Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr

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1 Klausur (Modulprüfung) zum Lehrerweiterbildungskurs Stochastik am von 10:00 bis 11:00 Uhr Bearbeiten Sie zwei der drei folgenden Aufgaben! Sätze aus der Vorlesung und den Übungen dürfen Sie ohne Beweis verwenden; die Verwendung sollte aber erwähnt werden. Aufgabe 1 (Baumdiagramm, Rückwärtsschließen, Formel von Bayes) Viele Jugendliche ohne Hauptschulabschluss. Von den Jugendlichen, die Ende des Schuljahres 2011 die Haupt bzw. Realschule mit oder ohne Abschluss verließen, waren 4, % weiblich und 5, 7% männlich. Ohne schulischen Abschluss blieben dabei rd. 7, % der Abgängerinnen und rd. 10% der Abgänger. Zahlen gemäß Statistischem Bundesamt, Wiesbaden 201 (a) Erstellen Sie dazu ein Baumdiagramm und eine Vierfeldertafel! Berechnen Sie dann rückwärts die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass eine aus den Absolventen mit Abschluss zufällig herausgegriffene Person weiblich ist. (Dabei dürfen Sie hier die relativen Häufigkeiten als die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten nehmen.) (b) Berechnen Sie p erneut, diesmal mithilfe der Formel von Bayes! Aufgabe 2 (Satz von de Moivre Laplace) (i) Wie groß ist näherungsweise die Wahrscheinlichkeit w, bei 00 Würfen mit einem idealen Würfel zwischen 80 und 100-mal (einschließlich dieser Grenzen) eine Sechs zu erhalten? (ii) Wie lautet die genaue (nicht approximierte) Formel für w (ohne Ausrechnen der einzelnen Terme)? Hinweise zu (i): (1) Sie dürfen den Satz von de Moivre-Laplace ohne Stetigkeitskorrektur verwenden. (2) Es gilt Φ(2, 19089) 0, 9857, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung bezeichnet.

2 Aufgabe (Konfidenzintervall) Über eine Zufallsvariable X sei bekannt, dass sie normalverteilt ist. (i) Finden Sie ein Konfidenzintervall für M = E(X) zum Fehlerniveau α = 1 γ 0, 05, wenn das Stichprobenmittel aus n = 100 unabhängigen Proben gleich 0, 4 ist und die empirische Standardabweichung s = 1 ist! (ii) Wie groß muss n sein, damit das Konfidenzintervall zum Fehlerniveau α 0, 05 um das Stichprobenmittel x höchstens die Länge 0, 09 hat, wenn die Streuung σ(x) = 1 bekannt ist. Hinweis: Φ(1, 9) 0,

3 Lösungsskizze zu Aufgabe 1: (a) Aus den Angaben erhält man folgendes Baumdiagramm (mit w ˆ= weiblich, m ˆ= männlich, j ˆ= mit Abschluss, n ˆ= ohne Abschluss): % Die Wahrscheinlichkeit der Pfade (des Aufretens beider Merkmalausprägungen) liefern die Einträge in die Vierfeldertafel: Abschl. ja Abschl. nein gesamt Gechlecht w 42,8,5 4, Geschlecht m 48, 5,4 5,7 gesamt 91,1 8,9 100 Somit erhält man als umgekehrtes Baumdiagramm:

4 Es folgt, dass die gesuchte Wahrscheinlichkeit gleich ist. 42, 8 91, 1 47% (b) Alternativ berechnet man die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit aus P (w j) = P (w) P (j w) P (j) 0, 4 0, 924 0, , 48 = 0, 428 0, 911 0, 47. Lösungsskizze zu Aufgabe 2: (i) Sei X die Zufallsvariable, die zählt, wie oft die Sechs bei 00 Würfen auftritt. X ist dann (bei dieser Bernoullikette) binomialverteilt zu den Parametern n = 00 und p = 1. Man erhält den Erwartungswert E(X) = n p = 00 1 = 100 und die Streuung σ(x) = npq = =. Die standardisierte Zufallsvariable X / hat also Erwartungswert 0 und Varianz 1, was im Folgenden die Anwendung des Satzes von de Moivre-Laplace für die gesuchte Warscheinlickeit w ermöglicht: ( 20 w = P (80 X 100) = P X 100 ) 0 250/ 250/ ( Φ(0) Φ = Φ( 400 0, , 5. Also gilt : w 0, ) = 1 ( Φ ) 1 ( ) = Φ 4, ) = 1 [ ( 20 ) Φ 250 Φ(2, 19089) 0, 5

5 (ii) Da X eine nach B 00;1/ verteilte Zufallsgröße ist, folgt: w = P (80 X 100) = 100 k=80 ( ) 00 (1 k ( 5 k ) ) 00 k. Lösungsskizze zu Aufgabe : (i) Laut Übungsaufgabe 2 bzw. Vorlesungsteil (9.8) ist bei einer Normalverteilung mit bekannter Varianz σ 2 und unbekanntem M = E(X) ein γ Konfidenzintervall von der Form ( ) [ x c σ n ; x + c σ n mit c = Φ 1( γ + 1). 2 Da der Stichprobenumfang groß ist, kann man (wie in der Vorlesung und in Aufgabe W) die Streuung σ(x) durch die empirische Standardabweichung s, der Realisation der erwartungstreuen Schätzfunktion S der Streuung, ersetzen. Im vorliegenden Fall ist n = 100, x = 0, 4, s = 1 und γ = 1 α 0, 95 sowie c = Φ 1 (1, 95/2) = Φ 1 (0, 975) 1, 9, also c σ n 1, 9 40 = 0, 049. Man erhält damit als γ Konfidenzintervall [ 0, ; 0, 4 + 0, 049 = [ 0, 81 ; 0, 479. (ii) Nach ( ) ist die Länge des Konfidenzintervalls gleich 2 c σ n. Es muss 1 hier also 2 1, 9 n 0, 09 sein, d.h. n ( 2 1, 9 ) 2 4, , 09. 0, 09 Die Stichprobe muss also mindestens den Umfang n = 1898 haben. 5