Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Wichtige Begriffe und Sätze aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Version: 15. Jänner 2017 Evelina Erlacher Inhaltsverzeichnis 1 Mengen 2 2 Wahrscheinlichkeiten 3 3 Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Erwartungswert 8 5 Varianz 10 6 Höhere Momente 10 7 Bivariate Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Unabhängige Zufallsvariablen Erwartungswert Kovarianz und Korrelationskoeffizient Wichtige Verteilungen Diskrete Verteilungen Stetige Verteilungen Tabellen zur Standardnormalverteilung Evelina Erlacher 1 WS 2016

2 1 Mengen Es sei Ω eine Menge (die Universalmenge ) und A, B seien Teilmengen von Ω. Dann schreiben wir: := {} leere Menge x A x ist ein Element von A x / A x ist kein Element von A A := Anzahl der Elemente in A Kardinalität von A A B : (x A x B) A ist eine Teilmenge von B B A (: A B) B ist eine Obermenge von A A B : (A B A B) B A (: A B) A ist eine echte Teilmenge von B B ist eine echte Obermenge von A P(A) := Menge aller Teilmengen von A Potenzmenge von A [a, b] := {x R a x b} abgeschlossenes Intervall von a bis b (a, b) := {x R a < x < b} offenes Intervall von a bis b (a, ) := {x R a < x} und [a, ) := {x R a x} (, b) := {x R x < b} und (, b] := {x R x b} Mengenoperatoren (1): Es seien A, B Teilmengen von Ω. Dann definieren wir: A B := {x Ω x A x B} Vereinigung von A und B A B := {x Ω x A x B} Durchschnitt von A und B A\B := {x Ω x A x / B} Differenz von A und B, A ohne B A c := {x Ω x / A} = Ω\A Komplement von A (in Ω) Mengenoperatoren (2): Es sei I eine Indexmenge. Für i I sei A i eine Teilmenge von Ω. Dann schreiben wir: k i=1 A i := A 1 A 2... A k = {x Ω i : x A i } k i=1 A i := A 1 A 2... A k = {x Ω i : x A i } i I A i := {x Ω i I : x A i } i I A i := {x Ω i I : x A i }. Evelina Erlacher 2 WS 2016

3 Es gelten (unter anderen) die folgenen Gesetze: A B = B A, A B = B A Kommutativgesetz (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C) Assoziativgesetz A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C) Distributivgesetz i I Ac i = ( i I A ) c, i i I Ac i = ( i I A c i) Gesetz von de Morgan Weiters gilt: A B A A B A\B = A B c A B A B A, B endlich, A B = A B = A + B P(A) = 2 A Definition (disjunkt): Zwei Mengen A und B heißen disjunkt, wenn A B = gilt. Eine Mengenfamilie (A i ) i I heißt paarweise disjunkt, wenn A i A j = für i j gilt. Definition (Partition): Eine Mengenfamilie (A i ) i I paarweise disjunkt ist und Ω = i I A i gilt. heißt Partition von Ω, wenn sie 2 Wahrscheinlichkeiten Es sei Ω eine Menge und der Ereignisraum (=Ergebnisraum) eines Zufallsexperiments. Ereignisse sind (gewisse) Teilmengen von Ω. Ereignisse der Form {ω} (mit ω Ω) heißen Elementarereignisse. Definition (Wahrscheinlichkeit): Es sei A ein Ereignis. Eine Funktion P : A P (A) mit den Eigenschaften (P1) P (A) [0, 1] (P2) P (Ω) = 1 (P3) A 1, A 2, A 3... paarweise disjunkt P ( i=1 A i) = i=1 P (A i) Evelina Erlacher 3 WS 2016

4 heißt Wahrscheinlichkeit auf Ω. Die Eigenschaften (P1), (P2) und (P3) werden auch als die Axiome von Kolmogorov bezeichnet. Aus dieser Definition leiten sich weitere Eigenschaften von P ab: (P-i) P ( ) = 0 (P-ii) Spezialfall von (P3): A B = P (A B) = P (A) + P (B) (P-iii) Gegenwahrscheinlichkeit: P (A c ) = 1 P (A) (P-iv) Siebformel: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) (P-v) Monotonie: A B P (A) P (B) (P-vi) A B P (B\A) = P (B) P (A) (P-vii) P (B\A) = P (B) P (A B) Laplace sche Wahrscheinlichkeit: Sind alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich, so kann die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses A nach der Formel berechnet werden. P (A) = A Ω Definition (bedingte Wahrscheinlichkeit): Es seien A und B Ereignisse mit P (B) > 0. Dann heißt die durch P (A B) P (A B) := P (B) definierte Zahl P (A B) die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Mit dieser Definition gelten die folgenden Sätze: Satz von Bayes: Es seien A und B Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann gilt P (B A)(P (A) P (A B) =. P (B) Satz (Produktformel): Es seien A 1,..., A n Ereignisse. Dann gilt P (A 1... A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1... A n 1 ). Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit: Es sei {B 1,..., B n } eine Partition von Ω (d.h.: Ω = n i=1 B i und B i B j = für i j). Dann gilt für ein beliebiges Ereignis A: P (A) = P (A B 1 )P (B 1 ) P (A B n )P (B n ). Evelina Erlacher 4 WS 2016

5 Weiters gilt: P (A c B) = 1 P (A B). Definition (unabhängige Ereignisse): Zwei Ereignisse A und B heißen unabhängig, wenn P (A B) = P (A)P (B) gilt. Andernfalls heißen A und B abhängig. Die Ereignisse A 1,..., A n heißen unabhängig, wenn für jede Auswahl von mindestens zwei Ereignissen A i1,..., A ik (mit verschiedenen Indizes) P (A i1... A ik ) = P (A i1 )... P (A ik ) gilt. Andernfalls heißen A 1,..., A n abhängig. 3 Zufallsvariablen Definition (Zufallsvariable): Eine (reelle) Zufallsvariable X auf Ω ist eine Funktion der Form X : Ω R. Die Menge der Werte, die X auch annimmt, bezeichnen wir mit X(Ω). Also: X(Ω) heißt das Bild von X. X(Ω) := {x R ω Ω mit X(ω) = x}. Schreibweisen: Es seien X, Y : Ω R Zufallvariablen, x R und A R. {X = x} = {ω Ω : X(ω) = x} {X x} = {ω Ω : X(ω) x} {X A} = {ω Ω : X(ω) A} P (X = x) = P ({ω Ω : X(ω) = x}) P (X x) = P ({ω Ω : X(ω) x}) P (X A) = P ({ω Ω : X(ω) A}) Wir schreiben X Y, falls X(ω) Y (ω) für alle ω Ω gilt. Definition (Verteilungsfunktion): Die Verteilungsfunktion F X einer Zufallsvariablen X ist durch F X : R [0, 1], F X (x) := P (X x) gegeben. Evelina Erlacher 5 WS 2016

6 Es gilt (Charakterisierung der Verteilungsfunktion): Eine Funktion F : R [0, 1] ist genau dann eine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, wenn sie folgende drei Eigenschaften besitzt: (1) F ist monoton wachsend. (2) F ist rechtsseitig stetig, d.h. F (a + ) = F (a), wobei F (a + ) := lim x a F (x). (3) lim x F (x) = 0, lim x F (x) = 1 Weitere Eigenschaften von Verteilungsfunktionen: P (X < a) = F X (a ), wobei F X (a ) := lim x a F X (x) P (X = a) = F X (a) F X (a ), wobei F X (a ) := lim x a F X (x) P (a < X b) = F X (b) F X (a) 3.1 Diskrete Zufallsvariablen Definition (diskrete Zufallsvariable): Es sei X : Ω R eine Zufallsvariable. Ist die Menge X(Ω) endlich oder abzählbar, so heißt die Zufallsvariable X diskret. Spezialfall: Wenn Ω eine endliche oder abzählbare Menge ist, dann kann X auch nur endlich oder abzählbar viele verschiedene Werte annehmen, d.h. X(Ω) ist endlich oder abzählbar und X ist diskret. Definition (Wahrscheinlichkeitsfunktion): Die Wahrscheinlichkeitsfunktion p X einer diskreten Zufallsvariablen X : Ω R ist jene Funktion, die jedem x X(Ω) die Wahrscheinlichkeit, dass X diesen Wert annimmt, zuordnet. Also: p X : X(Ω) [0, 1], p X (x) := P (X = x). Eigenschaften der Wahrscheinlichkeitsfunktion: Es sei X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable. Dann gilt: p X (x) = P (X =x) = P ({ω}). ω Ω: X(ω)=x Es sei g : X(Ω) R eine Funktion. Wir definieren Y : Ω R, Y (ω) := (g X)(ω) = g(x(ω)). Dann ist Y selbst wieder eine diskrete Zufallsvariable, und es gilt p Y (y) = P (Y =y) = P ({ω}) = P (X =x) p X (x) für y Y (Ω) = g(x(ω)). ω Ω: Y (ω)=y x X(Ω): g(x)=y x X(Ω): g(x)=y Evelina Erlacher 6 WS 2016

7 Zusammenhang von Verteilungs- und Wahrscheinlichkeitsfunktion: Die Verteilungsfunktion F X einer diskreten Zufallsvariable X (mit X(Ω) = {x 1, x 2, x 3,... (, x n )}) ist eine Treppenfunktion. Sie ist durch F X (x) = P (X x) = x i x P (X = x i ) = x i x p X (x i ) gegeben. Die Sprunghöhe an der Stelle x entspricht der Wahrscheinlichkeit p X (x i ). 3.2 Stetige Zufallsvariablen Definition (stetige Zufallsvariable): Es sei X : Ω R eine Zufallsvariable und F X die zugehörige Verteilungsfunktion. Ist die Verteilungsfunktion F X stetig, dann heißt die Zufallsvariable X stetig. Ist X stetig, so ist Ω meist ein Intervall des Raums R (oder ein kartesisches Produkt von Intervallen im Raum R n ). Ist die Verteilungsfunktion F X einer Zufallsvariablen X stetig, dann gilt F (a) = F (a ) und somit P (X = a) = F X (a) F X (a ) = 0. Das heißt unter anderem, dass für eine stetige Zufallsvariable P (X a) = P (X < a) + P (X = a) = P (X < a) gilt. Analog gilt P (X a) = P (X > a). Definition (Dichte): Eine Funktion f X : R [0, ) heißt Dichte der Zufallsvariablen X, wenn für beliebige a, b R mit a < b gilt. P (a < X b) = b a f X (x) dx Es gilt (Charakterisierung der Dichte): Eine Funktion f : R R ist genau dann eine Dichte einer Zufallsvariablen, wenn sie folgende zwei Eigenschaften besitzt: (1) f(x) 0 für alle x R. (2) f(x) dx = 1. Weitere Eigenschaften von Dichtefunktionen: P (X = a) = a a f X(x) dx = 0. (Nicht neu, aber konsistent mit unseren bisherigen Überlegungen.) Der Wert f X (x) ist nicht die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X den Wert x annimmt! Evelina Erlacher 7 WS 2016

8 Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichte: Es gilt F X (x) = P (X x) = x f X (t) dt. Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung folgt daher, dass die Dichte f X die (stückweise) Ableitung der Verteilungsfunktion F X ist, d.h. F X(x) = f X (x). Variablentransformation: Es sei X : Ω R eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f X und Verteilungsfunktion F X. Weiters sei g : X(Ω) R eine (stückweise) differenzierbare Funktion. Wir definieren Y : Ω R, Y (ω) := (g X)(ω) = g(x(ω)). Dann ist Y selbst wieder eine stetige Zufallsvariable mit der Wertemenge Y (Ω) = g(x(ω)). Für die Dichte f Y und die Verteilungsfunktion F Y von Y gilt folgendes: Ist g streng monoton steigend und g (x) 0 auf X(Ω), dann existiert die Umkehrfunktion g 1 : Y (Ω) X(Ω) und es gilt für y Y (Ω): f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) und F Y (y) = F X (g 1 (y)). Ist g streng monoton fallend und g (x) 0 auf X(Ω), dann existiert die Umkehrfunktion g 1 : Y (Ω) X(Ω) und es gilt für y Y (Ω): f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) und F Y (y) = 1 F X (g 1 (y)). Definition (Quantil): Es sei X eine stetige Zufallsvariable mit invertierbarer Verteilungsfunktion F. Weiters sei γ (0, 1) eine Wahrscheinlichkeit. Das γ-quantil der Zufallsvariablen X ist jene Zahl x γ, für die F (x γ ) = γ gilt. Bemerkung: Bezeichnet F 1 die Umkehrfunktion von F, so gilt x γ = F 1 (γ). 4 Erwartungswert Definition (Erwartungswert): Es sei X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable. Die durch E(X) := x P (X = x) x X(Ω) gegebene Zahl E(X) (falls sie existiert) heißt Erwartungswert der Zufallsvariablen X. Wir schreiben oft auch µ für E(X). Evelina Erlacher 8 WS 2016

9 Es sei X : Ω R eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f X. Die durch E(X) := x f X (x) dx gegebene Zahl E(X) (falls sie existiert) heißt Erwartungswert der Zufallsvariablen X. Wir schreiben oft auch µ für E(X). Eigenschaften des Erwartungswerts: Für X, Y Zufallsvariablen und a, b R gilt: } (E1) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) E ist linear (E2) E(aX) = ae(x) (E3) E(a) = a (E4) X Y E(X) E(Y ) E ist monoton Weitere Eigenschaften des Erwartungswerts für diskrete Zufallsvariablen: Es sei X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable. Dann gilt: E(X) = x P (X = x) = X(ω) P ({ω}). x X(Ω) ω Ω Es sei g : R R eine Funktion. Wir definieren Y : Ω R, Y (ω) := (g X)(ω) = g(x(ω)). Dann ist Y selbst wieder eine diskrete Zufallsvariable, und es gilt E(Y ) = E(g(X)) = y P (Y = y) = g(x) P (X = x) y Y (Ω) x X(Ω) = ω Ω g(x(ω)) P ({ω}) = ω Ω Y (ω) P ({ω}). Weitere Eigenschaften des Erwartungswerts für stetige Zufallsvariablen: Es sei X : Ω R eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f X. Weiters sei g : R R eine (integrierbare) Funktion. Dann gilt E(g(X)) = g(x) f X (x) dx. Evelina Erlacher 9 WS 2016

10 5 Varianz Definition (Varianz, Standardabweichung): Es sei X : Ω R eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X). Die durch V (X) := E ( (X E(X)) 2) gegebene Zahl V (X) (falls sie existiert) heißt Varianz der Zufallsvariablen X. Wir schreiben oft auch σ 2 oder Var(X) für V (X). Die Zahl σ := V (X) heißt Standardabweichung oder Streuung der Zufallsvariablen X. Konkreter: Es sei X : Ω R eine Zufallsvariable mit Erwartungswert E(X). Ist X diskret, dann gilt V (X) = x X(Ω)(x E(X)) 2 P (X = x) = (X(ω) E(X)) 2 P ({ω}). ω Ω Ist X stetig mit Dichte f X, dann gilt V (X) = (x E(X)) 2 f X (x) dx. Eigenschaften der Varianz: Für X eine Zufallsvariable und a, b R gilt: (V1) V (ax + b) = a 2 V (X) (V2) V (X) = E(X 2 ) E(X) 2 Verschiebungssatz 6 Höhere Momente Definition (k-tes Moment): Es sei X eine Zufallsvariable und k N. Die Zahl m k (X) := E ( X k) (falls sie existiert) heißt k-tes Moment von X. Die Zahl z k (X) := E ( (X E(X)) k) (falls sie existiert) heißt k-tes zentriertes (oder zentrales) Moment von X. Evelina Erlacher 10 WS 2016

11 Es gilt: Das erste (nicht zentrierte) Moment von X ist der Erwartungswert E(X). Das zweite zentrierte Moment von X ist die Varianz V (X). Definition (Schiefe): Die Zahl ( ν(x) := E ) 3 X E(X) V (X) (falls sie existiert) heißt Schiefe von X. Wir sagen, die Verteilung von X ist symmetrisch, falls ν(x) = 0, linksschief, falls ν(x) < 0, rechtsschief, falls ν(x) > 0. Es gilt: Es sei µ = E(X) und σ 2 = V (X). Dann ( (X ) ) 3 µ ν(x) = E σ = E((X µ)3 ) σ 3 = z 3(X) z 2 (X) 3 2 = z 3(X) σ 3, d.h. die Schiefe ist das dritte zentrierte Moment z 3 (X) normiert auf die dritte Potenz der Standardabweichung σ. Definition (Wölbung): Die Zahl ( w(x) := E ) 4 X E(X) V (X) (falls sie existiert) heißt Wölbung oder Kurtosis von X. Es gilt: Es sei µ = E(X) und σ 2 = V (X). Dann ( (X ) ) 4 µ w(x) = E σ = E((X µ)4 ) σ 4 = z 4(X) z 2 (X) 2 = z 4(X) σ 4, d.h. die Wölbung ist das vierte zentrierte Moment z 4 (X) normiert auf die vierte Potenz der Standardabweichung σ. Evelina Erlacher 11 WS 2016

12 7 Bivariate Wahrscheinlichkeitsrechnung Es seien X : Ω X(Ω) R und Y : Ω Y (Ω) R zwei Zufallsvariablen. Definition (gemeinsame Verteilungsfunktion): Die gemeinsame Verteilungsfunktion F X,Y von X und Y ist durch gegeben. Es gilt: F X,Y : R R [0, 1], F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) F X,Y (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = F X,Y (x 2, y 2 ) F X,Y (x 1, y 2 ) F X,Y (x 2, y 1 ) + F X,Y (x 1, y 1 ) Die Verteilungsfunktionen F X und F Y von X bzw. Y, die sogenannten Randverteilungsfunktionen oder marginalen Verteilungsfunktionen, erhält man durch F X (x) = lim y F X,Y (x, y) bzw. F Y (y) = lim x F X,Y (x, y). 7.1 Diskrete Zufallsvariablen X und Y seien diskrete Zufallsvariablen. Definition (gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion): Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion p X,Y von X und Y ist durch gegeben. Es gilt: p X,Y : X(Ω) Y (Ω) [0, 1], p X,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) Zusammenhang mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion: p X,Y (x, y) = F X,Y (x, y) F X,Y (x, y) F X,Y (x, y ) + F X,Y (x, y ) und F X,Y (x, y) = x i x p X,Y (x i, y i ) y i y Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen p X und p Y von X bzw. Y, die sogenannten Randwahrscheinlichkeitsfunktionen oder marginalen Wahrscheinlichkeitsfunktionen, erhält man durch p X (x) = p X,Y (x, y) bzw. p Y (y) = p X,Y (x, y). y Y (Ω) x X(Ω) Evelina Erlacher 12 WS 2016

13 7.2 Stetige Zufallsvariablen X und Y seien stetige Zufallsvariablen. Definition (gemeinsame Dichte): Eine Funktion f X,Y : R 2 [0, ) heißt gemeinsame Dichte der Zufallsvariablen X und Y, wenn P (x 1 < X x 2, y 1 < Y y 2 ) = y2 x2 für beliebige x 1, x 2, y 1, y 2 R mit x 1 < x 2, y 1 < y 2 gilt. Es gilt: Zusammenhang mit der gemeinsamen Verteilungsfunktion: f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) und F (a, b) = y 1 x 1 f X,Y (x, y) dx dy b a f X,Y (x, y) dx dy Die Dichten f X und f Y von X bzw. Y, die sogenannten Randdichten oder marginalen Dichten, erhält man durch f X (x) = f X,Y (x, y) dy bzw. f Y (y) = 7.3 Unabhängige Zufallsvariablen f X,Y (x, y) dx. Definition (unabhängige Zufallsvariablen): Zwei Zufallsvariabeln X und Y heißen unabhängig, falls für alle Mengen A, B R gilt: P (X A, Y B) = P (X A) P (Y B). Diese Definition ist äquivalent zu der Eigenschaft Für alle a, b R gilt: P (X a, Y b) = P (X a ) P (Y b). Bemerkung: Das Produkt P (X a, Y b) = P (X a )P (Y b) kann auch als F X,Y (x, y) = F X (x) F Y (y) geschrieben werden. Es gilt: Es seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion p X,Y und Randwahrscheinlichkeitsfunktionen p X bzw. p Y. Dann: X und Y sind genau dann unabhängig, wenn gilt. p X,Y (x, y) = p X (x) p Y (y) Evelina Erlacher 13 WS 2016

14 Es seien X und Y stetige Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichte f X,Y den Randdichten f X und f Y. Dann: X und Y sind genau dann unabhängig, wenn und f X,Y (x, y) = f X (x) f Y (y) gilt. 7.4 Erwartungswert Es sei g : R 2 R eine Funktion. Es seien X und Y diskrete Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsfunktion p X,Y. Dann gilt: E(g(X, Y )) = x X(Ω) y Y (Ω) g(x, y) p X,Y (x, y). Es seien X und Y stetige Zufallsvariablen mit der gemeinsamen Dichte f X,Y. Dann gilt: E(g(X, Y )) = g(x, y) f X,Y (x, y) dx dy. 7.5 Kovarianz und Korrelationskoeffizient Die Kovarianz ist ein nichtstandardisiertes Zusammenhangsmaß für einen monotonen Zusammenhang zweier Zufallsvariablen mit gemeinsamer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Der Wert dieser Kenngröße macht tendenzielle Aussagen darüber, ob hohe Werte der einen Zufallsvariablen eher mit hohen (positive Kovarianz) oder eher mit niedrigen (negative Kovarianz) Werten der anderen Zufallsvariablen einhergehen. Definition (Kovarianz): Die durch Cov(X, Y ) = E ( (X E(X))(Y E(Y )) ) gegebene Zahl Cov(X, Y ) (falls sie existiert) heißt Kovarianz der Zufallsvariablen X und Y. Wir schreiben oft auch σ XY für Cov(X, Y ). Eigenschaften der Kovarianz: Für X, Y, X i, Y i Zufallsvariablen und a, b R gilt: (C1) Cov(X, X) = V (X) (C2) Die Kovarianz ist symmetrisch: Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) (C3) Die Kovarianz ist bilinear: Evelina Erlacher 14 WS 2016

15 Cov(X 1 + X 2, Y ) = Cov(X 1, Y ) + Cov(X 2, Y ) Cov(X, Y 1 + Y 2 ) = Cov(X, Y 1 ) + Cov(X, Y 2 ) Cov(aX, Y ) = a Cov(X, Y ) Cov(X, by ) = b Cov(X, Y ) (C4) Cov(X + a, Y + b) = Cov(X, Y ) (C5) Verschiebungssatz: Cov(X, Y ) = E(XY ) E(X)E(Y ) Die Bilinearität der Kovarianz hat zur Folge, dass die Kovarianz vom Maßstab der Zufallsvariablen abhängt. So erhält man beispielsweise die zehnfache Kovarianz, wenn man anstatt X die Zufallsvariable 10X betrachtet. Insbesondere hängt der Wert der Kovarianz von den verwendeten Maßeinheiten der Zufallsvariablen ab. Da diese Eigenschaft die absoluten Werte der Kovarianz schwer interpretierbar macht, betrachtet man bei der Untersuchung auf einen linearen Zusammenhang zwischen X und Y häufig stattdessen den maßstabsunabhängigen Korrelationskoeffizienten: Definition (Korrelationskoeffizient): Die durch ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) V (X) V (Y ) = σ XY σ X σ Y gegebene Zahl ρ(x, Y ) (falls sie existiert) heißt Korrelationskoeffizient der Zufallsvariablen X und Y. Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten: (K1) 1 ρ(x, Y ) 1 (K2) ρ(x, Y ) und Cov(X, Y ) haben dasselbe Vorzeichen. Insbesondere gilt: ρ(x, Y ) = 0 Cov(X, Y ) = 0 Definition: Die Zufallsvariablen X und Y heißen positiv korreliert, falls ρ(x, Y ) > 0, negativ korreliert, falls ρ(x, Y ) < 0, unkorreliert, falls ρ(x, Y ) = 0. Zusammenhang von Korrelation und Unabhängigkeit: X und Y unabhängig ρ(x, Y ) = Cov(X, Y ) = 0 Evelina Erlacher 15 WS 2016

16 Varianz von Summen: Für X i Zufallsvariablen gilt: ( n ) V X i = i=1 n n Cov(X i, X j ) = i=1 j=1 n V (X i ) + i=1 n Cov(X i, X j ) i=1 j i Spezialfälle: V (X + Y ) = V (X) + 2 Cov(X, Y ) + V (Y ) ( n ) Sind die Zufallsvariablen X i unabhängig, so gilt: V X i = n V (X i ) 8 Wichtige Verteilungen 8.1 Diskrete Verteilungen Diskrete Gleichverteilung Von X angenommene Werte: X(Ω) = {x 1, x 2,..., x n }, wobei x 1 < x 2 <... < x n Wahrscheinlichkeitsfunktion: P (X = x k ) = 1 für k {1, 2,..., n} n 0, x < x 1 l Verteilungsfunktion: F (x) = n, x l x < x l+1, l {1,..., n 1} 1, x n x Erwartungswert: E(X) = 1 n n k=1 x k Varianz: V (X) = 1 n n k=1 (x k E(X)) 2 Binomialverteilung Parameter n und p, wobei n N und p (0, 1). Schreibweise: X B(n, p). Von X angenommene Werte: X(Ω) = {0, 1, 2,..., n} Wahrscheinlichkeitsfunktion: P (X = k) = ( n k) pk (1 p) n k für k X(Ω) 0, x < 0 l ( n ) Verteilungsfunktion: F (x) = k=0 k pk (1 p) n k, l x < l + 1, l {0, 1,..., n 1} 1, n x Erwartungswert: E(X) = np Varianz: V (X) = np(1 p) i=1 i=1 Evelina Erlacher 16 WS 2016

17 Hypergeometrische Verteilung Parameter N, M und n, wobei N, M, n N mit n M N. Von X angenommene Werte: X(Ω) = {0, 1, 2,..., n} Wahrscheinlichkeitsfunktion: P (X = k) = (M k ) ( N M n k ) für k X(Ω) ( N n) 0, x < 0 l ( M k ) ( N M n k ) Verteilungsfunktion: F (x) = k=0 ( N n) 1, n x, l x < l + 1, l {0, 1,..., n 1} Erwartungswert: E(X) = n M N Varianz: V (X) = n M N (1 M N ) N n N 1 Poissonverteilung Parameter λ, wobei λ (0, ). Schreibweise: X P(λ). Von X angenommene Werte: X(Ω) = N 0 = {0, 1, 2, 3,...} Wahrscheinlichkeitsfunktion: P (X = k) = λk k! e λ für k X(Ω) = N 0 { 0, x < 0 Verteilungsfunktion: F (x) = e λ l λ k k=0, l x < l + 1, l N k! 0 Erwartungswert: E(X) = λ Varianz: V (X) = λ Geometrische Verteilung Parameter p, wobei p (0, 1). Von X angenommene Werte: X(Ω) = N = {1, 2, 3,...} Wahrscheinlichkeitsfunktion: P (X = k) = (1 p) k 1 p für k X(Ω) = N { 0, x < 1 Verteilungsfunktion: F (x) = 1 (1 p) l, l x < l + 1, l N Erwartungswert: E(X) = 1 p Varianz: V (X) = 1 p p 2 Evelina Erlacher 17 WS 2016

18 8.2 Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung auf einem Intervall Parameter a, b R, wobei a < b. { 1, x [a, b] b a Dichte: f(x) = 0, sonst 0, x < a x a Verteilungsfunktion: F (x) = b a, a x < b 1, b x Erwartungswert: E(X) = a+b 2 Varianz: V (X) = (b a)2 12 Exponentialverteilung Parameter λ, wobei λ (0, ). Schreibweise: X Exp(λ). { 0, x < 0 Dichte: f(x) = λe λx, 0 x Verteilungsfunktion: F (x) = { 0, x < 0 1 e λx, 0 x Erwartungswert: E(X) = 1 λ Varianz: V (X) = 1 λ 2 Standardnormalverteilung (Spezialfall der Normalverteilung) Schreibweise: X N (0, 1). Dichte: f(x) = 1 2π e x2 2 Verteilungsfunktion: F (x) = 1 2π x e t2 2 dt =: Φ(x) Erwartungswert: E(X) = 0 Varianz: V (X) = 1 Evelina Erlacher 18 WS 2016

19 Normalverteilung Parameter µ und σ, wobei µ R und σ (0, ). Schreibweise: X N (µ, σ 2 ). Dichte: f(x) = 1 σ 2π (x µ) 2 e 2σ 2 Verteilungsfunktion: F (x) = 1 x σ 2π e (t µ)2 2σ 2 dt = Φ( x µ σ ) Erwartungswert: E(X) = µ Varianz: V (X) = σ Tabellen zur Standardnormalverteilung Quantile der Standardnormalverteilung: γ Φ 1 (γ) γ Φ 1 (γ) γ Φ 1 (γ) Evelina Erlacher 19 WS 2016

20 Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung: Evelina Erlacher 20 WS 2016