b. Es gilt: Exp [X] = a+b 2 Var [X] = (a b)2 12 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 58 / 71

59 Stetige Verteilungen Normalverteilung Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable X ist normalverteilt mit den Parametern µ R und σ R, symbolisch X N (µ, σ 2 ), falls sie die Dichte ( ) 1 f X (x) = exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 besitzt. Hierbei ist exp(x) = e x. Anstatt f X (x) schreibt man auch φ(x ; µ, σ). N (0, 1) nennt man die Standardnormalverteilung. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 59 / 71

60 Stetige Verteilungen Normalverteilung Normalverteilung (Forts.) Die Verteilungsfunktion von X N (µ, σ 2 ) ist 1 x ) (t µ)2 Φ(x; µ, σ) = exp ( dt 2πσ 2 2σ 2 Diese Funktion nennt man Gauß sche Phi-Funktion. Falls µ = 0 und σ = 1, dann schreibt man kurz Φ(x). Es gilt: Exp [X] = µ Var [X] = σ 2 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 60 / 71

61 Stetige Verteilungen Normalverteilung Normalverteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 61 / 71

62 Stetige Verteilungen Normalverteilung Transformation einer Normalverteilung Satz 12.2 Sei X eine normalverteilte Zufallsvariable mit X N (µ, σ 2 ). Dann gilt für beliebige a R {0} und b R, dass Y = ax + b normalverteilt ist mit Y N (aµ + b, a 2 σ 2 ). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 62 / 71

63 Stetige Verteilungen Normalverteilung Additivität der Normalverteilung Satz 12.5 (Additivität der Normalverteilung) Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien unabhängig und normalverteilt mit den Parametern µ i und σ i für i = 1,..., n. Dann ist die Zufallsvariable Z = a 1 X a n X n normalverteilt mit Erwartungswert µ = a 1 µ a n µ n und Varianz σ 2 = a 1 σ a n σ 2 n. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 63 / 71

64 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Exponentialverteilung Eine Zufallsvariable X ist exponentialverteilt mit Parameter λ R, symbolisch X EX P(λ), falls sie die Dichte { λ e λx x 0, f X (x) = 0 sonst besitzt. Die Verteilungsfunktion einer exponentialverteilten Zufallsvariable X ist für x 0 F X (x) = Für x < 0 ist F X (x) = 0. x 0 αe λt dt = 1 e λx. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 64 / 71

65 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Exponentialverteilung (Forts.) Angenommen, X Exp(λ). Dann gilt: Exp [X] = 1 λ Var [X] = 1 λ 2 Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 65 / 71

66 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Exponentialverteilung (Forts.) Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 66 / 71

67 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Multiplikation mit einer Konstanten Satz 12.7 Sei X eine exponentialverteilte Zufallsvariable mit Parameter λ. Für jedes a > 0 ist die Zufallsvariable Y = ax exponentialverteilt mit Parameter λ a. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 67 / 71

68 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Gedächtnislosigkeit Satz 12.8 (Gedächtnislosigkeit) Eine stetige Zufallsvariable X mit Wertebereich R + ist genau dann exponentialverteilt, wenn für alle x, y > 0 gilt: Pr [X > x + y X > y] = Pr [X > x]. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 68 / 71

69 Stetige Verteilungen Exponentialverteilung Minimum exponentialverteilter Zufallsvariablen Satz 12.9 Gegeben sind die paarweise unabhängigen Zufallsvariablen X 1,..., X n. Angenommen, X i ist exponentialverteilt mit Parameter λ i für i = 1,..., n. Dann ist die Zufallsvariable X = min{x 1,..., X n } exponentialverteilt mit dem Parameter λ λ n. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 69 / 71

70 Grenzwertsätze Der Zentrale Grenzwertsatz Der Zentrale Grenzwertsatz Satz 13.1 (Zentraler Grenzwertsatz) Angenommen, die Zufallsvariablen X 1,..., X n besitzen jeweils dieselbe Verteilung und seien unabhängig. Erwartungswert und Varianz von X i existieren für i = 1,..., n und seien mit µ bzw. σ 2 bezeichnet, wobei σ 2 > 0 gelten soll. Betrachte die Zufallsvariablen Y n = X X n für n 1. Es gilt: Die Folge der Zufallsvariablen Z n = Y n nµ σ2 n konvergiert gegen die Standardnormalverteilung. Formal: Für alle x R gilt: lim n Pr [Z n x] = Φ(x). Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 70 / 71

71 Grenzwertsätze Grenzwertsatz von DeMoivre Grenzwertsatz von DeMoivre Satz 13.3 (Grenzwertsatz von DeMoivre) Die Zufallsvariablen X 1,..., X n seien Bernoulli-verteilt mit gleicher Erfolgswahrscheinlichkeit p. Dann gilt für die Zufallsvariable H n = X X n, dass die Verteilung der Zufallsvariablen Z n = H n np np(1 p) für n gegen die Standardnormalverteilung konvergiert. Prof. Dr. C. Karg (HS Aalen) Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze 71 / 71