7.5 Erwartungswert, Varianz

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1 7.5 Erwartungswert, Varianz Def. 7.5.: a) X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k <. Dann heißt: der Erwartungswert von X E(X) := n x k p k bzw. E(X) := x k p k b) Es sei X eine stetige ZV mit der Verteilungsdichte f(x), die die folgenden Zusatzbedingungen erfüllt: x f(x) dx <. Bem.: Dann heißt E(X) := x f(x) dx der Erwartungswert von X a) Im Folgenden seien die Zusatzbedingungen für alle behandelten ZV erfüllt. b) Es kann vorkommen, dass E(X) von der ZV X gar nicht angenommen wird. E(X) ist i.a. nicht der wahrscheinlichste Wert von X. c) E(X) ist als Durchschnittswert von X zu interpretieren Satz 7.5.: Für die Bildung des Erwartungswerts einer Funktion einer ZV gilt: E(g(X)) = Def : n g(x k ) p k bzw. = g(x k ) p k a) V (X) := E[(X E(X)) 2 ] heißt Varianz von X. b) (X) := + V (X) heißt Standardabweichung von X. Satz 7.5.2: a) E(a + bx) = a + b E(X) b) V (a + bx) = b 2 V (X) c) V (X) = E(X 2 ) (E(X)) 2 d) V (X) = 0 X = E(X) (fast sicher) e) Für jedes beliebige a IR gilt: V (X) E[(X a) 2 ] Bem.: Aus c) und d) folgt: E(X 2 ) (E(X)) 2 i. a. Beweis von Satz (teilweise): bzw. = g(x) f(x) dx a) X sei eine ZV, die nur die Werte 0,,2,..., n annehmen kann (für andere ZV verläuft der Beweis analog): E(a + b X) = n n n (a + b k)p k = a p k + b k p k = a + b E(X) (p k := P (X = k)) }{{} = 50 }{{} E(X)

2 b) V (a + b X) = E[(a + b X E(a + b X)) 2 ] = a) E[(a + b X a b E(X)) 2 ] = E[b 2 (X E(X)) 2 ] = a) b 2 E[(X E(X)) 2 ] = b 2 V (X) c) V (X) := E[(X E(X)) 2 ] = E[X 2 2X E(X) + (E(X)) 2 ] a) = E(X 2 ) 2 E(X) E(X) + (E(X)) 2 = E(X 2 ) (E(X)) 2 [ e) E (X a) 2] = E [(X E(X) + E(X) a) 2] = E [(X E(X)) 2 2(X E(X)) (E(X) a) + (E(X) a) 2] a) = V (X) 2(E(X) a) E(X E(X)) + (E(X) a) 2 V (X) }{{}}{{} = Spezielle Verteilungen 7.6. Binomialverteilung Def. 7.6.: Ein Zufallsexperiment habe nur zwei mögliche Ergebnisse, die wir mit Erfolg oder Fehlschlag bezeichnen. Die Wahrsch. für einen Erfolg sei p und für einen Fehlschlag sei q = p. Wird dieses Zufallsexperiment unter den gleichen Bedingungen n-mal wiederholt, so nennt man das ganze Bernoulli- Experiment. Satz 7.6.: X sei die ZV, die die Anzahl von Erfolg bei einem Bernoulli-Experiment beschreibt. Dann besitzt X eine Binomialverteilung mit den Parametern p und n, d.h. (7.6.) P (X = k) = ( n k) p k q n k (k = 0,,...) ( P (X = k) = 0 für k n + ) Satz 7.6.2: Für eine binomialverteilte ZV X mit den Parametern n und p gilt: a) E(X) = n p b) V (X) = n p q ( (X) = n p q) Anwendungsbeispiel: Lieferung von N Stück, M davon defekt (N, M keine ZV), n Ziehungen eines Stücks mit Zurücklegen. Bernoulli-Experiment: Jede Ziehung ist ein Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit p = M/N für einen Erfolg (= Ziehung eines defekten Stückes) und q := p für einen Fehlschlag (= Ziehung eines nicht defekten Stückes). Durch m. Z. werden nach jeder Ziehung die alten Bedingungen wiederhergestellt. Die ZV Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken ist also binomialverteilt mit p = M/N und n = Anzahl der Ziehungen insgesamt Poisson-Verteilung Def : Eine diskrete ZV X heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn gilt: P (X = k) = e λ λk k!, k = 0,, 2,... Satz 7.6.3: Für eine Poisson-verteilte ZV mit dem Parameter λ gilt: a) E(X) = λ b) V (X) = λ ( (X) = λ) 5

3 Satz 7.6.4: Es sei X eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p, n. Dann gilt: P (X = k) e λ λk k! λ = n p Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 und λ = n p 5 Bem.: Bei der Binomialverteilung sollte der Versuchsausgang mit Erfolg bezeichnet werden, der die deutlich kleinere Wahrscheinlichkeit hat, insbesondere dann, wenn die Poisson Näherung angewendet werden soll. Sind die Wahrscheinlichkeiten für beide Versuchsausgänge nahe bei /2, können die Bezeichnungen Erfolg oder Fehlschlag beliebig vergeben werden Normalverteilung oder Gauß-Verteilung Def : a) Eine ZV heißt normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz 2 (Abk. N(µ, )- verteilt), wenn sie folgende Verteilungsdichte besitzt (exp x := e x ): f(x) := 2 π exp ( 2 ( x µ )2 ), x IR b) Eine ZV X mit der Verteilungsdichte ϕ(x) := 2 π standard-normalverteilt oder N(0, )-verteilt. exp ( 2 x2 ) bezeichnet man als Φ(x) := x ϕ(u) du ist die zugehörige Verteilungsfunktion. Bem.: Φ(x) ist eine höhere transzendente Fkt.. Daher sind Tabellen nötig. Skizzen: ϕ(x) Φ(x) x x Vert.dichte zur N(.5,2)-Vert.: Vert.dichte zur N(3,0.5)-Vert.: f(x) f(x) x.5 Satz 7.6.5: Für eine N(µ, ) - verteilte ZV X gilt: 3 x a) E(X) = µ b) V (X) = 2 ( (X) = ) 52

4 Satz 7.6.6: a) Für jede N(0, ) - vert. ZV Z gilt: ( Z) ist auch N(0, ) - vert. b) Φ( x) = Φ(x) (Anwendung: Berechnung von Φ(x) für x < 0) c) Für eine N(µ, ) - vert. ZV X gilt (F (x): Verteilungsfkt, f(x): Vert.dichte): i) X µ ist N(0, ) - verteilt ii) F (x) = Φ( x µ ), f(x) = x µ ϕ( ) iii) P (a X b) = Φ( b µ a µ ) Φ( ) iv) P (X < a) = P (X a) = Φ( a µ v) P ( X µ t ) = Φ(t) Φ( t) = 2 Φ(t) (t 0) ), P (X > a) = P (X a) = Φ( a µ ) insbesondere = für t =, = für t = 2, = für t = 3 Beweis: Es wird ohne Beweis verwendet, dass mit X auch die ZV α X + β, normalverteilt ist. a) P ( Z x) = P (Z x) = u z x ϕ(u)du = x P (Z x) ϕ( z) }{{} = ϕ(z)(geradef kt.) α 0, β IR, d z = x ϕ(z)d z = b) Φ( x) = P (Z x) = P ( Z x) = a) P (Z x) = P (Z < x) Z stet.zv = P (Z x) = Φ(x) c) i) E( X µ Satz a) b) ) Bem.: = (E(X) µ) = 0 (nach Satz 7.6.5) V ( X µ Satz a) b) ) = V (X) = (nach Satz 7.6.5) 2 Damit ist aufgrund der o. g. allgemeinen Eigenschaft X µ ii) F (x) = P (X x) = P ( f(x) = F (x) = Φ ( x µ X µ }{{ } N(0,) vert. nach i) ) = x µ ϕ( ) x µ ) = Φ( x µ ) N(0, )-vert. iii) P (a X b) X stet.zv = P (a < X b) ii) = F (b) F (a) ii) = Φ( b µ a µ ) Φ( iv) P (X a) = F (a) ii) = Φ( a µ X stet. ZV ), P (X a) = P (X < a) = P (X a) = Φ( a µ ) v) P ( X µ t ) = P (µ t X µ + t ) iii) = Φ(t) Φ( t) b) = 2 Φ(t) a) Es gilt auch allgemein: E(X) = µ V (X) = 2 = E( X µ X µ ) = 0, V ( ) = ; X µ ist eine standardisierte ZV b) Die Aussage in Satz c) v) gilt für allgemeine ZV höchstens näherungsweise. Eine exakte, aber z. T. wesentlich schlechtere Abschätzung liefert Satz 6.9. ) 53

5 Satz 7.6.7: X sei eine binomialvert. ZV mit den Parametern p und n. Dann gilt für 0 k k 2 n: (7.6.2) P (k X k 2 ) Φ( k 2 n p n p q ) Φ( k n p n p q ) (vgl. Satz 7.0.) oder mit höherer Genauigkeit, wenn k und k 2 ganze Zahlen sind: (7.6.3) P (k X k 2 ) Φ( k n p n p q ) Φ( k 0.5 n p n p q ) Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 n p 5 n q 5. Bem.: a) Unter den Voraussetzungen von Satz sind auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von (7.6.2) oder (7.6.3) zu bestimmen: P (X k 0 ) = P (k 0 X n), P (X k 0 ) = P (0 X k 0 ) (k 0 = 0,, 2..., n) b) Wird der Bereich der Argumentwerte von Φ in einer Tabelle wie etwa der ausgegebenen überschritten, so kann man z.b. folgende Eigenschaften benutzen: Für x 3.90 gilt 0 < Φ(x) < und damit Φ(x) =.0000 auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau, für x 3.90 gilt 0 < Φ(x) < und damit Φ(x) = auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau Hypergeometrische Verteilung Ausgangsproblem: Lieferung von N Stück, M davon defekt (N, M keine ZV); zufällige Auswahl einer Stichprobe von n Stücken und deren Untersuchung (o. Z. o. B. d. A.); Wahrscheinlichkeit, das m Stücke in der Stichprobe defekt sind, =?. Bem.: Dieses Verfahren ist günstiger als das Verfahren in Für die ZV X := Anzahl der defekten Stücke in der Stichprobe gilt: (7.6.4) P (X = m) = (M m)( N M n m ) ( N n) = ( m)( n M m) N n ( M) N Def : Die in (7.6.4) beschriebene Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, M, n. Bedingungen: N, M, n, m Z, 0 n N, 0 m M N, 0 n m N M ( m n) Herleitung von Formel (7.6.4): Nach Satz a) haben alle Kombinationen o. Z. o. B. d. A. von n aus N Stücken die Wahrscheinlichkeit / ( N n). Das Ereignis X = m erfasst dann alle Kombinationen, bei denen genau m defekte und damit (n m) nicht defekte Stücke ausgewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten, m defekte Stücke für die Stichprobe aus M defekten Stücken der Lieferungen auszuwählen, beträgt ( M m), da dabei wie oben nach der Vorschrift o. Z. o. B. d. A. vorgegangen wird. Bei jeder solchen Auswahl muss dann die Stichprobe mit (n m) aus den (N M) nicht defekten Stücken der Lieferung aufgefüllt werden. Dafür gibt es ( N M) n m 54

6 Möglichkeiten, und zwar bei jeder Auswahl vom m defekten Stücken. Damit gibt es insgesamt ( M N M ) m)( n m Möglichkeiten für die Auswahl (o. Z. o. B. d. A.) von m defekten und (n m) nicht defekten Stücken. Dies ist also die Anzahl der Kombinationen o. Z. o. B. d. A., die von dem Ergebnis X = m erfasst werden, die dann nur mit der Wahrscheinlichkeit / ( N n) für jede dieser Kombinationen multipliziert zu werden braucht. Bem.: Eine ähnlich Herleitung für der Bin.-Vert. ist nicht möglich (vgl. Satz b)) Satz 7.6.8: Es sei X eine hypergeometrisch vert. ZV mit den Parametern N, M, n und Y eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p = M N und n. Dann gilt: P (X = m) P (Y = m) = ( n) m p m ( p) n m Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: N 000 n N 0.. Zur Näherung der Binominalverteilung vgl. die Sätze 7.6.4/7 Satz Für die ZV X aus Satz gilt: E(X) = n M N, V (X) = n M N N M N N n N 7.7 Gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallvariabler Def. 7.7.: Es seien X, X 2,..., X n beliebige ZV. Dann heißt: F (x, x 2,..., x n ) := P (X x X 2 x 2... X n x n ) die gemeinsame Verteilungsfunktion der ZV X, X 2,..., X n. Sie ist eine mögliche Beschreibung der gemeinsamen Verteilung der ZV. Def : X sei eine diskrete ZV, die die Werte x 0 < x <..., < x n annehmen kann und Y eine diskrete ZV, die die Werte y 0 < y <... < y m annehmen kann. Dann beschreiben die Wahrscheinlichkeiten p i,j := P (X = x i Y = y i ) ebenfalls die gemeinsame Verteilung von X und Y. Satz 7.7.: Für die Werte p i,j aus Def gilt: a) 0 p i,j für i = 0,,..., n; j = 0,,..., m b) P (X = x i ) = m p i,j =: p i,, P (y = y j ) = n p i,j =: p,j j=0 i=0 Diese Größen beschreiben die Randverteilungen. Für diese Randverteilungen gilt: n n p i, = p,j = i=0 Schema: j=0 X Y y 0 y y 2... y m x 0 p 0,0 p 0, p 0,2... p 0,m p 0, x p,0 p, p,2... p,m p, x n p n,0 p n, p n,2... p n,m p n, p,0 p, p,2... p,m Def : F (x, x 2,..., x n ) sei die gemeinsame Verteilungsfunktion der ZV X, X 2,..., X n und F i (x i ) seien die Verteilungsfunktionen der einzelnen ZV X i. Dann heißen X, X 2,..., X n 55

7 (stochastisch) unabhängig, wenn für alle x, x 2,..., x n IR gilt: (7.7.) F (x, x 2,..., x n ) = F (x ) F (x 2 ) F (x n ) Bem.: Diese Def. ist konsistent mit der Def b) (Unabhängigkeit von n Ereignissen) Satz 7.7.2: Zwei diskrete ZV X, Y (aus Def ) sind genau dann unabhängig, wenn für alle i = 0,,..., n und j = 0,,..., m gilt: P (X = x i Y = y j ) = P (X = x i ) P (Y = y j ) d.h. p i,j = p i, p,j (Def. vgl. Satz 7.7.) 7.8 Kovarianz und Korrelation (7.8.) E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Satz 7.8.: V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov(X, Y ) Cov(X, Y ) := E(X Y ) E(X) E(Y ) heißt die Kovarianz von X und Y. Satz 7.8.2: Für X, Y aus Def gilt: Satz 7.8.3: X, Y unabhängig E(X Y ) = n ( m x i y i p i,j ) i=0 j=0 Cov(X, Y ) = 0 ZV X, Y mit Cov(X, Y )=0 heißen unkorreliert Satz 7.8.4: Die ZV X, X 2,..., X n sollen alle den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz 2 besitzen. Dann gilt: a) E(X + X X n ) = n µ b) Im Fall der Unabhängigkeit der ZV: V (X + X X n ) = n 2 Def. 7.8.: Es seien X und Y zwei beliebige ZV mit V (X), V (Y ) > 0. Dann heißt ϱ(x, Y ) := Cov(X,Y ) der Korrelationskoeffizient von X und Y. V (X) V (Y ) Satz 7.8.5: X, Y seien ZV aus Def Dann gilt: a) ϱ(x, Y ), dabei nennt man X und Y unkorreliert, positiv korreliert, negativ korreliert, falls ϱ(x, Y ) = 0 ist, (vgl. o.) falls ϱ(x, Y ) > 0 ist, falls ϱ(x, Y ) < 0 ist b) ϱ(x, Y ) = + (bzw. -) Y = a + bx (fast sicher) für geeignete Konstante a IR und b > 0 (bzw. b < 0) Fasst man die Messwertpaare (x, y ), (x 2, y 2 ),..., (x n, y n ) als Realisation von einem Paar (X, Y ) von ZV auf, so ist (vergl. (6..6)) (xy x y) 2 b b 2 = (x 2 x 2 )(y 2 y 2 ), 56

8 wobei b (b 2 ) die Steigung der ersten (zweiten) Regressionsgerade ist, ein Schätzwert für (ϱ(x, Y )) 2. Damit wäre folgender Ausdruck ein Schätzwert für ϱ(x, Y ): (7.8.2) ˆϱ = xy x y x 2 x 2 y 2 y 2 Es gilt also: Beide Regressionsgeraden sind gleich b 2 = /b ˆϱ =. Außerdem gilt analog zu Satz 7.8.5b) nach (6..6): (7.8.3) ˆϱ = b b 2 = Alle Punkte (x i, y i ) liegen (exakt) auf einer Geraden. Allgemein gilt: (7.8.4) ˆϱ. Zur Bedeutung von ϱ: ˆϱ = xy x y x 2 x 2 y 2 y 2 = xy x y x 2 x 2 x 2 x 2 V ar(xi ) = b y 2 y 2 V ar(y i ) Ist also ( ϱ(x, Y ) := Cov(X, Y ) ) > 0 (< 0), (X) (Y ) so sind bei größeren Meßergebnissen x i bei der Meßgröße X entsprechend größere (kleinere) Meßergebnisse y i bei der Meßgröße Y zu erwarten, und zwar umso stärker, je größer ϱ ist. 7.9 Gesetz der großen Zahl Def. 7.9.: Eine unendliche Folge von ZV X, X 2,..., heißen eine Folge unabhängiger ZV, wenn je endlich viele der ZV unabhängig sind. Satz 7.9. (Tschebyscheff-Ungleichung): P ( X E(X) t (X)) t 2 Satz (Folgerung): Unter den Voraussetzungen von Satz b) gilt: P ( X +X X n n Satz (Starkes Gesetz der großen Zahl): µ α) 2 α 2 n (n IN, α > 0) a) Es sei X, X 2,... eine Folge unabhängiger ZV, die alle die gleiche Verteilung, den gleichen Erwartungswert µ und die gleiche Varianz 2 besitzen. Dann gilt: X +X X n n µ für n (fast sicher) b) A Ω sei ein Ereignis bei einem Zufallsexperiment, das beliebig oft wiederholt wird, und P (A) sei eine Wahrscheinlichkeit. Dann gilt für die rel. Häufigkeiten (vgl. Def ) h n (A) P (A) für n (fast sicher) 7.0 Zentraler Grenzwertsatz Satz 7.0.: Unter den Voraussetzungen von Satz a) gilt: P (a X + X X n n µ n b) Φ(b) Φ(a) für n, d.h. 57

9 Φ(b) Φ(a) für große n Bem. : Häufige Anwendung von Satz 7.0.: Annahme, dass eine unbekannte Verteilung durch eine Normalverteilung angenähert werden kann. Diese Anmahme ist nicht immer gerechtfertigt. 58