Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Stochastik für Wirtschaftswissenschaftler Hartmut Lanzinger Wintersemester 0/

2 Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeiten Einführung Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Zufallsvariablen 0 Einführung Diskrete Zufallsvariablen Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariablen Absolut stetige Zufallsvariablen Spezielle Verteilungen absolut stetiger Zufallsvariablen Momente von Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bedingte Verteilungen und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen Summen von Zufallsvariablen Grenzwertsätze 38 Gesetze der großen Zahlen Der zentrale Grenzwertsatz Parameterschätzung 43 Stichproben Schätzfunktionen Methoden zur Konstruktion von Schätzern Konfidenzintervalle Statistische Tests 5 Einführung Spezielle Tests

3 Kapitel Wahrscheinlichkeiten Einführung Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang mit unbestimmtem Ergebnis, der im Prinzip unter den gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholt werden kann, ohne dass sich die einzelnen Wiederholungen gegenseitig beeinflussen. Die Menge Ω aller Ergebnisse eines Zufallsexperiments heißt Grundmenge bzw. Merkmalsraum. e. Ein Würfel wird einmal geworfen. Das Ergebnis ist hierbei die geworfene Augenzahl. Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. Ein Würfel wird so lange geworfen, bis zum ersten Mal die Augenzahl auftritt. Ergebnis des Zufallsexperiments ist dabei die Anzahl der dafür nötigen Würfe. Ω = {,, 3,...} = N 3. Auf einer Wegstrecke befinden sich drei Ampeln. An jeder Ampel muss ein Autofahrer entweder anhalten A oder er kann weiterfahren W. Fährt ein Autofahrer diese Strecke, so ergibt sich die Grundmenge Ω = {W W W, W W A, W AW, AW W, AAW, AW A, W AA, AAA} 4. Auf einer Wegstrecke befindet sich eine Ampel. Ergebnis des Zufallsexperiments ist die Zeit in Sekunden, die ein zufällig ausgewählter Autofahrer an dieser Ampel warten muss. Hier ist also die Grundmenge Ω = [0, Eine Menge A Ω heißt ein Ereignis. Wir sagen, dass A eintritt, falls für den Ausgang ω Ω eines Zufallsexperiments ω A gilt. Im Fall ω A sagen wir, dass A nicht eintritt. In den oben genannten en könnten also folgende Ereignisse interessant sein: e. A = gerade Augenzahl = {, 4, 6}

4 . A = mehr als drei Würfe sind nötig = {4, 5, 6,...} 3. A = Der Fahrer kann immer weiterfahren = {W W W } 4. A = Die Wartezeit beträgt mehr als eine Minute = 60, Ein Zufallsexperiment werde n-mal durchgeführt, wobei die einzelnen Durchführungen sich gegenseitig nicht beeinflussen sollen. Die Ergebnisse seien ω,..., ω n Ω. Dann gibt die absolute Häufigkeit des Ereignisses A Ω an, wie oft das Ereignis A bei den n Versuchen eintritt, d.h. die absolute Häufigkeit ist die Anzahl der Indizes k mit ω k A. Die relative Häufigkeit des Ereignisses A Ω ist definiert als dessen absolute Häufigkeit dividiert durch die Gesamtanzahl n der Durchführungen des Zufallsexperiments. Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel bestehend aus a einer Menge Ω, b einer Menge F von Teilmengen von Ω mit den Eigenschaften A, Ω F A Wenn A F ist, dann ist auch A c F A3 Wenn A n F ist, dann ist auch A n F, n= c einer Funktion P: F [0, ] mit den Eigenschaften P P Ω = und P = 0 P σ-additivität Für paarweise disjunkte Mengen A n F, n N, d.h. A j A k = für j k gilt P A n = P A n Die Elemente von F heißen Ereignisse. Für ein A F heißt PA die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A. Die Funktion P heißt ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf Ω, F n= n= en. Eine Menge F von Teilmengen einer nichtleeren Menge Ω mit den Eigenschaften A-A3 nennt man eine σ-algebra. F enthält die Mengen, denen man eine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Für uns ist daran nur wichtig, dass in einer σ-algebra bestimmte Mengeoperationen erlaubt sind. Wenn F eine σ-algebra ist mit A, B, A k F, n N, dann gehören folgende Mengen ebenfalls zu F: n n A \ B, A B, A B, A k, A k, A k, Dies wird im Folgenden stets benutzt werden.. Ω entspricht der Menge der möglichen Ausgänge des entsprechenden Zufallsexperiments. Wenn für ein ω Ω die einelementige Menge {ω} zu F gehört, so spricht man von einem Elementarereigis. A k

5 Proposition. Eigenschaften von Wahrscheinlichkeiten Ω, F, P sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, A, B,..., B n F n N. Dann gilt: a Wenn B,..., B n disjunkt sind, dann folgt n P B k = b PA c = PA PB k c A B = PB \ A = PB PA insb. PA PB d PA B = PA + PB PA B n e P B k P B k Laplacesche Wahrscheinlichkeitsräume Ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P heißt Laplacescher Wahrscheinlichkeitsraum, falls gilt. a Ω ist endlich, etwa Ω = {ω,..., ω n } b F = PΩ P{ω k } = N für k =,..., N. In einem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum gilt für alle A Ω: PA = A Ω e. Werfen eines Würfels s.o.. Zweifaches Werfen eines Würfels Ω = {, ;, ;... ;, 6;, ;... ; 6, 6} = Ω = 36 P{j, k} = 36 für j, k 6 Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die Augensumme 7? Gesucht ist PA für A = {, 6;, 5;... ; 6, }, also ist P roba = 6 36 = 6 3. Zwei Personen werfen eine Münze. Fällt Wappen, so bekommt Person A einen Punkt, bei Zahl erhält dagegen Person B einen Punkt. Sieger ist, wer zuerst drei Punkte auf dem Konto hat. Bei den ersten beiden Würfen ist jeweils Wappen gefallen. Wie verhalten sich jetzt die Siegchancen? Bezeichnen wir der Einfachheit halber Wappen mit W und Zahl mit Z, so ergibt sich folgender Wahrscheinlichkeitsraum zur Modellierung der nächsten 3 Würfe: Ω = {W W W, W W Z, W ZW, W ZZ, ZW W, ZW Z, ZZW, ZZZ} = Ω = 8 Sei A das Ereignis Person B gewinnt. Dann ist A = {ZZZ} und somit P A = 8. 3

6 Für die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsräumen ist es also erforderlich, für gewisse Klassen von Mengen deren Elementezahl zu bestimmen. Hierzu benutzt man die sogenannten Urnenmodelle. Man stellt sich dabei eine Urne vor, die mit n Kugeln gefüllt ist. Die Kugeln seien von bis n durchnummeriert. Jetzt werden nacheinander k Kugeln zufällig aus der Urne entnommen. Als Ergebnis erhält man ein k-tupen j,..., j k {,..., n} k. Der Ziehungsvorgang kann dann mit oder ohne Zurücklegenerfolgen und auch mit oder ohne Beachtung der Reihenfolge. Dadurch ergeben sich insgesamt 4 Möglichkeiten, die wir im Folgenden nacheinander durchgehen werden. Zur Erinnerung verwenden wir folgende Bezeichnungen aus der Mathematikvorlesung: A Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge Bei jeden Zug gibt es n Möglichkeiten, also insgesamt n k Möglichkeiten. 00-maliges Werfen eines Würfels. Hier ist n = 6 und k = 00, somit ist Ω = B Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge Beim ersten Zug hat man n Möglichkeiten, beim zweiten noch n, usw. Also gibt es insgesamt n n... n k + Möglichkeiten. Schreibweise n k = n n... n k + für k n, k, n N. Im Fall k = n ist n k = n! Mit anderen Worten ist n! die Anzahl der Möglichkeiten, n Objekte anzuordnen. C Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge n k Wieder hat man im ersten Zug n Möglichkeiten, beim zweiten noch n, usw. Jetzt gibt es aber für jedes gezogene k-tupel noch k! Möglichkeiten für die Reihenfolge. Insgesamt gibt es also n k n = Möglichkeiten. k! k ist also die Anzahl der Möglichkeiten, k Objekte aus einer Menge mit n Objekten auszuwählen. D Ziehen mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge Dieser Fall tritt relativ selten auf. Eine ähnliche, aber etwas komplizierter Argumentation als in A-C zeigt, dass es n+k k Möglichkeiten gibt. Zusammenfassung Ziehen von k Kugeln aus einer Urne mit n Kugeln mit Beachtung ohne Beachtung der Reihenfolge der Reihenfolge n + k mit Zurücklegen n k k n ohne Zurücklegen n k k e 4

7 . Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt beim dreimaligen Werfen eines Würfels keine Augenzahl mehrfach auf? Es ist Ω = 6 3. Für das Ereignis A = keine Augenzahl mehrfach ist A = 6 3 und daher PA = = 5 9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter k zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei den selben Geburtstag haben? Wir nehmen vereinfachend an, dass das Jahr 365 Tage hat, die als Geburtstage alle gleich wahrscheinlich sind. Dann ergibt sich für das Ereignis A = alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag PA = 365 k k k = 365 k Einige Zahlenwerte ergibt sich aus folgender Tabelle: n Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei gleiche Geburtstage Die Annahme, dass alle Tage als Geburtstag gleich wahrscheinlich sind, ist unrealistisch. Man kann aber zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens zwei Personen am selben Tag Geburtstag haben, bei unterschiedlichen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Tage, höchstens größer werden kann. 3. In einer Urne befinden sich 5 weiße und 5 schwarze Kugeln. Es werden 4 Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind a alle Kugeln weiß? 5

8 Es sei A das Ereignis alle Kugeln weiß. Dann gilt PA = = = b genau zwei Kugeln weiß und zwei Kugeln schwarz? 0 4 Es sei B das Ereignis genau zwei Kugeln weiß und zwei Kugeln schwarz. Dann gilt PB = = c mindestens drei Kugel weiß? Es sei C das Ereignis mindestens drei Kugeln weiß. Dann gilt PC = = Proposition. Hypergeometrische Verteilung Aus einer Urne mit m weißen und n schwarzen Kugeln werden k Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den gezogenen Kugeln genau r weiß sind, beträgt für 0 r k: m n r k r m+n k 3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit A, B seien Ereignisse aus Ω, F, P mit PB > 0. Dann heißt PA B = PA B PB die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B. Wie oben sei A das Ereignis weiße Kugel im zweiten Zug und B das Ereignis weiße Kugel im ersten Zug. Dann gilt: PA B = PA B PB = = 9 9 en. PA B gibt also die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A unter der Zusatzinformation an, dass das Ereignis B eingetreten ist.. Wenn PB > 0 ist, folgt also PA B = PA B PB. Ist sogar PA, PB > 0, so folgt PA B PB = PA B = PB A = PB A PA 6

9 Lemma. Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und Ereignisse A, A k F, k N, sowie B F mit PB > 0. Dann gilt: a PΩ B =, P B = 0. b PA c B = PA B c Wenn die A k disjunkt sind, so folgt P A k B = d Aus A A folgt PA B PA B e P A k B PA k B PA k B Proposition.3 Multiplikationsregel Gegeben seien Ereignisse A,..., A n in einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit PA... A n > 0. Dann gilt: PA... A n = PA PA A PA 3 A A... PA n A... A n Gegeben sei eine Urne mit 0 Kugeln 3 schwarz, 7 weiß. Bei jedem Zug wird eine Kugel gezogen, die dann mit zwei weiteren Kugeln der selben Farbe in die Urne zurückgegelegt wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei den erten drei Zügen stets eine schwarze Kugel gezogen? Sei A ν das Ereignis schwarze Kugel im ν-ten Zug ν =,, 3. Dann gilt PA A A 3 = PA PA A PA 3 A A = = 6 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P sowie B,..., B n F, n N. B,..., B n heißen eine Partition bzw. Zerlegung von Ω, wenn gilt: i B,..., B n sind paarweise disjunkt mit n B k = Ω. ii PB k > 0 für k =,..., n. Satz. Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit, Satz von Bayes Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, eine Zerlegung B,..., B n von Ω und ein Ereignis A F. Dann gilt: a PA = PA B k PB k 7

10 b Ist zusätzlich PA > 0, so folgt für ν =,..., n: PB ν A = PA B ν PB ν n PA B k PB k = PA B ν PB ν PA e. Gegeben seien drei Urnen U, U und U 3. U enthalte 3 weiße und 7 schwarze Kugeln, U enthalte 9 weiße und schwarze Kugeln und U 3 enthalte 3 weiße und schwarze Kugeln. Es werde zunächst eine Urne zufällig ausgewählt und dann aus dieser Urne eine Kugel gezogen. a Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Kugel schwarz? A sei das Ereignis Kugel ist schwarz, B ν das Ereignis ν-te Kugel wurde gewählt. Dann gilt: PA = PA B PB + PA B PB + PA B 3 PB 3 = = = = 5 b Die gezogene Kugel ist schwarz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt sie aus U 3? Mit den obigen Bezeichnungen gilt: PB 3 A = PA B 3 PB 3 PA = Bei einem Test auf eine bestimmte Krankheit ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine kranke Person richtig als krank erkannt wird, 99% Sensitivität. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine nicht kranke Person richtig als nicht krank erkannt wird, liegt bei 95% Spezifität. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit positivem Testergebnis tatsäclich Krankheit hat, wenn man weiß, dass von dieser Krankheit etwa % der Bevölkerung betroffen ist? A sei das Ereignis Test ist positiv und B das Ereignis Person ist krank. Nach den obigen Angaben gilt dann: Aus Satz. folgt dann: PB = 0.0, PB c = 0.99, PA B = 0.99, PA B c = 0.05 PB A = PA B PB PA B PB + PA B c PB c = = 6 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P sowie A, B, A,..., A n F, n N. a A und B heißen unabhängig, falls PA B = PA PB ist. b A,..., A n heißen unabhängig, falls für alle k =,..., n und beliebige Indizes i,..., i k mit i <... < i k n gilt: PA i... A ik = PA i... PA ik e 8

11 . Zweimaliges Werfen eines Würfels A sei das Ereignis Augensumme ungerade = PA = B sei das Ereignis Eins im ersten Wurf = PB = 6 C sei das Ereignis Augensumme sieben = PB = 6 Dann gilt PA B = P{,,, 4,, 6} = 3 36 = = PA PB = A, B sind unabhängig PA C = PC = PA PC 6 = A, C sind nicht unabhängig PB C = P{, 6} = 36 = PB PC = B, C sind unabhängig A, B unabhängig = A c, B unabhängig und A c, B c unabhängig 9

12 Kapitel Zufallsvariablen Einführung Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Eine Funktion X : Ω R heißt eine Zufallsvariable, falls gilt: {ω Ω Xω x} F für alle x R en. Wenn F aus allen Teilmengen von Ω besteht, dann ist jede Funktion X : Ω R automatisch eine Zufallsvariable.. Anstelle von {ω Ω Xω x} schreibt man meistens {X x}. Entsprechendes gilt für Mengen wie {X = x}, {X [a, b]} usw. Zweimaliges Werfen eines Würfels Ω = {j, k j, k n} Xj, k = j + k Augensumme Y j, k = max{j, k} Maximum der Augenzahlen Hier ergeben sich folgende Werte: ν PX = ν ν PY = ν Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und eine Zufallsvariable X. Dann heißt die Funktion F : R [0, ], F x = PX x die Verteilungsfunktion von X. Insbesondere dann, wenn mehrere Zufallsvariablen im Spiel sind, bezeichnen wir die Verteilungsfunktion von X auch mit F X. 0

13 Zweimaliges Werfen eines Würfels, X, Y wie oben. 0 für x < 36 für x < für 3 x < für 4 x < für 5 x < 6 5 F X x = 36 für 6 x < 7 36 für 7 x < für 8 x < für 9 x < für 0 x < für x < für x 0 für x < 36 für x < 4 36 für x < 3 F Y x = 9 36 für 3 x < für 4 x < für 5 x < 6 für x 6 Proposition. Eigenschaften einer Verteilungsfunktion Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und eine Zufallsvariable X mit Verteilungsfunktion F. Dann gilt: a lim x F x = 0, lim x F x =. b F ist monoton wachsend. c F ist rechtsseitig stetig. Zu jeder Funktion F : R [0, ] mit den obigen Eigenschaften existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine zugehörige Zufallsvariable, die F als Verteilungsfunktion hat. Gegeben sei eine Menge Ω und A Ω. Dann heißt die Funktion die Indikatorfunktion von A in Ω. A : Ω {0, }, A ω = { ω A 0 ω A Lemma. Für einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und A F ist A eine Zufallsvariable. Lemma. Es sei Ω eine nichtleere Menge und A, B, A,..., A n Ω. Dann gilt: a 0, Ω. b A ω = Aω für alle ω Ω.

14 c A... A n ω = A ω... An ω für alle ω Ω. Speziell ist A B ω = A ω B ω für alle ω Ω. d A... A n ω = max{ A ω,..., An ω} für alle ω Ω. e A B ω = A ω + B ω A B ω für alle ω Ω. f Ω\A ω = A ω für alle ω Ω. g A B A ω B ω für alle ω Ω. Diskrete Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P heißt diskret, wenn es eine endliche oder abzählbare Menge M gibt, so dass PX M = ist. e. Bisher waren alle e für Zufallsvariablen diskret.. Wartezeit X bis zur ersten Eins beim fortgesetzten Werfen eines Würfels Hier ist offensichtlich M = N. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann heißt die Funktion f : R [0,, fx = PX = x die Wahrscheinlichkeitsfunktion bzw. Zähldichte von X. e. X Augensumme beim zweimaligen Werfen eines Würfels ν fν 36 fx = 0 für x {, 3,..., } 36. Wartezeit bis zur ersten Eins beim fortgesetzten Werfen eines Würfels fk = 5 k 6 6 für k N fx = 0 für x N Wenn M = {x, x, x 3,...} ist, dann kann die Zähldichte durch Angabe der Wahrscheinlichkeiten p k = PX = x k k N beschrieben werden. Man gibt also gewissermaßen nur die Werte von x an, für die PX = x > 0 ist. Dann ist automatisch PX = x k =.

15 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Es gelte PX M =, wobei M = {x, x, x 3,...}. Wenn die Reihe x k PX = x k konvergiert, dann heißt EX = der Erwartungswert der Zufallsvariablen X. x k PX = x k Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen gibt an, welchen Wert die Zufallsvariable im Schnitt annimmt. Wir werden Erwartungswerte auch häufig mit µ bezeichnen. e. Werfen eines Würfels, X Augenzahl Dann ist EX = = 6 = 3.5. Zweimaliges Werfen eines Würfels, X Augensumme, Y Maximum der Augenzahlen Dann ist EX = = 7 EY = = Ist die oben genannte Menge M endlich, so existiert der Erwartungswert immer. Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Es gelte P X {x, x, x 3,...} =. Wenn die Reihe x k µ PX = x k konvergiert, dann heißt der Wert dieser Reihe die Varianz von X und wird mt VarX bzw. σ bezeichnet. Die Wurzel aus der Varianz bezeichnet man als Standardabweichung Bezeichnung: σ en. Die Varianz beinhaltet Information darüber, wie stark die Zufallsvariable um ihren Erwartungswert streut.. Ist die oben genannte Menge M endlich, so existiert die Varianz immer. e 3

16 . Werfen eines Würfels, X Augenzahl = µ = 7 VarX = 6 7 = 6 5 = Zweimaliges Werfen eines Würfels, X Augensumme = µ = 7 VarX = Lemma.3 Gegeben sei eine diskrete Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit P X {x, x, x 3,...} =. Dann gilt: a VarX existiert genau dann, wenn b Wenn x k PX = x k konvergiert x k PX = x k konvergiert, dann ist mit µ = EX: x k a PX = x k = VarX + µ a VarX c Wenn die Varianz von X existiert, dann gilt µ = EX: VarX = x k PX = x k µ Zweimaliges Werfen eines Würfels, Y Maximum der Augenzahlen d.h. µ = 6 36 VarY = = Spezielle Verteilungen diskreter Zufallsvariablen 6 36 Im Folgenden sei stets X eine diskrete Zufallsvariable auf einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und M R abzählbar mit PX M =. 4

17 A Diskrete Gleichverteilung X heißt gleichverteilt auf {,,..., N}, wenn M = {,..., N} und PX = k = N ist. für alle k M Eine auf {,,..., N} gleichverteilte Zufallsvariable X besitzt die Zähldichte fx = { N für x {,,..., N} 0 sonst = N {,,...,N}x Proposition. Für eine auf {,,..., N} gleichverteilte Zufallsvariable X gilt EX = N + und VarX = N Augenzahl X beim Werfen eines Würfels B Binomialverteilung X heißt binomialverteilt mit den Paramtern n N und p 0,, wenn M = {0,..., n} und n PX = k = p k p n k für k N k Schreibweise: X Bn, p 0-maliges Werfen eines Würfels, X Anzahl der Einsen 0 PX = k = k 6 k 5 n k = EX = 0? 6 en. Eine Zufallsvariable X Bn, p besitzt die Zähldichte { n fx = x p x p n x für x {0,,..., n} 0 sonst = n p x p n x x {0,,...,n} x. Gilt X B, p mit einem p 0,, dann heißt X auch Bernoulli-verteilt. Für einen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und ein A F gilt P A = = PA und P A = 0 = PA. Somit folgt A B, p. 3. Beachte, dass nach dem Binomialsatz gilt: PX = k = k=0 k=0 n p k p n k = p + p n = k 5

18 4. Die Binomialverteilung tritt stets in folgender Situation auf: Ein Zufallsexperiment wird n-mal durchgeführt. Die einzelnen Versuche sind hierbei unabhängig. In jedem Versuch wird festgestellt, ob ein bestimmtes Ereignis A eingetreten ist oder nicht. Die Zufallsvariable X gibt an, wie oft bei diesen n Versuchen das Ereignis A eingetreten ist. Wenn A bei einem einzelnen Versuch die Wahrscheinlichkeit p hat, dann gilt X Bn, p. Proposition.3 Für eine Zufallsvariable X Bn, p gilt EX = np und VarX = np p Wir werden später vgl. Satz. und Proposition. den allgemeinen Fall einfacher herleiten. e C. Ein Würfel werde n-mal geworfen. X sei die Anzahl der dabei geworfenen Einsen. Dann ist X B n, 6.. Ein Multiple-Choice-Test besteht aus 0 Fragen mit jeweils 4 vorgegebenen Antworten. Bei jeder Frage ist genau eine Antwort richtig. Die Anzahl der richigen Antworten bei zufälliger Auswahl ist dann B0, 4. Im Durchschnitt wird man in diesem Fall also 5 Fragen richtig beantworten. Geometrische Verteilung Eine Zufallsvariable X heißt geometrisch verteilt mit Parameter p 0,, wenn M = N und P X = k = p p k ist. en. Eine geometrisch verteilte Zufallsvariable besitzt die Zähldichte. { p p k für x N fx = 0 sonst. Beachte, dass p p k = p p k = p p = 3. Die geometrische Verteilung tritt in folgender Situation auf: Ein Zufallsexperiment wird so lange durchgeführt, bis ein bestimmtes Ereignis A eintritt. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der dafür notwendigen Versuche an. Wenn die einzelnen Versuche voneinander unabhängig sind und A bei einem einzelnen Versuch die Wahrscheinlichkeit p besitzt, dann ist X geometrisch verteilt mit Parameter p. Proposition.4 Eine Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit Parameter p 0,. Dann ist EX = p und VarX = p p. 6

19 e D. Werfen eines Würfels so lange, bis die erste Eins auftritt. Insbesondere sind im Durchschnitt 6 Würfe nötig, bis eine Eins fällt.. Eine Serie von Überraschungseiern enthält eines von vier unterschiedlichen Spielzeugen. Die Spielzeuge seien dabei gleich häufig vorhanden. Wie viele Eier muss man im Durchschnitt kaufen, bis man alle vier Spielzeuge hat? Beim Kauf des ersten Eis erhält man auf jeden Fall ein neues Spielzeug, da man vorher ja noch keines hatte. Die Wartezeiten X, X 3, X 4 auf das zweite, dritte und vierte Spielzeug sind dann geometrisch verteilt, und zwar X mit Parameter 3 4, X 3 mit Parameter und X 4 mit Parameter 4. Die durchschnittliche Zeit, bis man alle vier Spielzeuge hat, ist dann Hypergeometrische Verteilung + EX + EX 3 + EX 4 = = 5 3 X heißt hypergeometrisch verteilt mit Parametern k, m, n N k m + n, wenn M = {0,..., k} und m n ν k ν PX = ν = en m+n k. Eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable besitzt die Zähldichte. m n x k x fx = m+n für x = 0,..., k k 0 sonst. Hypergeometrische verteilte Zufallsvariablen treten z.b. in folgender Situation auf: Aus einer Urne mit m weißen und n schwarzen Kugeln werden k Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Beachten der Reihenfolge gezogen. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der weißen Kugeln unter den k geozogenen Kugeln an. Dann ist X hypergeometrisch verteilt mit Parameter k, m, n N. Die Wahrscheinlichkeit für vier Richtige Zahlen beim Lotto 6 aus 49 beträgt = Proposition.5 Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit Parameter k, m, n N. Dann gilt: EX = km m + n und VarX = km m + n n m + n m + n k m + n Für große Werte von m und n und einen im Vergleich dazu kleinen Wert von k, lässt sich die hypergeometrische Verteilung durch die Bk, p-verteilung mit p = m m+n annähern. k Als Faustregel sollte n + m 60 und m+n < 0. sein. 7

20 E Poisson-Verteilung X heißt Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0, wenn M = N 0 ist und Schreibweise X P λ λ λk PX = k = e k! für alle k N 0 en. Eine Zufallsvariable X P λ besitzt die Zähldichte {e λ λx fx = x! für x N 0 0 sonst. Beachte, dass PX = k = e λ k=0 k=0 λ k k! = 3. Die Poisson-Verteilung tritt in Anwendungen z.b. in folgenden Situationen auf: Anzahl der Zerfälle eines radioaktiven Präparats in einer festen kurzen Zeitspanne. Anzahl der an einem Mobilfunkmasten in einem festen Zeitraum eintreffenden Gespräche Anzahl der in einer festen Zeitspanne von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der Bruchstellen bei 00 km Eisenbahngleisen usw. Proposition.6 Für eine Zufallsvariable X P λ λ > 0 gilt: EX = VarX = λ e. Die Anzahl X der Druckfehler auf einer Zeitungsseite lasse sich als P 0.-verteilte Zufallsvariable darstellen. Dann gilt PX = , PX = und PX = Bei einer Telefonzentrale kommen im Schnitt 40 Anrufe pro Stunde an. Dann lässt sich die Zahl der Anrufe X pro Minute als P 4-verteilte Zufallsvariable darstellen. Dann ist beispielsweise 4 PX = e 4 0 0! + 4! ! Satz. Poisson-Approximation der Binomialverteilung Es sei p n n= eine Folge in 0, mit lim np n = λ 0,. n Dann gilt für alle k N 0 : n p kn p n n k e λ λk n k k! Dieses Ergebnis lässt sich so interpretieren, dass für kleine Werte von p die Binomialverteilung Bn, p durch die Poisson-Verteilung mit Parameter λ = np angenähert werden kann. Gesetz der seltenen Ereignisse 8

21 4 Absolut stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P heißt absolut stetig, wenn eine Funktion f : R [0, existiert, so dass ft dt konvergiert und für alle x R gilt: Die Funktion f heißt die Dichte von X. PX x = x ft dt Schreibweise Falls in einer Fragestellung mehrere Zufallsvariablen auftreten, werden wir die Dichte von X typischerweise mit f X bezeichnen. en. Wenn F die Verteilungsfunktion von X ist, gilt also F x = x ft dt Insb. ist, wenn f stetig ist, F eine Stammfunktion von f.. Offensichtlich ist ft dt =, da lim x F x =. Lemma.4 Die Zufallsvariable X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P sei absolut stetig mit Verteilungsfunktion F. Dann ist F stetig und für alle x R gilt PX = x = 0. Offensichtlich ist also und PX x = PX < x und PX > x = PX x für x R PX a, b] = PX [a, b = PX a, b = PX [a, b] = b a ft dt für a < b e. fx = e x. Beachte dazu. fx = e x dx = { x x 0 x < = x [, x. Dann ist e x fx dx = 0 e x dx = x dx = 9

22 Gegeben sei eine absolut stetige Zufallsvariable X mit Dichte f auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Wenn x fx dx konvergiert, dann heißt der Erwartungswert von X. µ = EX = xfx dx e. fx = e x. Dann ist x fx dx = x e x dx = Außerdem ist xfx ungerade, daher ist EX = 0. { x x. fx = 0 x < = x [, x. Dann ist x fx dx = 0 xe x dx = x + e x x x dx 0 = Dieses Integral konvergiert nicht, also besitzt eine Zufallsvariable mit Dichte f keinen Erwartungswert. Ist f gerade d.h. f x = fx für alle x R, so ist der Erwartungswert falls existent stets Null. Gegeben sei eine absolut stetige Zufallsvariable X mit Dichte f und Erwartungswert µ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Wenn x µ fx dx konvergiert, dann heißt der Wert dieses Integrals die Varianz von X und wird mit VarX bzw. σ bezeichnet. Die Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung von X und wird mit σ bezeichnet. fx = e x. Dann ist VarX = x fx dx = 0 x e x dx = x e x xe x dx = Das folgende Lemma ist sozusagen die Version von Lemma.3 für absolut stetige Zufallsvariablen: Lemma.5 Gegeben sei eine absolut stetige Zufallsvariable X mit Dichte f auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann gilt: 0

23 a VarX existiert genau dann, wenn b Wenn x fx dx konvergiert. x fx dx dann gilt für alle a R mit der üblichen Bezeichnung µ = EX: x a fx dx = VarX + µ a VarX c Wenn die Varianz von X existiert, dann gilt mit µ = EX: VarX = x fx dx µ 5 Spezielle Verteilungen absolut stetiger Zufallsvariablen Im Folgenden sei X stets eine absolut stetige Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit Dichte f. A Stetige Gleichverteilung Es seien a, b R mit a < b. Eine Zufallsvariable X mit Dichte heißt gleichverteilt auf a, b. Schreibweise X Ua, b. fx = { b a für x a, b = 0 sonst b a a,bx Proposition.7 Für X Ua, b mit a, b R, a < b gilt EX = a + b und VarX = b a e B. Ein Zeiger wird gedreht, bis er zufällig an einem Punkt eines Ziffernblatts stehen bleibt. Der Winkel, an dem der Zeiger stehen bleibt, kann als eine auf dem Intervall [0, π] gleichverteilte Zufallsvariable modelliert werden.. Die Ziehung einer Zufallszahl entspricht im Idealfall einer U0, -verteilten Zufallsvariable. Bei dieser Anwendung ist es eine wichtige statistische Fragestellung, in wie weit ein konkretes Verfahren dieser Idealvorstellung entspricht. Normalverteilung Es seien µ R und σ > 0. Eine Zufallsvariable X heißt normalverteilt mit den Parametern µ R und σ > 0, wenn X die Dichte fx = { exp πσ } x µ σ besitzt. Im Fall µ = 0 und σ = heißt X standardnormalverteilt. Schreibweise: X Nµ, σ. Gaußsche Glockenkurve

24 en. Die Normalverteilung kann häufig dazu verwendet werden, um Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsvariablen, die einer anderen Verteilung folgen, näherungsweise zu bestimmen siehe dazu auch den sog. Zentralen Grenzwertsatz. In dieser Möglichkeit liegt die große Bedeutung der Normalverteilung begründet.. Die Verteilungsfunktion einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen wird häufig mit Φ bezeichnet, deren Dichte mit ϕ, d.h. man setzt ϕx = π e x / und Φx = π x e t / dt für alle t R Lemma.6 Es gilt e t / dt = π bzw. allgemeiner e t µ /σ dt = πσ Lemma.7 Ist X Nµ, σ mit µ R, σ > 0, so ist die Zufallsvariable X µ σ en standardnormalverteilt.. Allgemeiner folgt für X Nµ, σ mit a > 0, b R, dass ax + b Naµ + b, a σ.. Das in der der Normalverteilung auftretende Integral kann nicht ohne weiteres berechnet werden. Insbesondere ist es nicht möglich, eine Stammfunktion von ϕ in elementarer Weise anzugeben. Daher werden Berechnungen zur Normalverteilung mit Hilfe einer Tabelle bzw. durch Statistiksoftware vorgenommen. Aus Lemma.7 folgt nun, dass hier eine Tabelle für die Standardnormalverteilung genügt bzw. dass auch die Statistiksoftware die Berechnungen nur für die Standardnormalverteilung durchführen muss. e. Die Punktzahl eines zufällig ausgewählten Teilnehmers eines Eignungstests lasse sich als eine Zufallsvariable X N0, 400 darstellen. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Teilnehmer eine Punktzahl zwischen 90 und 0 besitzt, gegeben durch P90 X 0 = P.5 X 00 = Φ Φ Für jede Zufallsvariable X Nµ, σ mit µ R, σ > 0 gilt: Pµ σ X µ + σ = Φ Φ Pµ σ X µ + σ = Φ Φ Pµ 3σ X µ + 3σ = Φ3 Φ Proposition.8 Für X Nµ, σ mit µ R, σ > 0 gilt EX = µ und VarX = σ Speziell gilt π xe x / dx = 0 und π x e x / dx =

25 C Exponentialverteilung Es sei λ > 0. Eine Zufallsvariable X heißt exponentialverteilt mit Parameter λ, wenn X die Dichte fx = λe λx [0, x besitzt. Schreibweise X Expλ Offensichtlich ist fx dx = 0 λe λx dx = e λx 0 = Lemma.8 Für X Expλ mit λ > 0 gilt: EX = λ und VarX = λ Die Exponentialverteilung tritt häufig bei sogenannten Wartezeitproblemen auf: Die mittlere Lebensdauer einer speziellen Sorte von Glühbirnen wird mit 000 Stunden angegeben. Dann ist die Lebensdauer einer zufällig ausgewählten Birne dieser Sorte als Zufallsvariable X Exp/000 darstellbar. Somit gilt: PX 000 = exp PX 000 = exp D Cauchy-Verteilung Es sei α R, β > 0. Dann heißt X Cauchy-verteilt mit den Parametern α und β, wenn X die Dichte besitzt. fx = πβ + x α β en. Sei etwa α = 0 und β =. Dann ist T 0 x π + x dx = π log + x T 0 T Die Cauchy-Verteilung mit Parametern 0 und besitzt also keinen Erwartungswert. Das selbe gilt für jede andere Wahl von Parametern.. Weitere für die Anwendungen wichtige absolut stetige Verteilungen erfordern Vorkenntnisse, die wir uns erst im Lauf der Vorlesung erarbeiten werden. Diese Verteilungen werden daher später eingeführt. 3

26 6 Momente von Zufallsvariablen Lemma.9 Es sei X stets eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und g : R R stetig. Dann ist gx ebenfalls eine Zufallsvariable auf Ω, F, P und es gilt: a Wenn X diskret ist mit PX {x, x,...} =, dann gilt falls diese Reihe absolut konvergiert. EgX = gx k PX = x k b Wenn X absolut stetig ist mit Dichte f, dann gilt EgX = falls dieses Integral absolut konvergiert. gxfx dx Im Fall gx = x ergibt sich der Erwartungswert von X und im Fall gx = x µ µ = EX die Varianz von X jeweils im Falle der Existenz. Es sei X eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P diskret oder absolut stetig. a Falls existent, heißt EX r für r N das r-te Moment von X. Entsprechend heißt im Falle der Existenz E X r für r N das r-te absolute Moment von X. b Es sei µ = EX. Dann heißt im Falle der Existenz EX µ r für r N das r-te zentrierte Moment von X. X N0, = EX 3 = 0 und EX 4 = π x 4 e x / dx = x 3 e x / + 3 x e x / dx = 3 π π Gegeben sei eine diskrete oder absolut stetige Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Wenn ein ε > 0 existiert, so dass für alle t ε, ε der Erwartungswert mt = E e tx existiert, dann heißt die Funktion mt auf ε, ε die momenterzeugende Funktion von X. e 4

27 . X Nµ, σ mt = = πσ πσ } e tx x µ exp { σ dx = exp { x µ tσ } σ = exp { tµ + t σ / } für alle t R πσ { exp σ x xµ + tσ + µ } dx { dx exp σ µ µ + tσ }. X P λ mt = k=0 e tk λ λk e k! = exp{λet } für alle t R 3. X Bn, p mt = k=0 n e tk p k p n k = p + e t p n k frallet R 4. X Expλ mt = 0 e tx λe λx dx = λ λ t für alle t R Für eine diskrete Zufallsvariable X mit PX N 0 = heißt die erzeugende Funktion von X. gz = PX = k z k k=0 Die g definierende Potenzreihe besitzt einen Konvergenzradius. e. X Bn, p. X P λ gz = k=0 gz = n z k p k p n k = p + zp n k k=0 z k λ λk e k! = exp{λz } Gegeben sei eine Zufallsvariable X F d.h. X besitzt die Verteilungsfunktion F und ein q 0,. Dann heißt eine Zahl x q ein q-quantil von X bzw. von F, wenn PX x q q und PX x q q ist. Im Fall q = 4 oder q = 3 4 nennt man x q auch ein Quartil, im Fall q = einen Median. e 5

28 . X U0, Dann ist PX x = x und PX x = x für alle x 0,. Daher ist q 0, stets ein q-quantil.. X Expλ Dann ist PX x = e λx und PX x = e λx für alle x > 0. Somit ist 3. X P λ PX x q x λ log q und PX x q x λ log q Sei n N 0 und q beliebig mit n λk k=0 e λ k! < q < n λk k=0 e λ k! Dann ist PX n q und PX n = n λk k=0 e λ k! q. Also ist n ein q-quantil für jedes solche q. Sei nun q = n λk k=0 e λ k! für ein n N 0. Dann gilt für alle x q [n, n + ]; n PX x q q und PX x q = e λ λk k! q Also ist jedes solche x q ein q-quantil. Quantile treten häufig in Anwendungsaufgaben auf siehe nachfolgendes und sie werden uns später beispielsweise auch bei statistischen Tests begegegnen. Die Ergebnisse bei einem Eignungstest sind N0, 400-verteilt. Es sollen die 5% besten Teilnehmer berücksichtigt werden. Welcher Punktzahl entspricht das? Ist X N0, 400, so ist X 0 N0,. Gesucht ist ein Wert q mit Φq = 0.75, d.h. ein 0 75%-Quantil der Standardnormalverteilung. Wir erhalten q = Insgesamt ergibt sich X Φ = P = PX = PX Zufallsvektoren X,..., X d seien Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann heißt die Funktion X ω X : Ω R d, Xω =. X d ω ein d-dimensionaler Zufallsvektor auf Ω, F, P. Die Funktion F : R d [0, ], F x,..., x d = PX x,..., X d x d heißt gemeinsame Verteilungsfunktion von X,..., X d. en. Beachte, dass für x = x. x d gilt: {ω Ω X ω x,..., X d ω x d } = {X x }... {X d x d } k=0 6

29 . Die Funktionen F Xk x = PX k x = heißen Randverteilungsfunktionen von X. lim F x,..., x k, x, x k+,..., x d x,...,x k,x k+,...,x d Ein Zufallsvektor X = X,..., X d auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P heißt diskret, wenn X,..., X d diskrete Zufallsvariablen sind. Für einen diskreten Zufallsvektor X heißt die Funktion f : R d [0, ], fx = PX = x die Wahrscheinlichkeitsfunktion oder Zähldichte von X. e. Zweimaliges Werfen eines Würfels X Augenzahl im ersten Wurf, Y Maximum der Augenzahlen PX = x, Y = y PX = x /36 /36 /36 /36 /36 /36 6/36 0 /36 /36 /36 /36 /36 6/ /36 /36 /36 /36 6/ /36 /36 /36 6/ /36 /36 6/ /36 6/36 PY = y /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 Für alle nicht in der Tabelle aufgeführten Werte ist PX = x, Y = y = 0.. Die Verteilung von X Y sei gegeben durch folgende Tabelle mit einem beliebigen Wert c 0, : PX = x, Y = y PX = x c c c c PY = y Unabhängig vom konkreten Wert gilt hier immer PX = = PX = = PY = = PY = = Die Verteilungen der einzelnen Zufallsvariablen, die einen Zufallsvektor bilden, legen also die Verteilung des Zufallsvektors noch nicht fest. Allgemein gilt, dass die Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors durch die Randverteilungsfunktionen noch nicht festgelegt ist. Ein Zufallsvektor X = X,..., X n auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit gemeinsamer Verteilungsfunktion F heißt absolut stetig, wenn eine Funktion f : R n [0, existiert, so dass R n fx dx existiert und für alle x = F x,..., x n = x. x n gilt:,x n]...,x ] Diese Funktion f heißt die gemeinsame Dichte von X. ft,..., t n dt... dt n 7

30 en. Offensichtlich gilt R n fx dx =.. Durch Angabe einer Dichte ist die Verteilung eines Zufallsvektors eindeutig festgelegt. Definiere f : R [0,, fx, y = f ist genau dann Dichte eines Zufallsvektors X, wenn gilt = R fx, y dx, y = = c x + x = c cx + y dy dx = { cx + y für 0 < x, y < 0 sonst 0 c xy + y dx = 0 0 cx + / dx Dann gilt z.b. PX X = = 0<x y< 0 x + y dx, y = 3 y dy = y3 = 0 y 0 0 x + y dx dy = 0 y c xy + y dx 0 8 Bedingte Verteilungen und Unabhängigkeit von Zufallsvariablen XY sei ein diskreter Zufallsvektor auf Ω, F, P mit Zähldichte f. Gegeben sein ein x R mit PX = x > 0. Dann heißt die durch f Y X y x = PY = y, X = x PX = x definierte Funktion f Y X x die bedingte Zähldichte von Y gegeben X = x. Weiter heißt die durch PY y, X = x F Y X y x = PX = x definierte Funktion F Y X x die bedingte Verteilungsfunktion von Y gegeben X = x. Zweimaliges Werfen eines Würfels, X Anzahl der Einsen, Y Anzahl der Sechsen PY = y, X = x 0 PX = x 0 6/36 8/36 /36 5/36 8/36 /36 0 0/36 / /36 PY = y 5/36 0/36 /36 8

31 Dann ist PY = y X = x 0 0 6/5 8/0 8/5 /0 0 /5 0 0 XY sei ein absolut stetiger Zufallsvektor auf Ω, F, P mit Dichte f. Weiter sei fx x = die Dichte von X. Gegeben sei ein x R mit f X x > 0. Dann heißt die durch fx, y f Y X y x = f X x definierte Funktion f Y X x die bedingte Dichte von Y gegeben X = x. Weiter heißt die durch F Y X y x = y f Y X u x du definierte Funktion F Y X x die bedingte Verteilungsfunktion von Y gegeben X = x. fx, y dy Definiere f : R [0,, fx, y = { x + y für 0 < x, y < 0 sonst Dann ist f eine Dichte siehe Abschnitt 7. Außerdem gilt { f X x = fx, y dy = 0 x + y dy = x + für x 0, 0 sonst Für x 0, ist daher f Y X y x = = F Y X y x = { x+y x+/ für 0 < y < 0 sonst y 0 x + u x + / du = xy + y / x + / für 0 < y < Gegeben sei ein Folge X k von Zufallsvariablen auf Ω, F, P, n N. a X,..., X n heißen unabhängig, wenn für alle x,..., x n R gilt: PX x,..., X n x n = PX x... PX n x n b X, X, X 3,... heißen unabhängig, wenn X,..., X n für alle n N unabhängig sind. Proposition.9 X = X,..., X n sei ein Zufallsvektor Ω, F, P. Es gelte eine der folgenden Bedingungen: 9

32 i X ist diskret mit Zähldichte f. ii X ist absolut stetig mit Dichte f. Dann sind X,..., X n unabhängige Zufallsvariablen genau dann, wenn für alle x,..., x n gilt: fx,..., x n = f X x... f Xn x n wobei f Xk die Zähldichte bzw. Dichte von X k ist. e. Zweimaliges Werfen eines Würfels X Augenzahl im ersten Wurf, Y Maximum der Augenzahlen PX = x, Y = y PX = x /36 /36 /36 /36 /36 /36 6/36 0 /36 /36 /36 /36 /36 6/ /36 /36 /36 /36 6/ /36 /36 /36 6/ /36 /36 6/ /36 6/36 PY = y /36 3/36 5/36 7/36 9/36 /36 Dann ist z.b. PX =, Y = = 0 PX = PY =.. Es sei f : R [0,, fx, y = { x + y für 0 < x, y < 0 sonst Dann besitzt X die Dichte f : R [0,, f x = x + 0, x und X die Dichte f : R [0,, f y = y + 0, y. Für x, y 0, ist daher f xf y = x + y + = xy + x + y + 4 Somit existierten x, y 0, mit f xf y x + y = fx, y. Also sind X und X nicht unabhängig. Wenn X,..., X n unabhängige Zufallsvariablen sind und g k : R R k =,..., n stetig, dann sind auch g X,..., g n X n unabhängig. 9 Summen von Zufallsvariablen Proposition.0 X, Y seien absolut stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichte f. Dann ist X + Y ebenfalls absolut stetig mit Dichte f X+Y x = ft, x t dt für alle x R 30

33 Lemma.0 X und Y seien unabhängige Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann gilt: a Wenn X, Y absolut stetig sind mit Dichte f X bzw. f Y, dann ist X + Y absolut stetig mit Dichte f X+Y x = f tf x t dt Faltung von f und f b Wenn PX N 0 = PY N 0 = ist, dann folgt PX + Y N 0 = und für alle n N 0 gilt: PX + Y = n = PX = kpy = n k k=0 Eine Zufallsvariable X auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P heißt symmetrisch, wenn PX x = PX x für alle x R ist, d.h. wenn X die selbe Verteilungsfunktion und daher die selbe Verteilung wie X besitzt. en. Für X N0, ist P X x = PX x = π x e t / dt ===== v= t x π e v / dv = PX x Eine standardnormalverteilte Zufallsvariable X ist also symmetrisch. Allgemeiner gilt das für jede Zufallsvariable X N0, σ mit σ > 0.. Es sei X Nµ, σ mit a < 0, b R. Nach der vorhergehenden gilt X µ σ N0, = X µ σ = µ X σ N0, In einer nach Lemma.7 hatten wir festgestellt, dass für X Nµ, σ mit a > 0, b R stets ax + b Naµ + b, a σ gilt. Nun zeigt sich, dass diese Behauptung auch für a < 0 gilt, denn es folgt: ax + b = aσ µ X σ + aµ + b Naµ + b, a σ Satz. X, X seien unabhängige Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P. Dann gilt: a Aus X k P λ k mit λ k > 0 k =, folgt X + X P λ + λ b Aus X k Bn k, p mit n k N, p 0, k =, folgt X + X Bn + n, p 3

34 c Aus X k Nµ k, σk mit µ k R, σk > 0 k =, folgt X + X Nµ + µ, σ + σ Mittels vollständiger Induktion folgt für unabhängige Zufallsvariablen X,..., X n : a Aus X k P λ k mit λ k > 0 k =,..., n folgt n X k P n λ k b Aus X k Bn k, p mit n k N, p 0, k =,..., n folgt n X k B n n k, p. c Aus X k Nµ k, σ k mit µ k R, σ k > 0 k =,..., n folgt n X k+ N n µ k, n σ k. Insbesondere folgt im Spezialfall X k Nµ, σ mit µ R, σ > 0 k =,..., n dann n X k+ N nµ, nσ. Lemma. X = X,..., X n sei ein Zufallsvektor auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P und g : R d R stetig. Dann gilt: a Wenn X diskret ist mit PX {x, x,...} =, dann gilt falls diese Reihe absolut konvergiert. EgX = gx k PX = x k b Wenn X absolut stetig ist mit Dichte f, dann gilt EgX = gxfx dx R d falls dieses Integral absolut konvergiert. Proposition. X, X seien Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, deren Erwartungswert existiert. Außerdem sei a, a R. Dann existiert auch der Erwartungswert von a X + a X und es gilt: Ea X + a X = a EX + a EX Durch vollständige Induktion folgt für Zufallsvariablen X,..., X n auf Ω, F, P, deren Erwartungswert existieren, und Konstanten a,..., a n R, dass auch E n a kx k existiert und dass gilt: E a k X k = a k E X k Lemma. Gegeben seien Zufallsvariablen X, Y auf Ω, F, P. Dann gilt: 3

35 a Wenn EX und EY existieren. dann existiert auch EXY. b Wenn EXY existiert und X und Y unabhängig sind, dann gilt EXY = EX EY Entsprechend zeigt man für Zufallsvariablen X,..., X n auf Ω, F, P: a Wenn E X k n für k n existiert, dann existiert auch EX... X n. b Wenn zusätzlich X,..., X n unabhängig sind, dann gilt EX... X n = EX... EX n X und Y seien Zufallsvariablen auf Ω, F, P mit EX < und EY <. a Dann heißt CovX, Y = E X EX Y EY die Kovarianz zwischen X und Y. b Wenn zusätzlich VarX > 0 und VarY > 0 ist, dann heißt ρx, Y = CovX, Y VarXVarY der Korrelationskoeffizient von X und Y. c X und Y heißen unkorreliert, wenn CovX, Y = 0 ist. Offensichtlich ist CovX, X = VarX. Wenn VarX > 0 ist, so folgt ρx, X =. Proposition. X und Y seien Zufallsvariablen auf Ω, F, P mit EX < und EY <, sowie a, b, c, d R. Dann gilt: a CovX, Y = EXY EX EY b CovaX + b, cy + d = accovx, Y Speziell gilt VaraX + b = a VarX e 33

36 . Ein Tetraeder werde zweimal geworfen, d.h. wir es treten in jedem Wurf die Ausgänge,,3,4 mit der Wahrscheinlichkeit 4 auf. Nun sei X die Augenzahl beim ersten Wurf und Y das Maximum der Augenzahlen Dann gilt PX = x, Y = y 3 4 PX = x /6 /6 /6 /6 /4 0 /6 /6 /6 / /6 /6 / /6 /4 PY = y /6 3/6 5/6 7/6 EX = = EY = = = 5 8 EXY = = 6 6 CovX, Y = = 5 8 Weiter ist EX = = EY = = und daher VarX = 5 55 und VarY = Somit ist ρx, Y =.. Es sei f : R [0,, fx, y = { x + y für 0 < x, y < 0 sonst Dann besitzt X die Dichte f X : R [0,, f X x = x + 0, x und Y die Dichte f Y : R [0,, f Y y = y + 0, y. Dann gilt: EX = EY = x x + x 3 dx = x = x 3 y EXY = xyx + y dx dy = x y dy = 0 CovX, Y = = 44 y 6 + y3 6 0 = 3 34

37 Schließlich ist EX = EY = VarX = VarY = 5 ρx, Y = 0 x x + x 4 dx = 7 = x3 6 0 = 5 Proposition.3 X und Y seien Zufallsvariablen auf Ω, F, P mit EX < und EY <. Dann gilt: a EXY EX EY und daher CovX, Y VarX VarY Cauchy-Schwarz-Ungleichung b Wenn VarX > 0 und VarY > 0 ist, dann folgt ρx, Y. c Wenn X und Y unabhängig sind, dann sind X und Y auch unkorreliert. en. Bei der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt Gleichheit genau dann, wenn ein t R existiert mit PtX = Y =.. Die Umkehrung der letzten Behauptung gilt i.a. nicht, d.h. unkorrelierte Zufallsvariablen müssen nicht notwendigerweise unabhängig sein Gegenbeispiel siehe unten. X mit PX = = PX = 0 = PX = = 3 und Y = X. Dann ist CovX, Y = 0. Satz.3 X, Y seien Zufallsvariablen auf Ω, F, P mit EX <, EY <. Dann gilt: VarX + Y = VarX + VarY + CovX, Y Falls X und Y unkorreliert sind, folgt VarX + Y = VarX + VarY. en. Allgemeiner gilt für Zufallsvariablen X,..., X n mit EXk < für k n: VarX X n = VarX j + j= j<k n Falls X,..., X n unkorreliert sind, dann gilt VarX X n = CovX j, X k VarX j. j= 35

38 . Insbesondere gilt für unabhängige Zufallsvariablen X,..., X n : VarX X n = VarX j 3. Die selbe Rechnung zeigt für Zufallsvariablen X,..., X n, Y,..., Y n auf Ω, F, P mit EXk <, EYk < für k n sowie a,..., a n, b,..., b n : Cov a j X j, b k Y k = a j b k CovX j, Y k j= j= j= Ein wichtiger Spezielfall davon ist CovX, X... CovX, X n Var a j X j = a j a k CovX j, X k = a a... a n.. j= j= CovX n, X... CovX n, X n a. a n X = X,..., X n sei ein Zufallsvektor auf Ω, F, P. a Wenn EX k existiert für alle k {,..., n}, dann heißt der Vektor EX = EX,..., EX n der Erwartungswertvektor von X. b Wenn EXk existiert für alle k {,..., n}, dann heißt die Matrix CovX = n CovX j, X k die Kovarianzmatrix von X. n = j= CovX, X... CovX, X n.. CovX n, X... CovX n, X n R n n Zur Erinnerung: Eine Matrix C R n n heißt positiv definit, wenn a t CovXa > 0 für alle a R n \ {0} gilt. positiv semidefinit, wenn a t CovXa 0 für alle a R n gilt. Lemma.3 X = X,..., X n sei ein Zufallsvektor auf Ω, F, P mit EXk existiert für alle k {,..., n}. Dann ist die Kovarianzmatrix von X symmetrisch d.h. für j, k {,..., n} gilt CovX j, X k = CovX k, X j und positiv semidefinit. Es sei µ, µ R, σ, σ > 0 sowie ρ [0,. Dann kann man zeigen, dass f : R R, fx, x = { } π σ σ ρ exp x µ ρ x µ x µ ρ σ σ σ + x µ σ 36

39 eine Dichte ist und dass für einen Zufallsvektor X = X, X mit Dichte f gilt: µ σ EX = und CovX = ρσ σ µ ρσ σ σ =: C Dann ist für x R, etwa x = x : fx = { π exp } detc x µt C x µ Es sei µ R n, etwa µ = µ. µ Dann heißt ein Zufallsvektor X mit der Dichte n fx = π, und C R n n eine positiv definite Matrix. detc exp { } x µt C x µ normalverteilt mit Erwartungswertvektor µ und Kovarianzmatrix C. Im Fall µ = 0 und C = I n heißt X standardnormalverteilt. en. Ein Zufallsvektor X mit obiger Dichte besitzt tatsächlich den Erwartungswertvektor µ und die Kovarianzmatrix C.. X = X,..., X n ist standardnormalverteilt genau dann, wenn X,..., X n unabhängig sind mit X k N0, k =,..., n. 3. Speziell beschreibt die Dichte im obigen die zweidimensionale Normalverteilung. 37

40 Kapitel 3 Grenzwertsätze Gesetze der großen Zahlen Satz 3. Tschebyscheff-Ungleichung X sei eine Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, für die EX existiert. Dann gilt für alle ε > 0: P X EX > ε VarX ε Die Tschebyscheff-Ungleichung liefert häufig eine recht grobe Abschätzung für P X µ > ε. Ihre Stärke liegt eher in ihrer Allgemeinheit. Lemma 3. Für X N0, und ε > 0 gilt: π ε ε 3 e ε / PX > ε e ε / π ε Wegen der Symmetrie der N0, -Verteilung gilt für X N0, und ε > 0: P X > ε = PX > ε π e ε / ε X N0, Tschebyscheff: P X > VarX = 4 Lemma 3.: P X > = PX > e π

41 Satz 3. Schwaches Gesetz der großen Zahlen X k sei eine Folge unabhängiger Zufallsvariablen auf Ω, F, P. Für alle k N gelte µ = EX k und σ = VarX k d.h. alle X k besitzen den selben Erwartungswert und die selbe Varianz. Dann gilt für alle ε > 0: lim P X n k µ n > ε = 0 en. Die Bedingung der Gleichheit aller Erwartungswerte und Varianzen aller X k ist insbesondere dann erfüllt, wenn alle X k die selbe Verteilung besitzen.. Die Voraussetzungen von Satz 3. können erheblich abgeschwächt werden, allerdings funktioniert dann die dargestellte einfache Beweistechnik nicht mehr. Y n n= sei eine Folge von Zufallsvariablen, Z eine Zufallsvariable auf Ω, F, P. Wenn für jedes ε > 0 lim P Y n Z > ε = 0 n ist, dann sagt man, dass Y n n= p Schreibweise: Y n Z n stochastisch bzw. in Wahrscheinlichkeit gegen Z konvergiert. Von besonderer Bedeutung ist der Fall in dem Z a R d.h. der Grenzwert eine Konstante ist, wie z.b. in Satz 3.. Proposition 3. Y n n= sei eine Folge von Zufallsvariablen auf Ω, F, P mit Y n Bn, p n. Hierbei gelte np n 0 n. p Dann folgt Y n 0 n. Satz 3.3 Starkes Gesetz der großen Zahlen X k sei eine Folge von Zufallsvariablen auf Ω, F, P. Die Zufallsvariablen seien unabhängig und besitzen alle die Verteilung F. Außerdem existiere der Erwartungswert, etwa µ = EX. Dann gilt: P lim X k = µ = n n Y n n= sei eine Folge von Zufallsvariablen, Z eine Zufallsvariable auf Ω, F, P. Wenn für jedes Plim n Y n = Z = ist, dann sagt man, dass Y n n= fast sicher gegen Z konvergiert. f.s. Schreibweise: Y n Z n 39