Stochastik. Frank Eckert und. Thomas Huppertz Letzte Änderung:

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1 Stochastik getext von Frank Eckert und Thomas Huppertz Letzte Änderung: 4.Juli.2000

2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis Kombinatorische Grundformeln 2 2 Diskrete Verteilungen 2 2. Verteilung, Erzeugende Funktion und Faltung Erwartungswert und Varianz Stetige Verteilungen 3 3. Erwartungswert, Dichte, Laplace-Transformierte Erwartungswert und Varianz Summenformeln 4 5 Bedingte Wahrscheinlichkeit 4 6 Erzeugende Funktion und Laplace-Transformierte 4 6. Berechnung Inversionsformel Summe von Zufallsvariabeln 5 8 Produkt und Division zweier Zufallsvariabel 5 9 Erwartungswert 6 9. Definition Eigenschaften des Erwartungswertes Definitionen zum Erwartungswert Erzeugende Funktionen/ Laplace Tranformierte und Erwartungswert Bedingte Verteilungen und Erwartungswerte diskreter Fall absolut stetiger Fall

3 KOMBINATORISCHE GRUNDFORMELN 2 Kombinatorische Grundformeln n Stichproben aus A = {... n} mit Zurücklegen ohne Zurücklegen (mit Wiederholung) (ohne Wiederholung) in Reihenfolge N n N! (N n)! = ( N n) n! ohne Reihenfolge ( n+n ) ( N n n) 2 Diskrete Verteilungen 2. Verteilung, Erzeugende Funktion und Faltung Binominalverteilung X Bin(n, p) X i Bin(n i, p) Geom. Verteilung X Geo(p) X i Geo(p) Poissonverteilung X P oi(λ) X i P oi(λ) P (X ) = k) G X (z) X + X 2 p k ( p) n k ( p + pz) n Bin(n + n 2, p) ( n k S.22 Übung S.49 ( p) k p p z+pz Bin(2, p) S.24 S.3 S.49 λ λk e k! e λ( z) P oi(λ + λ 2 ) S.24 S.32 S Erwartungswert und Varianz E(X) V ar(x) Binominalverteilung np np( p) X Bin(n, p) X i Bin(n i, p) S.60 S.60 p Geom. Verteilung p X Geo(p) X i Geo(p) S.54 Poissonverteilung λ λ X P oi(λ) X i P oi(λ) Übung Übung

4 3 STETIGE VERTEILUNGEN 3 3 Stetige Verteilungen 3. Erwartungswert, Dichte, Laplace-Transformierte Rechteckverteilung X R(a, b) P { (X k) f(x) L X (s) 0 x a b a a x b x b b a I [a,b](x) e s s S.26 S.29 S.32 Exponentialverteilung e λx I [0, ) (x) λe λx I [0, ) (x) X Exp(λ) λ λ+s Normalverteilung X N(µ, σ 2 ) S.26 S.29 S.32 e (x µ)2 2πσ 2σ 2 e (x µ)2 2πσ 2σ exp( σ2 t µt) S.29 S.29 S.27, Mathar 3.2 Erwartungswert und Varianz Rechteckverteilung X R(a, b) E(X) a+b 2 V ar(x) (b a) 2 2 S.27, Mathar Exponentialverteilung λ X Exp(λ) S.27, Mathar λ 2 S.54 Übung Normalverteilung µ σ 2 X N(µ, σ 2 ) S.54 S.6

5 4 SUMMENFORMELN 4 4 Summenformeln n k= 2k = 2 n n k= xk = xn+ x n i=0 i = 2 (n )n k=0 xk = x x y=0 y 2 = n j= ( )n+ n! = e k=0 λk k! = e λ n k=0 ( n k ) x n y n k = (x + y) n 5 Bedingte Wahrscheinlichkeit P (A B) = P (A B) P (B) P (A) = n= P (A B n) P (B n ) P (A Bn) P (Bn) P (B n A) = P (A Bj) P (Bj), wenn die B j eine Partition des gesammten W raumes j= bilden 6 Erzeugende Funktion und Laplace-Transformierte 6. Berechnung... für diskrete Zufallsvariable: G X (z) := k=0 p kz k, z < für f X (t k ) = p k für stetige Zufallsvariable: L X (s) := e sx f 0 X (x)dx, s 0 für f X (x) = 0, falls x < Inversionsformel P (X = t k ) = k! G(k) X (0) c+iy f X (x) = lim y 2πi c iy esx L X (s)ds c R

6 7 SUMME VON ZUFALLSVARIABELN 5 7 Summe von Zufallsvariabeln absolut stetige Zufallsvariabeln X, X 2 : f X+X 2 (y) = f X(t, y t) dt y R absolut stetige, stochastig unabhängig : f X+X 2 (y) = f X (t)f X2 (y t) dt Beispiel: Γ(α, λ) Γ(β, λ) = Γ(α + β, λ) y R N(µ, σ 2 ) N(µ 2, σ 2 2) = N(µ + µ 2, σ 2 + σ 2 2) N(0, )... N(0, ) = Γ( n 2, 2 ) für n Stück Exp(λ)... Exp(λ) = Γ(n, λ) für n Stück diskrete Zufallsvariable: f X+X 2 (k) = k i=0 f X (i)f X2 (k i) dt k N 0 Beispiele Geo(p)... Geo(p) = n Stück ( n + k n Bin(, p)... Bin(, p) = Bin(n, p) für n Stück Bin(n, p) Bin(n 2, p) = Bin(n + n 2, p) P oi(λ ) P oi(λ 2 ) = P oi(λ + λ 2 ) P oi(λ)... P oi(λ) = P oi(nλ) n Stück ) ( p) k p n = Bin(n, p) für 8 Produkt und Division zweier Zufallsvariabel Seien X, X 2 stochastisch unabhängig, absolut stetig: f X X 2 f X X 2 = 0 t f X ( y t ) fx2 (t) dt (0, ) = 0 tf X (yt)f X2 (t) dt (0, )

7 9 ERWARTUNGSWERT 6 9 Erwartungswert 9. Definition Ist g eine reelwertige Funktion, dann gilt... diskret: E(g(X)) = i= g(x i) P (X = x i ) stetig: E(g(X)) = g(x) f(x) dx 9.2 Eigenschaften des Erwartungswertes E(aX + by ) = ae(x) + be(y ) P ( X > c) E( X ) c c > 0 X, Y stochastisch unabhängig: E(X Y ) = E(X) E(Y ) 9.3 Definitionen zum Erwartungswert k-tes Moment: E(X k ) k-tes zentrales Moment: E((X EX) k ) Varianz : E((X EX) 2 ) = V ar(x) = E(X 2 ) E(X) 2 Standardabweichung : E((X EX) 2 ) = V arr(x) Kovarianz: Cov(X, Y ) = E((X EX)(Y EY )) Korrelation: Corr(X, Y ) = Cov(X,Y ) V ar(x) V ar(y ) Cov(X, Y ) = E(X Y ) E(X) E(Y ) Cov(X, X) = E(X 2 ) E(X) 2 = V ar(x) V ar(ax + b) = a 2 V ar(x) a, b R Cov(X, Y ) V ar(x) V ar(y ) V ar ( n i= X i) = n i= V ar(x i) + 2 i<j Cov(X i, X j ) für paarweise unkorrelierte ZV en : V ar ( n i= X i) = n i= V ar(x i)

8 9 ERWARTUNGSWERT Erzeugende Funktionen/ Laplace Tranformierte und Erwartungswert G X+x 2 (z) = G X (z) G X2 (z) z L X+x 2 (z) = L X (s) L X2 (s) z E(X) = G () E(X(X )... (X k + )) = G (k) () E(X 2 ) = G () + G () 9.5 Bedingte Verteilungen und Erwartungswerte 9.5. diskreter Fall Sie f (X,Y ) (x, y) = P (X = x, Y = y) die gemeinsame Verteilung von X und Y. bedingte Zähldichte von X unter Y = y f X Y = P (X = x, Y = y) P (Y = y) falls f Y (y) > 0, sonst beliebige andere Zähldichte 2. Die Zähldicht von X: f X (x) = P (X = x) = = f (x,y)(x, y) f Y (y) y T y f X Y (x y)f Y (y), 3. bedingter Erwartungswert von g(x) unter Y = y E(g(X)) = y T y E(g(X) Y = y)f Y (y) absolut stetiger Fall Sie f (X,Y ) (x, y) die gemeinsame Verteilung von X und Y. bedingte Dichte von X unter Y = y f X Y = f X Y (x, y) f Y (y) falls f Y (y) > 0, sonst beliebige andere Dichte 2. Die Dichte von X: f X (x) = f X Y (x y)f Y (y), dy 3. bedingter Erwartungswert von g(x) unter Y = y E(g(X)) = E(g(X) Y = y)f Y (y) x T X