Klausur zur Mathematik für Biologen

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1 Mathematisches Institut der Heinrich-Heine-Universität DÜSSELDORF WS 2002/ (1) Prof. Dr. A. Janssen / Dr. H. Weisshaupt Klausur zur Mathematik für Biologen Bitte füllen Sie das Deckblatt in Druckschrift aus! Name: Vorname: Geburtsdatum: Geburtsort: Matrikelnummer: Fachsemester: Die Klausur umfasst 6 Aufgaben mit gleicher Punktzahl. Davon werden die 5 Aufgaben gewertet, in denen Sie die meisten Punkte erreicht haben. Tipp: Bearbeiten Sie 5 Aufgaben mit großer Sorgfalt! Prüfen Sie Ihre Klausur auf Vollständigkeit. Die Klausur enthält 6 Aufgaben, einige Blätter für weitere Rechnungen und 2 Tabellen. Aufgabe: Ergebnis: Summe der 5 besten Aufgaben: Note:

2 Aufgabe 1: Bestimmen Sie die erste und die zweite Ableitung folgender Funktionen f: a) f(x) = x e x2 2 b) f(x) = 2x 1+x 2 (1 Punkt) (1 Punkt) c) Gegeben seien n Datenpaare (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ) in R 2, wobei die y-werte mit Fehlern behaftet sind. Passen Sie eine Gerade y = x + a mit einer gegebenen Steigung 1 und einem unbekannten Parameter a R mit Hilfe der Methode der kleinsten Fehlerquadrate an die Daten an. Minimieren Sie dazu die Summe der Fehlerquadrate a n (y i (x i + a)) 2 i=1 und geben Sie den kleinste Quadrate Schätzer â für den Parameter a an. (3 Punkte) d) Welchen Schätzwert â erhalten Sie für die folgenden vier Datenpaare: (x 1, y 1 ) = (1, 0), (x 2, y 2 ) = (3, 3), (x 3, y 3 ) = (5, 4), (x 4, y 4 ) = (8, 6). (1 Punkt)

3 Aufgabe 2: Betrachten Sie für ein Chromosom ein Teilstück der DNA, das aus n 1 = 500 Positionen besteht. Es sei bekannt, dass an einer Position eine Mutation mit Wahrscheinlichkeit p 1 = auftritt und die einzelnen Positionen unabhängig voneinander mutieren. Sei X 1 die Anzahl der mutierten Positionen in dem Stück DNA. Ein anderes Stück DNA eines anderen Chromosoms besitze n 2 = 750 Positionen und die Mutationswahrscheinlichkeit p 2 = pro Position. Die Zufallsvariable X 2 bezeichne die Anzahl der hier auftretenden Mutationen. Sie kann als unabhängig von X 1 angesehen werden. Sei X = X 1 + X 2 die Anzahl aller Mutationen. Begründen Sie alle Rechenschritte für die Lösung folgender Aufgaben: a) Bestimmen Sie E(X). (1 Punkt) b) Geben Sie die Varianz V ar(x) als gekürzten Bruch an. (2 Punkte) c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis {X = 0} = {X 1 = 0} {X 2 = 0} keine Mutation liegt vor? (1,5 Punkte) d) Berechnen Sie approximativ die Wahrscheinlichkeit für {X = 0} mithilfe des Poissonschen Grenzwertsatzes. (Explizite Zahlenwerte sind hier nicht erforderlich.) (1,5 Punkte)

4 Aufgabe 3: Gleich nach dem Schlüpfen werden Küken für die Aufzucht als Legehennen bzw. Masthähnchen sortiert. Mit Wahrscheinlichkeit 0,01 werden weibliche Küken falsch sortiert. Männliche Küken werden fälschlicherweise mit Wahrscheinlichkeit 0,11 als weiblich für die Aufzucht klassifiziert. Mit Wahrscheinlichkeit 1 2 ist ein geschlüpftes Küken weiblich. Die Ereignisse A und B seien wie folgt festgelegt: A : ein Küken wird für die Aufzucht als Legehenne aussortiert, B : das Küken ist weiblich. a) Geben Sie die folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten an: P (A c B), P (A c B c ), P (A B), P (A B c ) (2 Punkte) b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zur Aufzucht als Legehenne sortiertes Küken männlich ist? (2 Punkte) c) Wie groß ist approximativ die Wahrscheinlichkeit, dass sich nach dem Sortieren unter n = als weiblich deklarierte Küken nicht mehr als 955 Hähne befinden? (Bei hohen Fallzahlen ist eine Stetigkeitskorrektur nicht erforderlich.) (2 Punkte) Hinweis: Eine Normalverteilungstabelle ist beigefügt.

5 Aufgabe 4: Seien X 1,..., X n unabhängige Zufallsvariablen mit einer geometrischen Verteilung zum Parameter p Θ = (0, 1). Für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse {X 1 = k} gilt dann: P ({X 1 = k}) = (1 p) k 1 p, k N. Schätzen Sie den Parameter p aufgrund von Realisierungen k 1,..., k n von X 1,..., X n unter Verwendung der ML-Methode. a) Bestimmen Sie die Likelihood-Funktion. (2 Punkte) b) Geben Sie den ML-Schätzer in Abhängigkeit vom Datensatz k 1,... k n an. (3 Punkte) c) Was ist für p = 0, 1 größer, P ({X 1 = 9}) oder P ({X 1 = 11})? (1 Punkt)

6 Aufgabe 5: Ein neuentwickeltes Pflanzenschutzmittel wird an n = 150 Pflanzen erprobt. Gehen Sie davon aus, dass die Pflanzen unabhängig voneinander mit Wahrscheinlichkeit p mit Nebenwirkungen reagieren. Die Zufallsvariable X gebe die Anzahl der Pflanzen an, bei denen eine Nebenwirkung festgestellt wird. Die Hypothese H 0 : {p 0.06} soll zum Niveau α = 0.01 gegen die Alternative H 1 : {p < 0.06} mithilfe eines Binomialtests überprüft werden. a) Geben Sie die genaue Testvorschrift und die effektive Irrtumswahrscheinlichkeit für p 0 = 0.06 an. (3 Punkte) b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Hypothese verworfen wird, wenn die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Nebenwirkung p = 0.08 ist. (2 Punkte) c) Welche Entscheidung ist zu treffen, wenn vier Pflanzen mit Nebenwirkungen reagieren. (1 Punkt) Hinweis: Eine Tabelle der B(150, p) Verteilungen ist beigefügt.

7 Aufgabe 6. Kreuzen Sie bitte jeweils eine Antwort an. Nebenrechnungen werden hier nicht bewertet. Für jede richtige Antwort erhalten Sie 1 Punkt, jede falsche Antwort wird mit einem Punktabzug von 3 2 Punkten bewertet. (1) Bruder Leichtsinn kreuzt aus Zeitmangel diese 6 Antworten zufällig an und erhält sechsmal jeweils 1 Punkt für eine richtige bzw. 3 2 Punkte für eine falsche Antwort. X bezeichne die Summe seiner Punkte aus dieser Aufgabe. Dann ist E(X) = (2) Eine differenzierbare Funktion f hat in einem Punkt x o die Ableitungen f (x 0 ) = f (x 0 ) = 0. Besitzt f dann bereits ein lokales Extremum in x 0? ja nein (3) Für Daten x 1,..., x n und n 2 sei die empirische Varianz s 2 n = 0. Dann sind möglicherweise zwei der Daten x 1,..., x n verschieden. ja nein (4) In anderen Ländern gibt es ein Zahlenlotto 5 aus 48. Ist dort die Gewinnchance für einen vollständig richtigen Tipp (Hauptgewinn) mehr als doppelt so groß wie beim hiesigen Zahlenlotto 6 aus 49? ja nein (5) Das Hardy-Weinberg Gleichgewicht stellt sich schon nach der ersten Nachkommengeneration ein und ändert sich dann nicht mehr. ja nein (6) Beim Studentischen t-test für das Testen des Erwartungswertes bei normalverteilten Variablen hängt der kritische Wert des Tests von der Varianz σ 2 der Normalverteilungen ab. ja nein Punkte: Sollten sich in der Summe negative Punkte ergeben, so wird die Punktzahl dieser Aufgaben auf 0 gesetzt.

8 Weitere Rechnungen Aufgabe...

9 Weitere Rechnungen Aufgabe...

10 Weitere Rechnungen Aufgabe...