Chi-Quadrat-Verteilung

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1 Chi-Quadrat-Verteilung Die Verteilung einer Summe X +X +...+X n, wobei X,..., X n unabhängige standardnormalverteilte Zufallsvariablen sind, heißt χ -Verteilung mit n Freiheitsgraden. Eine N(, )-verteilte Zufallsvariable hat die Dichte ϕ(x) π e x Sei nun χ X. Für die Verteilungsfunktion gilt: F χ (x) P(X < x) P( x < X < x) Φ( x) und für die Dichte: f χ (x) F ϕ( χ(x) x) x π e x x e x, x > x π Tasten wir uns weiter vor: χ X +X f χ (x) f χ (y) f χ (x y) dy (Faltung) π y e y π (x y) e x y dy x π e x dy (Substitution y x( u )) y(x y) }{{} xu du ( u )x u du u arcsinu π e x Das Weitere ist wesentlich einfacher: χ 3 X +X +X 3 f χ 3 (x) f χ (y) f χ (x y) dy y e y π e x y π e x π x e x y dy dy

2 χ -Verteilung Fortsetzung χ 4 X +X +X 3 +X 4. f χ 4 (x) f χ (y) f χ (x y) dy e y e x y dy 4 xe x Wenn wir diese Berechnung weiter fortsetzen, wird das Regelmäßige erkennbar. Die Dichte der χ n-verteilung kann schließlich geschlossen durch f χ n (x) n x n ( n e x, x > )! angegeben werden. Dabei ist n! n (n )! und ( )! π. Eine weitere übersichtliche Darstellung benutzt die Γ-Funktion. y,5 n n n 3 n 4 x

3 χ -Anpassungstest Ist ein Stichprobenergebnis mit einer gegebenen Verteilung verträglich? X sei eine binomialverteilte Zufallsvariable. Dann ist Z X µ σ näherungsweise N(, )-verteilt und somit Z (X µ) σ χ -verteilt. Z kann mit X n X und p p umgeformt werden: Allgemein: Z (X np ) np ( p ) (X np ) (p +p ) np p (X np ) np + (X np ) np (X np ) np + (X n( p )) np (X np ) np + (X (X +X )+np ) np (X np ) np + (X np ) np Tritt von k Ereignissen A i jeweils eines mit der Wahrscheinlichkeit p i ein und zählt X i die Häufigkeit von A i, dann ist die Testgröße T (X np ) np + (X np ) np (X k np k ) χ k -verteilt. np k Da V(X i ) E(X i np i ) np i ( p i ) ist, folgt für den Erwartungswert von T: E(T) np ( p ) np + np ( p ) np np k( p k ) np k k k (Anzahl der Freiheitsgrade) der X i können frei gewählt werden, X k ergibt sich dann aus X +X +...+X k n. 3

4 Chiquadrat-Test Die verallgemeinerungsfähige Überlegung, die diesem Test zu Grunde liegt, soll erhellt werden. Wir betrachten einen Einzelversuch mit den beiden Ausgängen A und A, die mit den Wahrscheinlichkeiten p und p angenommen werden (p +p ). Für die n-malige Wiederholung des Einzelversuchs zählen die Zufallsvariablen X und X das Auftreten von A bzw. A (X +X n). Es liegt also eine Bernoullikette vor, allgemein eine multinomiale Verteilung. Die Ergebnisse ( X X ) X der Zufallsversuche liegen auf der Geraden x+y n. Wir gehen nun zum Zufallsvektor über. ( Z Z ) X n p n p X n p n p n p,6 X Z p p ( ) p p Z Die Varianz von Z lautet: V(Z ) n p n p p p entsprechend: V(Z ) p Hieraus ist zu erkennen, dass ( Z Z ) (genähert) normalverteilt ist, bezogen auf eine Achseneinteilung auf der Geraden, µ, σ (Pythagoras und p +p ). Der Freiheitsgrad wird verständlich. Anders formuliert: Z +Z ist N(,)-verteilt. Die Chiquadrat-Testgröße Z +Z ist daher χ -verteilt. 4

5 Chiquadrat-Test Fortsetzung Wir können uns auch den Test mit Freiheitsgraden veranschaulichen. Hierzu betrachten wir einen Einzelversuch mit den 3 Ausgängen A, A unda 3, die mit den Wahrscheinlichkeiten p, p undp 3 angenommen werden(p +p +p 3, genau ein A i tritt ein).fürdien-maligewiederholungdeseinzelversuchszählen die Zufallsvariablen X, X und X das Auftreten von A, A und A 3, X +X +X 3 n. Der Zufallsvektor OP Z Z Z 3 X n p n p X n p n p X 3 n p 3 n p3 Z 3 liegt stets in einer Ebene mit der HNF: ( OP steht senkrecht auf dem Normalenvektor) E: p p p3 x p p Z Z P E Die Varianz von Z i beträgt: V(Z i ) n p n p i ( p i ) p i i Um die Verteilung des Längenquadrats OP Z +Z +Z 3 ( Chiquadrat-Testgröße) zu ermitteln, kann durch einen Vergleich mit der multinomialen Verteilung von OP gezeigt werden, dass die beiden rechtwinkligen Koordinaten von P, hinsichtlich der Ebene E, N(, )-verteilt sind (n ). Damit ist OP χ -verteilt. 5

6 Chiquadrat-Test Ergänzung Die heuristischen Überlegungen wären noch treffender, wenn sich die Einheiten des Ebenen- Koordinatensystems durch senkrechte Projektion der Standardabweichungen von Z und Z ergäben und die Koordinatenachsen auf E (als Schnittgeraden mit der xz- bzw. yz-ebene) orthogonal wären. Beides ist jedoch nicht der Fall. Es kommt nicht auf die Lage der Koordinatenachsen in E an: Das Längenquadrat, d. h. das Skalarprodukt OP, ist stets gleich. So kann eine zweidimensionale Standardnormalverteilung p mit einer orthogonalen Matrix so auf E abgebildet werden, dass der Vektor in p übergeht. p3 Die Übereinstimmung (für n ) dieser Verteilung mit der Verteilung von Z wird mit Hilfe von charakteristischen Funktionen nachgewiesen. Z 3 Z 6