4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung

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1 4 Unabhängige Zufallsvariablen. Gemeinsame Verteilung Häufig werden mehrere Zufallsvariablen gleichzeitig betrachtet, z.b. Beispiel 4.1. Ein Computersystem bestehe aus n Teilsystemen. X i sei der Ausfallzeitpunkt des i -ten Systems (i = 1,...,n). Man beschreibe den Ausfallzeitpunkt X des Gesamtsystems bei a) Parallelschaltung ( Ausfall Ausfall in allen Teilsystemen ) ; b) Serienschaltung ( Ausfall Ausfall in einem Teilsystem ). Lösung : a) X =max(x 1,...,X n ); b) X = min(x 1,...,X n ). Modelle für die gemeinsame Beschreibung von ZV. sind besonders einfach bei Unabhängigkeit : Definition 4.1. Seien (Ω, A,P) ein W-Raum und X i : (Ω, A) (X i, B i )-ZV. für i =1, 2,.... Dann heißen X 1,X 2,... (stochastisch ) unabhängig (bzgl. P ), wenn gilt : ( ) P (X i1 B i1,...,x ik B ik )=P(X i1 B i1 ) P(X ik B ik ) für jede endliche Auswahl {i 1,...,i k } N, B iν B iν (ν =1,...,k). Bemerkung 4.1. a) Nach Definition 4.1 genügt die Betrachtung von jeweils endlich vielen ZV., etwa X 1,...,X n. b) Sind alle X i diskret verteilt, d.h. existieren abzählbare Wertebereiche X i mit P (X i X i )=1 i =1,...,n, so gilt : X 1,...,X n unabhängig P (X 1 = x 1,...,X n = x n )= x i X i, n P (X i = x i ) i =1,...,n. c) Setzt man die ZV. X 1,...,X n zu X =(X 1,...,X n ) zusammen, so ist X ein (Ω, A) (X, B) Zufallsvektor ( vgl. Wahrscheinlichkeitstheorie ), wobei X = X 1 X n, B := B 1 B n := kleinste σ-algebra, die alle Ereignisse B 1 B n, B i B i, umfasst. 37

2 Definition 4.2. a) Die Verteilung P X auf B (im Sinne von Definition 2.2) von X =(X 1,...,X n ) heißt gemeinsame Verteilung der ZV. X 1,...,X n. b) Die Verteilung P Xi (auf B i ) der ZV. X i heißt i-te Rand-(Marginal-)Verteilung von P X. Es gilt : P Xi (B i ) = P ( ) (X 1,...,X n ) X 1 X i 1 B i X i+1 X n = P X (X 1 X i 1 B i X i+1 X n ), B i B i, d.h. die gemeinsame Verteilung P X = P X1,...,X n (i =1,...,n). bestimmt die Randverteilungen P Xi Beispiel 4.2. n-maliges Ziehen mit Zurücklegen aus einer Urne mit N Kugeln. Sei X i = Ergebnis der i-ten Ziehung (i =1,...,n). Modell : Ω = { ω =(ω 1,...,ω n ) ω i {1,...,N} } = {1,...,N} n, A = P(Ω), P ({ω}) = 1 ; N n Hier : X i (ω) =ω i (i =1,...,n), (X 1,...,X n )(ω) =(X 1 (ω),...,x n (ω)) = (ω 1,...,ω n )=ω; Bildraum : X =Ω, B = A = P(Ω), P X = P = diskrete Gleichverteilung auf P(Ω) ; i-te Randverteilung : P Xi ({x i })=P (X i = x i )= N n 1 N n = 1 N, [ diskrete Gleichverteilung auf P ( {1,...,N} )]. Sind die ZV. X 1,...,X n unabhängig? Ja, denn P (X 1 = x 1,...,X n = x n )= 1 N n = n P (X i = x i ) x i {1,...,N},,...,n. Beim Ziehen ohne Zurücklegen sind die ZV. X 1,...,X n nicht unabhängig! H Wie lässt sich das gemeinsame Zufallsgeschehen (die gemeinsame Verteilung) von endlich vielen ZV. beschreiben? Wir beschränken uns auf die beiden folgenden Möglichkeiten : a) Der Bildraum X von X =(X 1,...,X n ) ist abzählbar und B = P(X ): Dann ist die gemeinsame Verteilung P X = P X1,...,X n festgelegt durch die (diskrete) W-Dichte p(x 1,...,x n )=P (X 1 = x 1,...,X n = x n ), (x 1,...,x n ) X; 38

3 b) Bildraum X = R n und B = B n =Borel-σ-Algebra in R n = kleinste σ-algebra, die alle n-dimensionalen Intervalle (a, b) =(a 1,b 1 ) (a n,b n ) umfasst : Dann ist P X festgelegt durch Angabe der Wahrscheinlichkeiten P ( X (a, b) ) = P ( X 1 (a 1,b 1 ),...,X n (a n,b n ) ), a i <b i (i =1,...,n). Gilt sogar : P ( X (a, b) ) ( ) b1 = P X (a, b) = a 1... a n f(x 1,...,x n ) dx 1...dx n, wobei f : R n R 1 eine nicht-negative, Riemann-integrierbare Funktion ist mit... f(x 1,...,x n ) dx 1...dx n =1, so heißt X =(X 1,...,X n ) absolut-stetig verteilt mit (gemeinsamer) Dichte f. bn Beispiel 4.3. a) (Exponentialverteilung im R 3 ) { λ 1 λ 2 λ 3 e (λ 1x 1 +λ 2 x 2 +λ 3 x 3 ), x 1,x 2,x 3 > 0, f(x 1,x 2,x 3 )= 0, sonst. b) (Rechteckverteilung im R 2 ) { 1 (b f(x 1,x 2 )=, a 1 a 1 )(b 2 a 2 ) 1 <x 1 <b 1, a 2 <x 2 <b 2, 0, sonst. Bemerkung 4.2. Die Randverteilungen ergeben sich wie folgt : a) X =(X 1,...,X n ) diskret verteilt mit Dichte p(x 1,...,x n ): p i (x i )=P(X i = x i )= p(x 1,...,x i 1,x i,x i+1,...,x n ); xν (ν i) x i fest b) X =(X 1,...,X n ) absolut-stetig verteilt mit Dichte f(x 1,...,x n ): f i (x i )=... (x i fest) f(x 1,...,x n ) dx 1...dx i 1 dx i+1...dx n ist Dichte der Randverteilung P Xi (absolut-stetig ). Beispiele 4.3 (Fortsetzung) Die Randverteilungen besitzen Dichten : a) f i (x i ) = λ i e λ ix i I (0, ) (x i ) (i =1, 2, 3) ; b) f i (x i ) = 1 b i a i I (ai,b i )(x i ) (i =1, 2). 39

4 Bemerkung 4.3. Die Unabhängigkeit der X 1,...,X n der gemeinsamen Dichte, d.h. ergibt sich aus der Produktform a) falls X =(X 1,...,X n ) diskret verteilt ist mit Dichte n p(x 1,...,x n )= p i (x i ), p i i-te Randdichte, bzw. b) falls X =(X 1,...,X n ) absolut-stetig verteilt ist mit Dichte n f(x 1,...,x n )= f i (x i ), f i i-te Randdichte, so sind die ZV. X 1,...,X n unabhängig. Definition 4.3. Seien (Ω, A,P) ein W-Raum und X =(X 1,...,X n ): Ω R n eine n-dimensionale ZV. Die durch F (x 1,...,x n ):=P(X 1 x 1,...,X n x n ), (x 1,...,x n ) R n, definierte Abbildung F : R n [0, 1] heißt (gemeinsame ) VF. der ZV. X 1,...,X n. Analog zu den Sätzen 2.2/2.3 besitzt die gemeinsame VF. folgende Eigenschaften : Satz 4.1. Sei F (gemeinsame ) VF. der n-dimensionalen ZV. (X 1,...,X n ) auf (Ω, A,P). Dann gilt: a) F ist monoton wachsend in jeder Komponente x i (i =1,...,n); b) F ist rechtsstetig in jeder Komponente x i (i =1,...,n); c) lim x i ( i) F (x 1,...,x n )=0, lim F (x 1,...,x n )=1; x i + ( i) d) Ist X =(X 1,...,X n ) absolut-stetig verteilt mit Dichte f(x 1,...,x n ), so gilt in jedem Stetigkeitspunkt x von f : f(x) =f(x 1,...,x n )= e) P X ist durch F eindeutig festgelegt. n x 1... x n F (x 1,...,x n ); 40

5 Bemerkung 4.3 (Fortsetzung) Die Unabhängigkeit der X 1,...,X n ergibt sich ebenfalls aus der Produktform von F,d.h. aus n F (x 1,...,x n )= F i (x i ) (x 1,...,x n ) R n, F i i-te Rand-VF. Beispiel 4.1 (Fortsetzung) Die Ausfallzeitpunkte der n Teilsysteme seien unabhängig, identisch Exp(λ)-verteilt. Dann besitzt der Ausfallzeitpunkt X des Gesamtsystems die folgende Dichte : a) Parallelschaltung, d.h. X =max(x 1,...,X n ): F (x) = P (X x) =P (X 1 x,...,x n x) { n (1 e λx ) n, x > 0, = P (X i x) = 0, sonst. Ableitung : F (x) = { nλ e λx (1 e λx ) n 1, x > 0, 0, x < 0, d.h. X ist absolut-stetig verteilt mit Dichte f der Form : f(x) =nλ e λx (1 e λx ) n 1 I (0, ) (x); Erwarteter Ausfallzeitpunkt (über partielle Integration ) : EX = 0 xnλe λx (1 e λx ) n 1 dx = 1 λ n k=1 1 k ; b) Serienschaltung, d.h. X = min (X 1,...,X n ): F (x) = P ( n {X i x} ) =1 P ( n {X i >x} ) { 1 (e λx ) n =1 e nλx, x > 0, = 0, sonst. Also ist X = min (X 1,...,X n ) Exp(nλ)-verteilt mit Dichte f(x) =nλ e nλx I (0, ) (x). Erwarteter Ausfallzeitpunkt : EX = 1 nλ. 41

6 Bemerkung 4.4. Das obige Beispiel zeigt, dass das Minimum von n unabhängig, identisch verteilten (i.i.d.) ZV. mit einer Exp(λ)-Verteilung eine Exp(nλ)-Verteilung besitzt. Es gilt sogar allgemeiner : X i unabhängig, Exp(λ i )-verteilt (i =1, 2,...,n) = X = min (X 1,...,X n ) ist Exp(λ λ n )-verteilt. Eine weitere, sogar charakteristische, Eigenschaft der Exp(λ)-Verteilung ist deren Gedächtnislosigkeit (bzw. Nichtalterungseigenschaft ). Ein diskretes Analogon zur Exponentialverteilung bildet hierbei noch die geometrische Verteilung. Satz 4.2. a) X sei absolut-stetig verteilt auf (Ω, A, P) mit P (X > 0) = 1 und Dichte f(x) =λe λx I (0, ) (x) (λ>0, fest ). = P (X x + y X x) =P (X y) x, y 0; b) X sei diskret verteilt auf (Ω, A,P) mit P (X N 0 )=1und Dichte p(i) =pq i, i N 0 (0 <p<1, q=1 p, fest ) = P (X = i + j X i) =P (X = j) i, j N 0. Bemerkung 4.5. a) Falls X absolut-stetig verteilt ist mit P (X > 0) = 1, so gilt auch die Umkehrung in Satz 4.2 a) : Charakterisierung der Exponentialverteilung ; b) Falls X diskret verteilt ist mit P (X N 0 ) = 1 und P (X =0)=:p<1, so gilt auch die Umkehrung in Satz 4.2 b): Charakterisierung der geometrischen Verteilung. Die Unabhängigkeit von Zufallsvariablen bleibt unter ( messbaren ) Transformationen erhalten : Satz 4.3. Seien X 1,...,X n unabhängige, reelle ZV. auf (Ω, A,P) und h 1,...,h n messbare reelle Funktionen, d.h. h 1 i (B) B 1 B B 1, i =1,...,n. Dann gilt : Y 1 := h 1 (X 1 ),...,Y n := h n (X n ) sind unabhängige, reelle ZV. Beispiel 4.4. (X 1,...,X n ) unabhängige, reelle ZV. = a) X1 k,...,xn k unabhängige, reelle ZV. (k N, fest); b) s X 1,...,s Xn unabhängige, reelle ZV. (s >0, fest) ; c) e tx 1,...,e txn unabhängige, reelle ZV. (t R, fest). 42

7 Das Zufallsgeschehen eines (n-dimensionalen) Zufallsvektors unter einer n-dimensionalen Transformation verändert sich wie folgt : Seien X = (X 1,...,X n ) eine n-dimensionale ZV. auf (Ω, A,P) und h : R n R n messbar, d.h. h 1 (B) B n B B n, wobei B n = kleinste σ-algebra in R n, die alle n-dimensionalen Intervalle umfasst. Frage : Wie sieht die (gemeinsame) Verteilung aus von Y = h(x) = ( h 1 (X 1,...,X n ),...,h n (X 1,...,X n ) )? Antwort : a) Seien X 1,...,X n diskret verteilt i =1,...,n = X = (X 1,...,X n ) ist diskret verteilt und es genügt, die Wahrscheinlichkeitsdichte zu bestimmen : P (Y 1 = y 1...,Y n = y n )=P(h 1 (X) =y 1,...,h n (X) =y n )=P ( n {X h 1 i ({y i })} ), y =(y 1,...,y n ) h(x ), X Träger von P X, d.h. P X (X )=P(X X)=1. Beispiel 4.5. a) X =(X 1,X 2 ) besitze folgende gemeinsame Verteilung : p X (0, 1) = 1 3, p X(0, 3) = 1 6, p X(1, 2) = 1 2. Was ist die gemeinsame Verteilung von Y 1 = X 1 + X 2,Y 2 = X 1 X 2? Lösung : (0, 1) (1, 1), (0, 3) (3, 3), (1, 2) (3, 1) = p Y (1, 1) = 1 3, p Y (3, 3) = 1 6, p Y (1, 2) = 1 2. b) Sei (X 1,...,X n ) absolut-stetig verteilt mit (gemeinsamer) Dichte f = f(x 1,...,x n ). Dann gilt der folgende Transformationssatz : 43

8 Satz 4.4. X =(X 1,...,X n ) sei absolut-stetig verteilt auf (Ω, A,P) mit Dichte f = f(x 1,...,x n ), x =(x 1,...,x n ) R n. Ferner gelte : (i) h : R n R n ist injektiv mit Umkehrabbildung u : W R n, wobei W := h(r n ) offen ; (ii) h ist ein Diffeomorphismus, d.h. h und u besitzen stetige partielle Ableitungen. Bezeichne J = J(y) die Jacobi-Matrix der Umkehrabbilung u, also u 1 y 1 J(y) =. u n y 1 u 1 y n. u n y n, y W. Dann ist Y =(Y 1,...,Y n )=h(x) absolut-stetig verteilt mit (gemeinsamer ) Dichte { detj(y) f(u 1 (y),...,u n (y)), y W, g(y) =g(y 1,...,y n )= 0, sonst. Beispiel 4.6. X =(X 1,X 2 ) sei absolut-stetig verteilt mit gemeinsamer Dichte f = f(x 1,x 2 ) und Randdichten f 1 = f 1 (x 1 ), f 2 = f 2 (x 2 ). Man bestimme die gemeinsame Verteilung von Y 1 = X 1 + X 2,Y 2 = X 2 : Umkehrabbildung : X 1 = Y 1 Y 2,X 2 = Y 2, also u 1 (y) =y 1 y 2,u 2 (y) =y 2, y =(y 1,y 2 ) R 2 ; h, u bijektiv, stetig partiell differenzierbar ; ( ) det J(Y ) = det =1, y R2 = Dichte : g(y 1,y 2 )=f(y 1 y 2,y 2 ), (y 1,y 2 ) R 2. Als Dichte der Randverteilung von Y 1 = X 1 + X 2 erhält man sofort : g 1 (y 1 )= f(y 1 y 2,y 2 ) dy 2, y 1 R 1. Sind X 1,X 2 sogar unabhängig, etwa f(x 1,x 2 )=f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ), (x 1,x 2 ) R 2, so ergibt sich speziell : g 1 (y 1 )= f 1 (y 1 y 2 )f 2 (y 2 ) dy 2. 44

9 Z.B. : X 1,X 2 i.i.d., Exp(λ)- verteilt = Dichte von X 1 X 2 : g 1 (y 1 )= λ 2 e λ y 1, y 1 R 1 (Laplace-Verteilung ; Bezeichnung : D(λ)-Verteilung ). Definition 4.4. X 1,...,X n seien unabhängige, reelle ZV. auf (Ω, A,P). Die Verteilung P X1 + +X n der Summe X 1 + +X n heißt Faltung von P X1,...,P Xn, geschrieben P X1 P Xn. Bemerkung 4.6. Die Herleitung in Beispiel 4.6 zeigt, dass die Faltung zweier unabhängiger, absolut-stetig verteilter ZV. X und Y mit Dichten f = f(x) und g = g(y) die folgende Dichte besitzt (Dichte von Z = X + Y ): h(z) = f(z y)g(y) dy = g(z x)f(x) dx, z R 1. Beispiel 4.7. ( n -dimensionale Normalverteilung ) Die Funktion f : R n R 1 mit f(x 1,...,x n ):= 1 (2π) n/2 e (x x2 n )/2 ist W-Dichte einer n-dimensionalen ZV. X =(X 1,...,X n ), denn f 1 : R 1 R 1 f 1 (x 1 )= 1 2π e x2 1 /2, x 1 R 1, mit ist Dichte der N(0, 1)-Verteilung (vgl. Beispiel 2.5), d.h. f(x 1,...,x n )= n f 1 (x i ), (x 1,...,x n ) R n, ist (gemeinsame ) Dichte von n i.i.d., N(0, 1)-verteilten ZV. X 1,...,X n. Frage : Wie sieht die Dichte von Y = BX + a aus (a R n,b R n n regulär)? Antwort : y = h(x) =Bx + a ist injektiv, da B regulär, W = h(r n )=R n offen ; x = u(y) =B 1 (y a), y R n ; det J = det B 1 =1/ det B ; Setzt man Σ := BB, so gilt : x x2 n = x x =(y a) (B 1 ) B 1 (y a) =(y a) Σ 1 (y a), det B = det Σ 1/2, also Dichte von Y : g(y) = 1 (2π) n/2 det Σ 1 e 1/ (y a) Σ 1 (y a), y R n.

10 Definition 4.5. Ein Zufallsvektor Y mit obiger Dichte g heißt (n -dimensional ) normalverteilt mit Parametern a, Σ; Schreibweise : P Y = N(a, Σ). Erwartungswerte (von reellen Transformationen mehrerer ZV.) X =(X 1,...,X n ) sei eine n-dimensionale ZV. auf (Ω, A,P) und h : R n R 1 sei messbar, d.h. h 1 (B) B n B B 1. Satz 4.5. Sei X diskret verteilt mit Dichte p(x 1,...,x n ) oder absolut-stetig verteilt mit Dichte f(x 1,...,x n ). Dann gilt :... h(x 1,...,x n ) p(x 1,...,x n ), X diskret, x Eh(X) = 1 x n... h(x 1,...,x n ) f(x 1,...,x n ) dx 1...dx n, X absolut-stetig, falls die n-fache Summe bzw. das n-dimensionale Integral absolut konvergieren. Erwartungswerte (von Produkten unabhängiger ZV.) Satz 4.6. X, Y seien unabhängige, reelle ZV. auf (Ω, A,P) mit existierenden EW. EX,EY. Dann gilt : E(XY ) existiert und E(XY )=EX EY. Varianzen, Kovarianzen Seien X, Y reelle ZV. auf (Ω, A,P) mit E(X 2 ) <,E(Y 2 ) <. Dann gilt : Var(X + Y ) existiert und Var(X + Y )=Var(X)+Var(Y)+2E(X EX)(Y EY ). Definition 4.6. Seien X, Y reelle ZV. auf (Ω, A, P) mit existierenden zweiten Momenten. Dann heißt Cov(X, Y ):=E(X EX)(Y EY ) die Kovarianz von X und Y. Falls Cov(X, Y )=0, so heißen X und Y unkorreliert. Bemerkung 4.7. a) Var(X + Y )=Var(X)+Var(Y )+2Cov(X, Y ); 46

11 Allgemein : Var ( n ) n X i = Var(X i )+2 Cov(X i,x j ), i<j falls alle zweiten Momente existieren. b) X, Y unabhängig mit existierenden zweiten Momenten = Cov(X, Y )= 0, also X, Y unkorreliert ; Allgemein : X 1,...,X n unabhängig mit existierenden zweiten Momenten = Var ( n ) n X i = Var(X i ); c) Rechenregeln : X, Y, Z reelle ZV. mit existierenden zweiten Momenten ; a, b, c R 1 = 1) Cov(X, Y ) =Cov(Y,X),Cov(X, X) =Var(X); 2) Cov(aX, by )=ab Cov(X, Y ); 3) Cov(X, Y + Z) =Cov(X, Y )+Cov(X, Z), speziell : Cov(X, Y + c) = Cov(X, Y ); 4) Cov(X, Y )=E(XY ) (EX)(EY ) Verschiebungssatz. Beispiel 4.8. n aus N = R + S Kugeln gezogen : X = Anzahl gezogener roter Kugeln ; Var(X) =? a) Ziehen mit Zurücklegen : { 1, im i-ten Zug rot, Seien X i = 0, sonst ; = X 1,...,X n i.i.d., B(1,p)-verteilt (p = R ) N = Var(X) = Var ( n ) X i = nvar(x1 )=np(1 p). b) Ziehen ohne Zurücklegen : X i wie in a), aber abhängig ; Var(X) =Var ( n ) n X i = Var(X i )+ Cov(X i,x j ). i j Hier : EX i = p, Var(X i )=p(1 p) (wie in a)), aber EX i X j i j =1 P (X i =1)+0= R(R 1) N(N 1) 47

12 = Cov(X i,x j ) i j = R(R 1) ( ) R 2 = R(N R) N(N 1) N N 2 (N 1) Var(X) = n R N R R(N R) n(n 1) N N N 2 (N 1) ( )( =... = n R N 1 R N 1 n 1 N 1), d.h. kleinere Varianz beim Ziehen ohne Zurücklegen. und Für Abschätzungen von Momenten ist die Cauchy-Schwarz sche Ungleichung von großer Bedeutung : Satz 4.7. Seien X, Y reelle ZV. auf (Ω, A, P) mit existierenden zweiten Momenten. Dann gilt : a) {E(XY)} 2 E(X 2 ) E(Y 2 ); b) = gilt genau dann, wenn a, b R existieren mit a 2 + b 2 > 0 und P (ax + by =0)=1, d.h., wenn X und Y mit Wahrscheinlichkeit 1 linear abhängig sind. Beispiel 4.9. Sei P (X = x i,y = y i )= 1 (i =1,...,n) n = {E(XY )} 2 = ( 1 n ) 2 x i y i, EX 2 = 1 n x 2 i n n, EY 2 = 1 n = ( n ) 2 n n x i y i yi 2 (vgl. Lineare Algebra ). x 2 i n y 2 i Bemerkung 4.8. a) Mit zentrierten ZV. X = X EX, Y = Y EY : Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ); b) Für standardisierte ZV. X = X EX Var(X), Y = Y EY Var(Y ) : Cov(X,Y ) 1. Definition 4.7. Seien X, Y Varianzen. Dann heißt Korr(X, Y ):=ρ(x, Y ):= der Korrelationskoeffizient von X und Y. reelle ZV. auf (Ω, A, P) mit existierenden, positiven Cov(X, Y ) Var(X) Var(Y ) = Cov(X,Y ) 48

13 Bemerkung 4.9. ρ(x, Y ) ist ein Maß für die lineare Abhängigkeit zwischen X und Y. Nach Satz 4.7 und Bemerkung 4.8 gilt ρ(x, Y ) 1 und = genau dann, wenn X und Y mit Wahrscheinlichkeit 1 linear abhängig sind. Bedingte Verteilungen und bedingter Erwartungswert unter {Y = y}, falls Y absolut-stetig verteilt ist Man beachte : P (Y = y) = 0, also eine Definition wie in Definition 3.2 ist nicht möglich! Ansatz : Sei (X, Y ) absolut-stetig verteilt mit gemeinsamer Dichte f = f(x, y) und Randdichten f 1 = f 1 (x),f 2 = f 2 (y). Dann gilt : P (X [x, x +Δx] Y [y, y +Δy]) = Δx,Δy klein f(x, y)δxδy f 2 (y)δy = P (X [x, x +Δx],Y [y, y +Δy] P (Y [y, y +Δy]) f(x, y) f 2 (y) Δx =: f X Y =y(x)δx. Ferner : f X Y =y (x) definiert bei festem y mit f 2 (y) > 0 eine W-Dichte, denn es gilt : f X Y =y (x) 0 x und f X Y =y (x) dx = 1 f 2 (y) f(x, y) dx =1. Definition 4.8. Sei (X, Y ) absolut-stetig verteilte ZV. auf (Ω, A, P) mit gemeinsamer Dichte f X,Y = f X,Y (x, y) und Randdichten f X = f X (x),f Y = f Y (y). a) Dann heißt f X,Y (x, y), falls f Y (y) > 0, f X Y =y (x) := f Y (y) 0, sonst, bedingte Dichte von X unter Y = y. b) Existiert der EW. Eh(X, Y ) einer reellwertigen ZV. h(x, Y ), so heißt E[h(X, Y ) Y = y] := h(x, y) f X Y =y (x) dx bedingter EW. von h(x, Y ) unter Y = y. 49

14 Wie im diskreten Fall, d.h., wenn P (Y = y) > 0, so gilt auch hier der Satz vom iterierten Erwartungswert : Satz 4.8. Sei (X, Y ) absolut-stetig verteilte ZV. auf (Ω, A, P) mit Dichte f = f(x, y) und Randdichten f X = f X (x), f Y = f Y (y). Existiert der EW. Eh(X, Y ) einer reellwertigen ZV. h(x, Y ), so folgt : Eh(X, Y )= E[h(X, Y ) Y = y] f Y (y) dy. Unter Unabhängigkeit der ZV. X und Y ergibt sich speziell : Satz 4.9. Unter den Voraussetzungen von Satz 4.8 gelte zusätzlich, dass X und Y unabhängig sind, d.h. (o.e. ), dass f(x, y) =f X (x)f Y (y) x, y. Dann folgt : a) f X Y =y (x) =f X (x) y ; b) E[h(X, Y ) Y = y] =E[h(X, y)] y. Beispiel ( Laplace-Verteilung D(λ) ) a) X besitze eine Exp(λ)-Verteilung, U eine R(0, 1)-Verteilung und X, Y seien unabhängig. Setzt man { X, falls 0 <U 1 2 Z =, 1 X, falls <U<1, 2 so hat Z die Dichte f(z) = λ 2 e λ z, z R ; b) X, Y seien i.i.d. Exp(λ) -verteilt = Z := X Y ist D(λ)-verteilt. Bemerkung Als Spezialfall von Satz 4.8 ergibt sich die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit : P (X B) = P (X B Y = y) f Y (y) dy. 50