Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

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1 Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist. Die Menge der möglichen Ergebnisse nennen wir Ergebnisraum und bezeichnen sie mit Ω. Die Teilmengen von Ω werden als Ereignisse bezeichnet. Ereignisse mit nur einem Element entsprechen den Ergebnissen des Zufallsexperiments und werden Elementarereignisse genannt. A Ω sei ein Ereignis. Falls bei der Durchführung des Zufallsexperiments ein Ergebnis ω A geliefert wird, so sagen wir, das Ereignis A ist eingetreten. ist das unmögliche Ereignis und Ω das sichere Ereignis. Merke: Die Menge aller Elementarereignisse Ω kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich sein. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 1

2 Ereignisbezeichnungen Sachverhalt Sprechweise Formel A tritt sicher ein. A ist ein sicheres Ereignis. A = Ω Wenn A eintritt, dann tritt auch B ein. A ist ein Teilereignis von B. A B Wenn A eintritt, tritt B nicht A und B schließen sich aus, ein. sind disjunkt oder unvereinbar. A B = Genau dann, wenn A eintritt, A und B sind Komplementärereignisse. tritt B nicht ein. A = B A tritt genau dann ein, wenn mindestens ein A i eintritt. A ist Vereinigung der A i. A = A i i A tritt genau dann ein, wenn alle A i eintreten. A ist Durchschnitt der A i. A = A i i Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 2

3 σ-algebra Def: Es sei Ω eine beliebige nichtleere Menge und A P(Ω) eine Untermenge der Potenzmenge von Ω. Die Menge A heißt σ-algebra über Ω, wenn Ω in dem Mengensystem A liegt und A abgeschlossen bezüglich der Komplementbildung und der Vereinigung von abzählbar vielen Elementen aus A ist: (a) Ω A; (b) A A Ā A; (c) (A n ) A n=1 A n A. Satz 1.1. Sei A P(Ω) eine σ-algebra. Dann gilt: (a) Die leere Menge gehört zur σ-algebra A; (b) A ist abgeschlossen gegenüber einer abzählbaren Durchschnittsbildung: Sind A 1,A 2,A 3,... A, so ist auch A n A; (c) Sind A,B A, so ist auch A \ B A. n=1 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 3

4 Wahrscheinlichkeitsraum Def: Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) besteht aus einer Menge Ω, einer σ-algebra A über Ω und einer reelwertigen Abbildung P : A [0, 1] mit folgenden Eigenschaften: (1) P(Ω) = 1; (2) P( n=1 A n ) = n=1 P(A n ) für alle A 1,...,A n,... A mit A n A m =, n m. Die Abbildung P wird Wahrscheinlichkeit genannt. P(A) heißt Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A A. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 4

5 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit(1) Satz 1.2. Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Dann gilt für alle A,B,A 1,...,A n A: 1. P( ) = 0; 2. P(Ā) = 1 P(A); 3. Monotonie: Aus A B folgt P(A) P(B); 4. P(A \ B) = P(A) P(A B); 5. Aus A B folgt: P(B\A) = P(B) P(A); 6. Siebformel: P( n A k ) = n k ) k=1 k=1p(a P(A i A j ) + P(A i A j A k ) i<j i<j<k... + ( 1) n+1 P(A 1 A 2... A n ). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 5

6 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit(2) Satz 1.3. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A 1,A 2,A 3,... eine Folge von Ereignissen aus A. Dann gilt: 1. Aus A 1 A 2 A 3... folgt P( A n ) = lim P(A n ). n n=1 2. Aus A 1 A 2 A 3... folgt P( n=1 A n ) = lim n P(A n ). Satz 1.4. SeiΩeine endliche oder abzählbar unendliche Menge.Jede Abbildung p : Ω [0,1] mit ω Ωp(ω) = 1 bestimmt durch P(A) = ω Ap(ω) für alle A Ω eindeutig einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P(Ω), P). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 6

7 Laplace-Experiment Ein Zufallsexperiment, das endlich viele gleich wahrscheinliche Ergebnisse ω 1,...,ω n besitzt, heißt Laplace-Experiment. Es ist also Ω = {ω 1,...,ω n }. Der Laplace-Raum (Ω,P(Ω),P) wird definiert durch p : Ω [0,1] mit p(ω i ) = 1 n für alle 1 i n. Für ein Ereignis A Ω gilt P(A) = A n = Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 7

8 Über Kombinationen und Variationen Aus einer gegebenen Grundmenge E mit E = n wird eine r-elementige Probe entnommen. Wird jedes Element aus E maximal einmal in die Probe aufgenommen: Probe ohne Wiederholung. Bei einer Probe mit Wiederholung kann jedes Element aus E mehrfach für die Probe ausgewählt werden. In einer geordneten Probe spielt die Reihenfolge der Elemente eine Rolle, in einer ungeordneten Probe ist dies nicht der Fall. Die Probe ist eine falls sie... ist. Bezeichnung Menge, ungeordnet ohne Wiederholung Kombination ohne Wiederholung Multimenge, ungeordnet mit Wiederholung Kombination mit Wiederholung geordnete Menge, geordnet ohne Wiederholung Variation ohne Wiederholung geordnete Multimenge, geordnet mit Wiederholung Variation mit Wiederholung Satz 1.5. Es gibt: (a) C(n,r) = ( n r) Kombinationen ohne Wiederholung; (b) C w (n,r) = ( n+r 1) r Kombinationen mit Wiederholung; (c) V(n,r) = n (n 1)... (n r + 1) = n! (n r)! Variationen ohne Wiederholung; (d) V w (n,r) = n r Variationen mit Wiederholung. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 8

9 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhängige Ereignisse Def: Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A,B A mit P(B) > 0. Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B eingetreten ist, ist definiert als P(A B) = P(A B) P(B) und heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Ferner, sei 0 < P(B) < 1. Dann heißt A (stochastisch) unabhängig von B, wenn P(A B) = P(A B). Satz 1.6. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A,B A mit 0 < P(B) < 1. Die folgenden Aussagen sind äquivalent: (a) A ist unabhängig von B, also P(A B) = P(A B); (b) P(A B) = P(A); (c) P(A B) = P(A) P(B). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 9

10 Satz über die vollständige Wahrscheinlichkeit DieEreignisseA i,i = 1,...n,bildeneinvollständigesSystemvonEreignissen,fallsP(A i ) > 0, A i A j = für alle i j und n A i = Ω gilt. i=1 Satz 1.7. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und die Ereignisse B,A 1,...,A n A, wobei die Ereignisse A i, i = 1,...,n, ein vollständiges System von Ereignissen bilden. Dann gilt: P(B) = n P(B A i ) P(A i ). i=1 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 10

11 Formel von Bayes Satz 1.8. Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und die Ereignisse B,A 1,...,A n A, wobei die Ereignisse A i, i = 1,...,n ein vollständiges System von Ereignissen bilden und P(B) > 0. Dann gilt: P(A k B) = P(B A k) P(A k ) P(B) = P(B A k) P(A k ). n P(B A i ) P(A i ) i=1 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 11

12 2. Zufallsvariable Def: Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine reellwertige Abbildung X : Ω R heißt Zufallsvariable, wenn das Urbild jedes reellen halboffenen Intervalls I = (, t] in A liegt: X 1 (I) = {ω Ω X(ω) t} A. Merke: Ist X eine Zufallsvariable, so liegen für alle u t die Urbilde der Intervalle (,t),(u,t),(u,t],[u,t),[u,t],(u,+ ),[u,+ ) in A. Abkürzungen: Für das Ereignis {ω Ω X(ω) t} schreiben wir X t. Für das Ereignis {ω Ω X(ω) = t} schreiben wir X = t. Für das Ereignis {ω Ω u X(ω) t} schreiben wir u X t. Sprechweisen: X < t: die Zufallsvariable X einen Wert kleiner t annimmt. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 12

13 Verteilungsfunktion Def: Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine Zufallsvariable. Die Funktion F : R [0,1] mit F(t) = P(X t) heißt die Verteilungsfunktion von X. Merke: Für alle u < t gilt P(X > t) = 1 F(t) und P(u < X t) = F(t) F(u). Satz 2.1. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine Zufallsvariable. Dann gelten für die Verteilungsfunktion F von X die folgenden Aussagen: (1) F(x) ist monoton wachsend, d.h. aus x y folgt F(x) F(y). (2) F(x) ist rechtsseitig stetig, d.h. es gilt lim = F(a). x a +F(x) (3) Der linksseitige Grenzwert lim F(x) existiert. x a (4) Es gelten lim F(x) = 0 und lim F(x) = 1. x x + Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 13

14 Diskrete Zufallsvariable Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt diskret, wenn ihr Wertebereich W = X(Ω) nur endlich oder abzählbar unendlich viele Elemente enthält: W = X(Ω) = {x i i I}, wobei I eine endliche oder abzählbar unendliche Menge ist. Die Funktion p : W [0,1] mit heißt Verteilung der Zufallsvariablen X. p(x i ) = P({ω Ω X(ω) = x i }) = P(X = x i ) Satz 2.2. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {x i i I}. Dann gilt: (1) Für alle t R ist F(t) = x i t P(X = x i) = x i t p(x i). (2) Die Verteilungsfunktion F(t) von X ist eine Treppenfunktion, das heißt F(t) ist stückweise konstant mit endlich oder abzählbar unendlich vielen Sprungstellen. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 14

15 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen Def: Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {x i i I}. Der Erwartungswert (oder Mittelwert) von X ist definiert als E(X) = x i P(X = x i ) = x i p(x i ), i I i I falls diese Reihe absolut konvergent ist, sonst existiert E(X) nicht. Satz 2.3. Seien X,Y : Ω R diskrete Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) und a,b R. Falls die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) existieren, dann existieren auch die Erwartungswerte von X + Y und ax + b, und es gilt (1) E(X + Y) = E(X) + E(Y), (2) E(aX + b) = ae(x) + b. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 15

16 Unabhängige diskrete Zufallsvariablen Die diskreten Zufallsvariablen X und Y mit den Wertebereichen {x i i I} und {y j j J} aufdemwahrscheinlichkeitsraum(ω,a,p)heißenunabhängig,wennfürallewertepaare(x i,y j ) gilt P(X = x i, Y = y j ) = P(X = x i ) P(Y = y j ), wobei (X = x i, Y = y j ) = {ω Ω X(ω) = x i und Y(ω) = y j }. Falls X und Y unabhängig sind, gilt für ihre Erwartungswerte E(X Y ) = E(X) E(Y ). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 16

17 Die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen Def: Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Wertebereich {x i i I} und mit dem Erwartungswert µ := E(X). Die Varianz (oder Streuung) von X ist definiert als V(X) = i I (x i µ) 2 P(X = x i ) = i I (x i µ) 2 p(x i ), falls diese Reihe konvergiert, sonst existiert V(X) nicht. Die Wurzel σ := V(X) heißt Standardabweichung von X. Satz 2.4. Seien X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) und a,b R. Falls der Erwartungswert µ := E(X) und die Varianz V(X) existieren, dann gilt (1) V(X) = E((X µ) 2 ) = E(X 2 ) µ 2, (2) V(aX + b) = a 2 V(X). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 17

18 Zentrieren einer Zufallsvariablen Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y = X µ heißt Zentrieren der Zufallsvariablen X, wobei µ = E(X). Eigenschaft: E(Y ) = 0. Normieren einer Zufallsvariablen Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y = X σ Zufallsvariablen X, wobei σ := V(X). Eigenschaft: V(Y) = 1. heißt Normieren der Standardisieren einer Zufallsvariablen Der Übergang einer Zufallsvariablen X zu der Zufallsvariablen Y = X µ σ der Zufallsvariablen X, wobei µ = E(X) und σ := V(X). Eigenschaft: E(Y ) = 0 und V(Y ) = 1. heißt Standardisieren Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 18

19 Tschebyschew-Ungleichung Satz 2.5. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine diskrete Zufallsvariable mit dem Erwartungswert µ und der Standardabweichung σ. Dann gilt bei beliebig gewähltem ε > 0 die Ungleichung: P( X µ ε) σ2 ε 2. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 19

20 Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariablen Die diskrete Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X mit dem Wertebereich {x 1,...,x n }, für die gilt P(X = x i ) = 1 n, heißt gleichverteilt. Erwartungswert: E(X) = 1 n n x i i=1 Varianz: V(X) = 1 n n i=1 x 2 i (1 n ) n 2 x i i=1 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 20

21 Die Binomialverteilung Seien n 1 eine ganze Zahl und 0 < p < 1. Eine Zufallsvariable X mit dem Wertebereich {0,1,...,n}, für die gilt P(X = k) = ( n k) p k (1 p) n k, heißt binomialverteilt mit den Parametern n und p. Erwartungswert: E(X) = n p Varianz: V(X) = n p (1 p) Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 21

22 Bernoulli-Kette Ein Zufallsexperiment mit dem Ergebnisraum Ω = {ω, ω} und den Wahrscheinlichkeiten P(ω) = p und P( ω) = 1 p für ein 0 < p < 1 heißt Bernoulli-Experiment. Führt man ein Bernoulli-Experiment n-mal so durch, dass die Versuchsergebnisse ω 1,ω 2,...,ω n mit ω i Ω vollständig unabhängig sind, so erhält man eine Bernoulli-Kette der Länge n. Ist die Anzahl der Ausführungen nicht durch n begrenzt, so erhält man eine unbeschränkte Bernoulli-Kette. Sei X die Zufallsvariable, dass in einer Bernoulli-Kette der Länge n das Ereignis ω genau k-mal auftritt. Dann ist X binomialverteilt mit den Parametern n und p. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 22

23 Die hypergeometrische Verteilung Seien N > S,n positive ganze Zahlen. Eine Zufallsvariable X mit den Werten {0,1,...,n}, für die gilt ( S N S ) k)( P(X = k) = n k ( N n), heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, S und n. Erwartungswert: E(X) = n S N Varianz: V(X) = S N (1 S N ) N n N 1. Satz 2.6. Ist 0 < S < N, 0 < n < N und sind n und p = S/N konstant, so gilt für alle 0 k n ( S N S ) ( k)( n k n ( N = p n) k) k (1 p) n k. lim N Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 23

24 Die Poissonverteilung Sei λ > 0. Eine Zufallsvariable X mit den Werten {k k N} für die gilt P(X = k) = λk k! e λ heißt Poissonverteilt mit dem Parameter λ. Erwartungswert: E(X) = λ Varianz: V(X) = λ Satz 2.7. Ist n p = λ konstant, so gilt für alle 0 k n n lim )p n ( k (1 p) n k = λk k k! e λ. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 24

25 Stetige Zufallsvariable Sei (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt stetig, wenn es eine Funktion ϕ : R R mit ϕ(x) 0 für alle x R gibt, die eine Stammfunktion F besitzt, so dass die Verteilungsfunktion von X in der Form P(X t) = F(t) = t ϕ(x)dx für alle t R dargestellt werden kann. Die Abbildung ϕ wird Dichtefunktion von X genannt. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 25

26 Stetige Zufallsvariable Satz 2.8. Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion ϕ. Dann gilt für alle a,b R mit a < b P(a < X b) = F(b) F(a) = b a ϕ(x)dx und Für alle a R ist P(X = a) = 0. P(X > a) = 1 F(a) = a ϕ(x)dx. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 26

27 Der Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen Seien (Ω,A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und X : Ω R eine stetige Zufallsvariable mit der Dichtefunktion ϕ. Existiert das uneigentliche Integral so heißt das Integral E(X) = µ = x ϕ(x)dx, der Erwartungswert von X. Im Fall ihrer Existenz ist xϕ(x)dx V(X) = (x µ) 2 ϕ(x)dx die Varianz und die Wurzel σ = V(X) die Standardabweichung von X. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 27

28 Der Erwartungswert und die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen Satz 2.9. Seien X,Y : Ω R Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) und a,b R. Falls die Erwartungswerte E(X) und E(Y ) existieren, dann existieren auch die Erwartungswerte von X + Y und ax + b, und es gilt (1) E(X + Y) = E(X) + E(Y), (2) E(aX + b) = ae(x) + b. (3) Existiert die Varianz V(X), so gilt V(aX + b) = a 2 V(X). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 28

29 Unabhängige stetige Zufallsvariablen Zwei stetige Zufallsvariable X und Y heißen unabhängig, wenn für alle x,y R gilt P(X x,y y) = P(X x) P(Y y). Satz Seien die Zufallsvariablen X, Y : Ω R auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)unabhängig.FallsdieErwartungswerteE(X),E(Y)unddieVarianzenV(X),V(Y) existieren, so gilt: E(X Y) = E(X) E(Y ) und V(X + Y) = V(X) + V(Y). Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 29

30 Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Die stetige Gleichverteilung Seien a < b reellen Zahlen. Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion ϕ(x) = { 1 b a für a x b 0, sonst heißt gleichverteilt mit den Parametern a und b. Erwartungswert: E(X) = a+b 2 Varianz: V(X) = (b a)2 12 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 30

31 Die Exponentialverteilung Sei λ > 0 eine reelle Zahl. Eine stetige Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion ϕ(x) = { λe λx für x > 0 0, sonst heißt exponentialverteilt mit dem Parameter λ. Erwartungswert: E(X) = 1 λ Varianz: V(X) = 1 λ 2 Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 31

32 Die Normalverteilung Seien µ und σ reellen Zahlen mit σ > 0. Eine stetige Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern µ und σ, wenn für ihre Dichtefunktion gilt: ϕ µ,σ (x) = 1 (x µ) 2 σ 2π e 2σ 2. Erwartungswert: E(X) = µ Varianz: V(X) = σ 2 Ist eine stetige Zufallsvariable X normalverteilt mit Parametern µ = 0 und σ = 1, so heißt X standardnormalverteilt. Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 32

33 Zentraler Grenzwertsatz Satz Sei (X i ) eine Folge unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen mit gleichem Erwartungswert µ und gleicher Varianz σ 2. Dann konvergiert die Folge (F n ) der Verteilungsfunktionen für die standardisierten Zufallsvariablen Y n = n X i n µ i=1 n σ 2 gegen die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung: lim F n(t) = Φ(t). n Otto-von-Guericke Universität Magdeburg/FMA/IAG/Bräsel-Kyureghyan Folie 33

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