Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik. PD Dr. U. Ludwig. Vorlesung 7 1 / 19

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1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Studierende der Informatik PD Dr. U. Ludwig Vorlesung 7 1 / 19

2 2.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung (Fortsetzung) 2 / 19

3 Bedingter Erwartungswert Erinnerung: letzte Stunde Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariable X : E(X ) = x X (Ω) x p(x = x) Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X mit Dichte f : E(X ) := xf (x)dx Denition (Bedingter Erwartungswert) Sei Ω ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum und sei A Ω ein Ereignis. Sei X eine Zufallsvariable auf Ω. Der bedingte Erwartungswert ist deniert als: E(X A) = ω Ω X (ω)p({ω} A) = ω A X (ω)p({ω} A). 3 / 19

4 Varianz diskreter Zufallsvariablen Denition 2.18 Ist X eine diskrete Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X ) = µ, so heiÿt der Wert Var(X ) := E((X µ) 2 ) die Varianz von X. Satz Für eine diskrete Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ gilt Var(X ) = (x µ) 2 p(x = x) = E(X 2 ) µ 2. x X (Ω) 4 / 19

5 Beispiel: Roulette (Erwartungswert) X A Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro auf die Zahl 7 beschreibt. X B Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro auf ungerade Zahl beschreibt. X C Zufallsvariable, die den Gewinn beim Setzen von 1 Euro auf (1, 2, 3). Erwartungswerte: E(X A ) = 36 p(x A = 7) + 0 p(x A 7) = E(X B ) = 2 p(x B = ungerade) + 0 p(x B = gerade) = E(X C ) = 12 p(x C = 1, 2, 3) + 0 p(x C 1, 2, 3) = / 19

6 Beispiel: Roulette (Varianz) Var(X A ) = x Ω(x) Var(X B ) = Var(X C ) = 12 2 x 2 p(x = x) µ 2 = ( ) , ( ) , ( ) , / 19

7 Varianz stetiger Zufallsvariablen Denition 2.18 Ist X eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f derart, dass E(X 2 ) existiert, so deniert man die Varianz durch Var(X ) := (x E(X )) 2 f (x)dx. Denition 2.18 σ = σ X = Var(X ) heiÿt Standardabweichung von X. 7 / 19

8 Rechenregeln für die Varianz Satz 2.20 (Rechenregeln für die Varianz) Sei X eine Zufallsvariable. Dann gilt: (i) Var(X ) = E(X 2 ) µ 2. (ii) Var(aX + b) = a 2 Var(X ) für a, b R. 8 / 19

9 Standardisierte von X Denition Ist X eine Zufallsvariable mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2, so heiÿt die Zufallsvariable die Standardisierte von X. Bemerkung X = X µ σ Für die Standardisierte von X gilt: E(X ) = 1 σ E(X ) µ σ = µ σ µ σ = 0 Var(X ) = 1 σ 2 Var(X ) = σ2 σ 2 = 1 9 / 19

10 Rechenregeln für Erwartungswert und Varianz, im Falle unabhängiger Zufallsvariablen Satz 2.20 Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable mit den Erwartungswerten E(X ), E(Y ) so gilt: E(X Y ) = E(X ) E(Y ). Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable mit den Varianzen Var(X ), Var(Y ) so gilt: Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ). 10 / 19

11 Kovarianz zweier Zufallsvariablen Denition Sind X und Y Zufallsvariable, für die E(X ), E(Y ) existiert, so heiÿt Cov(X, Y ) := E((X E(X ))(Y E(Y ))) die Covarianz von X und Y. X und Y heiÿen unkorreliert, wenn die Covarianz Cov(X, Y ) = 0 ist. Satz (Eigenschaften der Kovarianz) Es gilt: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X ) E(Y ). Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, so sind sie unkorreliert. 11 / 19

12 2.3 Schwaches Gesetz groÿer Zahlen 12 / 19

13 Tschebyschesche Ungleichung Satz 2.21 [Tschebyschesche Ungleichung] Es seien (Ω, P(Ω), p) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X eine Zufallsvariable mit endlicher Varianz. Dann gilt für jedes ε > 0: p( X E(X ) ε) Var(X ) ε / 19

14 Schwaches Gesetz der groÿen Zahlen für unabhängige Zufallsvariable mit beschränkter Varianz Satz 2.22 Seien X 1,..., X n paarweise unabhängige Zufallsvariable mit gleichem Erwartungswert E(X 1 ) = E(X 2 ) =... = E(X n ) = µ und beschränkter Varianz Var(X k ) M für 1 k n. Dann gilt für alle ε > 0: ( ) 1 p n (X X n ) µ ε M nε / 19

15 Relative Häugkeiten versus Wahrscheinlichkeit n-stuges Bernoulli-Experiment mit {A, A} absolute Häugkeit des Eintretens von A: h n (A) = Anzahl der Fälle in denen A eintritt relative Häugkeit des Eintretens von A: r n = h n(a) n Für groÿe n nähert sich die relative Häugkeit r n (A) der Wahrscheinlichkeit p(a) an! 15 / 19

16 3 Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3.1 Die Binomialverteilung 16 / 19

17 Binomialverteilte Zufallsvariable Denition 3.1. Eine diskrete Zufallsvariable X heiÿt binomial-verteilt mit den Parametern n und p, wenn für 0 k n gilt ( ) n p(x = k) = p k (1 p) n k =: B k n,p(k). Wir sagen kurz: X ist B(n, p)- verteilt. Beispiel: Wir betrachten ein n-stuges Bernoulliexperiment mit Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {A, A} n. Die Zufallsvariable X A : Ω R ω Anzahl der A in ω, ist binomialverteilt. 17 / 19

18 Erwartungswert und Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariablen Satz 3.4 Ist X B(n, p) verteilt, so gilt für den Erwartungswert E(X ) = np und für die Varianz Var(X ) = np(1 p). Hilfssatz In einem n-stugen Bernoulliexperiment sei p(a) = p. Für k = 1,..., n sei die Zufallsvariable X i deniert durch { 1 falls A beim i-ten Versuch eintritt, X i (ω) := 0 sonst. Dann ist X = X X n die B(n, p)-verteilte Zufallsvariable X A, welche die Anzahl der Versuche angibt, in denen A eintritt. 18 / 19

19 Binomialverteilung (n=50) 19 / 19

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