7.5 Erwartungswert, Varianz

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1 7.5 Erwartungswert, Varianz Beispiel 7.5.1: Es werden drei ideale Münzen geworfen, und der Gewinn sei X := Anzahl von W. In Beispiel hatten wir dazu eine Wahrscheinlichkeitverteilung ermittelt: X Wahrscheinlichkeit 1/8 3/8 3/8 1/8 Nun werde eine große Zahl m von solchen Würfen durchgeführt. Wie groß muss dann der Einsatz y pro Wurf sein, damit das Spiel fair ist? Dazu müssen wir erst einmal klären, mit welchem Gewinn man rechnen kann: f m (k sei die (absolute Häufigkeit von Gewinn k bei m Würfen. Der Gesamtgewinn beträgt dann: g m = 0 f m (0 + 1 f m (1 + 2 f m (2 + 3 f m (3 = 3 k f m (k Dies können wir mit Wahrscheinlichkeiten in Verbindung bringen. Für die relative Häufigkeit von Gewinn k bei m Würfen gilt nämlich (vergl. die Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit: f m (k P(X = k für große m m wird bei vielen Würfen erwartet Einsatz sollte, da das Spiel fair sein sollte, in etwa gleich dem Gewinn pro Wurf bei vielen Würfen sein, also y! g 3 m m = k fm(k 3 m k P(X = k = = 12 8 = k P(X = k ist nun der Gewinn, den man pro Wurf erwartet, und daher bezeichnet man diesen Ausdruck als Erwartungswert von der ZV X. Bei unserem Spiel sollte also der Einsatz y dem Erwartungswert 1.5 von dem Gewinn bei einem einzelnen Wurf sein. Def : a X sei eine diskrete ZV, die bei unendl. vielen Werten x k folgende Zusatzbedingung erfüllt: x k p k <. Dann heißt: der Erwartungswert von X E(X := n x k p k bzw. E(X := x k p k b Es sei X eine stetige ZV mit der Verteilungsdichte f(x, die die folgenden Zusatzbedingungen erfüllt: x f(x dx <. Dann heißt der Erwartungswert von X E(X := x f(x dx 79

2 Bem.: a Im Folgenden seien die Zusatzbedingungen für alle behandelten ZV erfüllt. b Es kann vorkommen, dass E(X von der ZV X gar nicht angenommen wird. E(X ist i.a. nicht der wahrscheinlichste Wert von X. c E(X ist meist näherungsweise gleich dem Durchschnittswert der Realisierungen der ZV X, wenn man ein Zufallsexperiment oft durchführt, aber i.a. nicht gleich diesem Durchschnittswert Beispiel 7.5.2: i X = { 0(=: x0 mit der Wahrscheinlichkeit q(=: p 0 1(=: x 1 mit der Wahrscheinlichkeit p(=: p 1 mit p,q 0 und p + q = 1. Die Bedingungen von Satz für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind also erfüllt. E(X := x 0 p 0 + x 1 p 1 = 0 q + 1 p = p ii X habe Standard-Normalverteilung (vergl. Unterabschnitt Wahrscheinlichkeitdichte: ϕ(x := 1 e x2 /2 2π Die Bedingungen von Satz für eine Verteilungsdichte sind erfüllt (ohne Beweis. E(X = xϕ(xdx = 1 2π da der Integrand eine ungerade Funktion ist. xe x2 /2 dx = 0 Für dieses Beispiel werden wir ausnahmsweise nachweisen, dass die Zusatzbedingung in Definition für die Existenz des Erwartungswertes erfüllt ist: Sei b > 0; dann gilt: b 0 x /2 }{{} e x2 dx = = x, da x 0 [ e x2 /2 ] b 0 = e b2 / für b = 0 x e x2 /2 dx ist konvergent Sei a < 0; dann gilt mit der Substitution ( x = u: 0 a x /2 }{{} e x2 dx = = x, da x 0 0 a ue u2 /2 ( 1du = a 0 u e u2 /2 du 1 für a = 0 x e x2 /2 dx ist konvergent 80

3 Also ist die Zusatzbedingung erfüllt, was nur bei diesem Beispiel ausgeführt wird und sonst ohne Beweis angenommen wird. Satz 7.5.1: Für die Bildung des Erwartungswerts einer Funktion einer ZV gilt: E(g(X = Def : n g(x k p k bzw. = g(x k p k bzw. = a V (X := E[(X E(X 2 ] heißt Varianz von X. b (X := + V (X heißt Standardabweichung von X. Beispiel 7.5.3: X sei ZV aus Beispiel i: X = { 0 mit der Wahrscheinlichkeit q 1 mit der Wahrscheinlichkeit p g(x f(x dx V (X = E ( (X E(X 2 = E [ (X p 2] = (0 p 2 q+(1 p 2 p = p 2 q+q 2 p = p q (p + q }{{} = pq (X = pq Satz 7.5.2: a E(a + bx = a + b E(X, E(X + Y = E(X + E(Y (vergl. (7.8.1 b V (a + bx = b 2 V (X c V (X = E(X 2 (E(X 2 d V (X = 0 X = E(X (fast sicher e Für jedes beliebige a IR gilt: V (X E[(X a 2 ] Bem.: Aus c und d folgt: E(X 2 (E(X 2 i. a. Beweis von Satz (teilweise: a X sei eine ZV, die nur die Werte 0,1,2,..., n annehmen kann (für andere ZV verläuft der Beweis analog: E(a+bX = n n n (a + b kp k = a p k + b k p k = a 1+bE(X (p k := P(X = k }{{} =1 }{{} E(X b V (a + b X = E[(a + b X E(a + b X 2 ] = a E[(a + b X a b E(X 2 ] = E[b 2 (X E(X 2 ] = a b 2 E[(X E(X 2 ] = b 2 V (X c V (X := E[(X E(X 2 ] = E[X 2 2X E(X + (E(X 2 ] a = E(X 2 2E(XE(X + (E(X 2 = E(X 2 (E(X 2 = 1 81

4 [ e E (X a 2] = E [(X E(X + E(X a 2] ] = E [(X E(X 2 + 2(X E(X (E(X a + (E(X a 2 a = V (X + 2(E(X a E(X E(X + (E(X a 2 V (X }{{}}{{} =0 0 Beispiel 7.5.4: X sei die ZV aus Beispiel 7.5.1, sie hat also die Wahrscheinlichkeitsverteilung: X Wahrscheinlichkeit Als Erwartungswert erhielten wir E(X = 1.5. E(X 2 = = 3 V (X = = 0.75 (X = 0.87 P ( X E(X (X = P (E(X (X X E(X + (X = P (0.63 X 2.37 = p 1 + p 2 = 6 8 = 0.75 Mit 75% Wahrscheinlichkeit weicht also der Gewinn X um höchstens die Standardabweichung von seinem Erwartungswert ab. 7.6 Spezielle Verteilungen Binomialverteilung Def : Ein Zufallsexperiment habe nur zwei mögliche Ergebnisse, die wir mit Erfolg oder Fehlschlag bezeichnen. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg sei p und für einen Fehlschlag sei q = 1 p. Wird dieses Zufallsexperiment unter den gleichen Bedingungen n-mal wiederholt, so nennt man das ganze Bernoulli-Experiment. Beispiel 7.6.1: Eine Münze werde n mal geworfen. Bei dem einzelnen Wurf: Erfolg: W, Fehlschlag: Z ( z.b. Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg: p = 1 bei einer idealen Münze, sonst unbekannt 2 Wahrscheinlichkeit für einen Fehlschag: q = 1 p = 1 bei einer idealen Münze 2 Dies ist ein Bernoulli Experiment, weil jeder Wurf unter den gleichen Bedingungen erfolgt. Satz 7.6.1: X sei die ZV, die die Anzahl von Erfolgen bei einem Bernoulli-Experiment beschreibt. Dann besitzt X eine Binomialverteilung mit den Parametern p und n, d.h. ( n (7.6.1 P(X = k = p k q n k (k = 0,1,... ( P(X = k = 0 für k n + 1 k Dass dies wirklich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (vergl. Satz ist, ist leicht nachzuprüfen: P(X = k 0 82

5 n P(X = k = n Außerdem gilt: P(X = k = 0 für k n + 1 ( n p k q n k Satz = (p + q n = 1 k Erläuterung von Satz für den Sonderfall, dass die Zahl n der Versuche = 3 ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für X = 2, d.h. für 2 Erfolge? Mit der Konvention 1 für Erfolg und 0 für Fehlschlag, hat man bei dem Ereignis X = 2 folgende Situationen : Ergebnis bei Einzelversuch Wahrscheinlichkeit p p q ( Unabhängigkeit p q p q p p 3p 2 q Für ( den Faktor 3 vor p 2 q gilt: 3 3 = ist die Anzahl der Möglichkeiten, 2 Erfoge aus 3 Einzelversuchen auszuwählen. ( 2 3 p 2 q ist also die gesuchte Wahrscheinlichkeit für X = 2, d.h. für 2 Erfolge. 2 Satz 7.6.2: Für eine binomialverteilte ZV X mit den Parametern n und p gilt: a E(X = n p b V (X = n p q ( (X = n p q Beispiel 7.6.2: Wir erhalten eine Lieferung von N Stück, M seinen davon defekt. N und M sind hier ausnahmsweise keine ZV. Wir ziehen n mal ein Stück mit Zurücklegen. Dies ist ein Bernoulli-Experiment; denn jede Ziehung ist ein Zufallsexperiment mit der Wahrscheinlichkeit p = M/N für einen Erfolg (= Ziehung eines defekten Stückes und q := 1 p für einen Fehlschlag (= Ziehung eines nicht defekten Stückes, und durch m. Z. werden nach jeder Ziehung die alten Bedingungen wiederhergestellt. Die ZV X := Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken ist also binomialverteilt mit p = M/N und n = Anzahl der Ziehungen insgesamt. Für den Erwartungswert und die Varianz gilt also: (7.6.2 E(X = n M N, V (X = n M N N M N Zahlenbeispiel: Wir erhalten eine Lieferung von 1000 Stück, 10 davon seien defekt. Wir ziehen 20 mal ein Stück m.z. m. Z. Bernoulli Experiment N = 1000, M = 10 p = M = 0.01 q = 0.99, N n = 20, X := Anzahl der Ziehungen von defekten Stücken 83

6 Wahrscheinlichkeit für genau 2 Ziehungen von defekten Stücken: ( 20 P(X = 2 = = = Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Ziehungen von defekten Stücken: P(X 2 = 2 ( k k = k ( 20 k Wahrscheinlichkeit für keine Ziehung eines defekten Stückes: ( 20 P(X = 0 = = E(X = = 0.2 V (X = = (X = = ( k = Poisson-Verteilung Def : Eine diskrete ZV X heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter λ > 0, wenn gilt: P(X = k = e λλk, k = 0,1,2,... Satz 7.6.3: Für eine Poisson-verteilte ZV mit dem Parameter λ gilt: a E(X = λ b V (X = λ ( (X = λ Beweis: E(X = k λ k e λ = k λ k e λ = λ λ k 1 E(X 2 = e λ (k 1! k 2 λ k e λ = k 1 =: k = λe λ k 2 λ k e λ k =0 = k λ k e λ (k 1! = (k 1 + 1λ k e λ (k 1! = (k 1λ k e λ (k 1! + 1 λ k e λ (k 1! λ k k! = λe λ e λ = λ 84

7 = λ 2 k=2 = λ 2 + λ λ k 2 e λ (k 2! + λ λ k 1 e λ (k 1! V (X = E(X 2 (E(X 2 = λ = k := k 1 k := k 2 λ 2 e λ k =0 λ k k! +λe λ Beispiel 7.6.3: Fernsprechvermittlung kann maximal 10 Verbindungen pro Mimute herstellen. Pro Stunde erwartet man im Durchschnitt 330 Anrufe. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit für eine Überlastung in einer Minute? Es sei X := Zahl der Anrufe in einer Minute. Wie groß ist also P(X > 10? Annahme: X ist Poisson verteilt. Dann gilt λ Satz = E(X = k =0 λ k k! 5.5k = 5.5, P(X = k = e 5.5 Die gesuchte Wahrscheinlichkeit rechnet man wie bei einigen früheren Beispielen über die Wahrscheinlichkeit des komplementären Ereignisses aus: P(X > 10 = 1 P(X 10 = 1 = = ˆ=2.5% k e 5.5 = 1 e Satz 7.6.4: Es sei X eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p, n. Dann gilt: P(X = k e λλk λ = n p Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 und λ = n p 5 Beispiel 7.6.4: Lieferung: Stück, 100 davon defekt p = Ziehungen m.z.: n = , λ = n p = Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 Ziehungen von defekten Stücken: 5.5 k P(X 2 = 2 2 P(X = k e k = = Zum Vergleich: Die Binomialverteilung liefert: P(X 2 = Bem.: Bei der Binomialverteilung sollte der Versuchsausgang mit Erfolg bezeichnet werden, der die deutlich kleinere Wahrscheinlichkeit hat, insbesondere dann, wenn die Poisson Näherung angewendet werden soll. Sind die Wahrscheinlichkeiten für beide Versuchsausgänge nahe bei 1/2, können die Bezeichnungen Erfolg oder Fehlschlag beliebig vergeben werden. 85

8 7.6.3 Normalverteilung oder Gauß-Verteilung Def : a Eine ZV heißt normalverteilt mit dem Mittelwert µ und der Varianz 2 (Abk. N(µ, - verteilt, wenn sie folgende Verteilungsdichte besitzt (exp x := e x : ( f(x := 1 exp 1 ( x µ 2, x IR 2 π 2 b Eine ZV X mit der Verteilungsdichte ϕ(x := 1 2π exp ( 12 x2 bezeichnet man als standard-normalverteilt oder N(0,1-verteilt. Φ(x := ist die zugehörige Verteilungsfunktion. x ϕ(u du Bem.: Φ(x ist eine höhere transzendente Funktion. Daher sind Tabellen nötig. In diesem Verzeichnis ist eine solche Tabelle bereitgestellt (normal.pdf. Skizzen: 1 ϕ(x 1 Φ(x x 1 x Vert.dichte zur N(1.5,2-Vert.: 1 Vert.dichte zur N(3,0.5-Vert.: 1 f(x f(x x 1.5 Satz 7.6.5: Für eine N(µ, - verteilte ZV X gilt: 3 x a E(X = µ b V (X = 2 ( (X = 86

9 Beweis: Wir beginnen mit einer Hilfsformel für die Verteilungsdichte der Standardnormalverteilung: (7.6.3 ϕ (x = d 1 exp ( x2 = 1 ( exp ( x2 2x = xϕ(x dx 2π 2 2π 2 2 Für die Verteilungsdichte einer N(µ, -verteilten ZV erhalten wir: f(x = 1 ( exp 1 ( x µ 2 = 1 ( x µ 2π 2 ϕ Mit der Substitution (x µ/ =: u, (1/dx = du erhalten wir: = x µ ϕ E(X = ( x µ = 0 + µ 1 = µ. Dabei haben wir benutzt, dass x 1 ϕ ( x µ 1 dx + µ ϕ dx = ( x µ (x µ + µ 1 ( x µ ϕ dx dx = ϕ(udu = 1 ist, da ϕ(u eine Verteilungsdichte ist, uϕ(udu + µ ϕ(udu = u und dass der erste Summand ein Integral über ein symmetrisches Intevall und eine ungerade Funktion (( uϕ( u = ( uϕ(u = uϕ(u ist. Mit der Substitution (x µ/ =: u, und mit (7.6.3 erhalten wir: = ( ( V (X := E (X E(X 2 = E (X µ 2 = 2 u 2 ϕ(udu = 2 = 2 lim lim a (, b a a (, b (1/ dx = du, der Regel über die partielle Integration b u (uϕ(u du = 2 [ u ( ϕ(u ] b a = 2 lim b ϕ(b + lim a ϕ(a + b a ( b a (x µ 2 1 ( x µ ϕ dx lim b a (, b a 1 ( ϕ(udu u ( ϕ (udu ϕ(u du = 2 ( = 2, wobei wir bei den Grenzwertbestimmungen benutzt haben, dass für x ± die Funktion ϕ(x schneller als jede Potenz von x gegen Null strebt. Satz 7.6.6: a Für jede N(0,1 - verteilte ZV Z gilt: ( Z ist auch N(0,1 - verteilt. b Φ( x = 1 Φ(x (Anwendung: Berechnung von Φ(x für x < 0 87

10 c Für eine N(µ, - verteilte ZV X, deren Verteilungsfunktion wir mit F(x und deren Verteilungsdichte wir mit f(x bezeichnen, gilt: i X µ ist N(0,1 - verteilt ( x µ ii F(x = Φ, f(x = 1 ( x µ ϕ ( ( b µ a µ iii P(a X b = Φ Φ ( a µ iv P(X < a = P(X a = Φ, ( a µ P(X > a = P(X a = 1 Φ v P( X µ t = Φ(t Φ( t = 2Φ(t 1 (t 0 insbesondere = für t = 1, = für t = 2, = für t = 3 Beweis: Es wird ohne Beweis verwendet, dass mit X auch die ZV αx + β, α 0,β IR, normalverteilt ist. a P( Z x = P(Z x = ϕ(udu u = z ϕ( z dz = x x }{{} = ϕ(z(gerade Funktion x ϕ(z dz = P(Z x b Φ( x = P(Z x = P( Z x a = P(Z x = 1 P(Z < x Z stet.zv = 1 P(Z x = 1 Φ(x ( X µ Satz a b 1 c i E = (E(X µ = 0 (nach Satz ( X µ Satz a b 1 V = V (X = 1 (nach Satz Damit ist auf Grund der o. g. allgemeinen Eigenschaft X µ ii F(x = P (X x = P f(x = F (x = 1 Φ ( x µ X µ }{{} N(0,1 vert. nach i = 1 ϕ ( x µ x µ iii P(a X b X stet.zv = P(a < X b = F(b F(a ii = Φ iv P(X a = F(a ii = Φ ( a µ P(X a = 1 P(X < a, ( x µ = Φ ( X stet. ZV a µ = 1 P(X a = 1 Φ N(0,1-vert. ( ( b µ a µ Φ v P( X µ t = P(µ t X µ + t iii = Φ(t Φ( t b = 2 Φ(t 1 88

11 Bem.: a Es gilt( auch allgemein: E(X ( = µ V (X = 2 X µ X µ X µ = E = 0, V = 1; ist eine standardisierte ZV b Die Aussage in Satz c v gilt für allgemeine ZV höchstens näherungsweise. Eine exakte, aber z. T. wesentlich schlechtere Abschätzung liefert Satz Beispiel 7.6.5: Eine Firma stellt Luftpostumschläge her, deren Gewicht X erfahrungsgemäß normalverteilt ist, mit dem Erwartungswert µ = 1.95g und der Standardabweichung = 0.05g. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Briefumschlag mehr als 2g wiegt? P(X > 2 = 1 Φ( Tabelle = 1 Φ(1 = = Satz 7.6.7: X sei eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p und n. Dann gilt für 0 k 1 k 2 n: ( ( k2 n p k1 n p (7.6.4 P(k 1 X k 2 Φ Φ n p q n p q (vergl. Satz oder mit höherer Genauigkeit, wenn k 1 und k 2 ganze Zahlen sind: ( ( k n p k1 0.5 n p (7.6.5 P(k 1 X k 2 Φ Φ n p q n p q Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: n 50 n p 5 n q 5. Erläuterung zu Satz 7.6.7: X sei binomialverteilt mit Parametern n, p, q E(X = n p, (X = n p q Sei 0 k 1 X k 2 n. Dann gilt ( k 1 np P(k 1 X k 2 = P X np k 2 np n p q n p q n p q Für die dabei gebildete ZV Y := X np n p q = X E(X (X gilt E(Y = 0, (Y = 0. Y ist also zwar nicht exakt, aber näherungsweis N(0,1 vert. Wir erhalten so die Näherungsformel Bem : (7.6.4P(k 1 X k 2 Φ ( k 2 np n p q Φ ( k 2 np n p q. a Unter den Voraussetzungen von Satz sind auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von (7.6.4 oder (7.6.5 zu bestimmen: P(X k 0 = P(k 0 X n, P(X k 0 = P(0 X k 0 (k 0 = 0,1,2...,n 89

12 b Wird der Bereich der Argumentwerte von Φ in einer Tabelle wie etwa der ausgegebenen überschritten, so kann man z.b. folgende Eigenschaften benutzen: Für x 3.90 gilt 0 < 1 Φ(x < und damit Φ(x = auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau, für x 3.90 gilt 0 < Φ(x < und damit Φ(x = auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt genau. Beispiel 7.6.6: Vertreter verkauft bei Erstbesuchen mit der Wahrscheinlichkeit p = Er plant 200 Erstbesuche. Dies ist ein Bernoulli Experiment: Erfolg: Verkauf, Wahrscheinlichkeit: p = 0.05 Fehlschlag: kein Verkauf, Wahrscheinlichkeit: q = 0.95 X :=Anzahl der Verkäufe bei 200 Erstbesuchen ist eine binomialverteilte ZV mit den Parametern n = 200,p,q. Eine Anwendung von Satz ist möglich; denn n = , n p = = 10 5 und n q = = Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit für 10 Verkäufe oder mehr erhalten wir also, da X höchstens gleich 200 sein kann: ( ( P(X 10 = P(10 X 200 Φ Φ = Φ(61.81 Φ( = (1 Φ(0.162 = Φ( und deshalb stimmt wie unter der Tabelle angegeben Φ(61.81 mit auf 4 Stellen nach dem Dezimalpunkt überein. Benutzte Tabellenwerte: Φ(0.16 = , Φ(0.17 = Mit der Interpolationsformel (2.2.1 y = y 1 + x x 1 x 2 x 1 (y 2 y 1 erhalten wir damit für die gesuchte Wahrscheinlichkeit: ( P(X 10 Φ(0.162 Φ( Φ(0.17 Φ( = ( P(X Zum Vergleich: Exakter Wert: P(X 10 = Hypergeometrische Verteilung Ausgangsproblem: Lieferung von N Stück, M davon defekt (N, M keine ZV; zufällige Auswahl einer Stichprobe von n Stücken und deren Untersuchung (o. Z. o. B. d. A.. Wie groß ist die 90

13 Wahrscheinlichkeit, das m Stücke in der Stichprobe defekt sind?. Bem.: Dieses Verfahren ist günstiger als das Verfahren in Für die ZV X := Anzahl der defekten Stücke in der Stichprobe gilt: ( ( ( ( M N M n N n m n m m M m (7.6.6 P(X = m = ( = ( N N n M Def : Die in (7.6.6 beschriebene Verteilung heißt hypergeometrische Verteilung mit den Parametern N, M, n. Bedingungen: N, M, n, m Z, 0 n N, 0 m M N, 0 n m N M ( m n Herleitung von Formel (7.6.6: Nach Satz a haben alle Kombinationen o. Z. o. B. d. A. von n aus N Stücken die Wahrscheinlichkeit 1/ ( N n. Das Ereignis X = m erfasst dann alle Kombinationen, bei denen genau m defekte und damit (n m nicht defekte Stücke ausgewählt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten, m defekte Stücke für die Stichprobe aus M defekten Stücken der Lieferungen auszuwählen, beträgt ( M m, da dabei wie oben nach der Vorschrift o. Z. o. B. d. A. vorgegangen wird. Bei jeder solchen Auswahl muss dann die Stichprobe mit (n m aus den (N M nicht defekten Stücken der Lieferung aufgefüllt werden. Dafür gibt es ( N M n m Möglichkeiten, und zwar bei jeder ( N M n m Möglichkeiten für die Auswahl vom m defekten Stücken. Damit gibt es insgesamt ( M m Auswahl (o. Z. o. B. d. A. von m defekten und (n m nicht defekten Stücken. Dies ist also die Anzahl der Kombinationen o. Z. o. B. d. A., die von dem Ergebnis X = m erfasst werden, die dann nur mit der Wahrscheinlichkeit 1/ ( N n für jede dieser Kombinationen multipliziert zu werden braucht. Bem.: Eine ähnlich Herleitung für der Binomialverteilung ist nicht möglich (vergl. Satz b. Beispiel 7.6.7: Lieferung: 1000 Stück, 10 davon defekt, zufällige Stichprobe von 20 Stück N = 100, M = 10, n = 20 X := Anzahl der defekten Stücke in der Stichprobe Wahrscheinlichkeit für (genau 2 defekte Stücke in der Stichprobe: ( ( P(X = 2 = 2 18 ( = 0.015, (m = Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 defekte Stücke der Stichprobe: ( ( m 20 m P(X 2 = P(X = m = ( = m=0 m=

14 Wahrscheinlichkeit für kein defektes Stück in der Stichprobe: ( ( P(X = 0 = 0 20 ( = Vergleich mit Beispiel 7.6.2: Y sei binomialverteilt mit n = 20, p = M N = 0.01, P(Y = 2 = 0.015, P(Y 2 = 0.999, P(Y = 0 = Satz 7.6.8: Es sei X eine hypergeometrisch verteilte ZV mit den Parametern N, M, n und Y eine binomialverteilte ZV mit den Parametern p = M und n. Dann gilt: N ( n P(X = m P(Y = m = p m (1 p n m m Dabei sollten folgende Bedingungen erfüllt sein: N 1000 n N 0.1. Zur Näherung der Binominalverteilung vergl. die Sätze 7.6.4/7 Satz Für die ZV X aus Satz gilt: E(X = n M N, V (X = n M N N M N N n N 1 92