0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

Transkript

1 Aufgabe 1 ( Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x = 1, y = x = 2, y = 2 0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 f(y) = 0.5 y = 2 0 sonst. b) Berechnen Sie den Erwartungswert E(X Y ). E(X Y ) = = 1.9 c) Wie lautet die bedingte Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x Y = 2)? 0.45 = 0.9 x = f(x Y = 2) = = 0.1 x = sonst. d) Sind X und Y stochastisch unabhängig? (Begründung!) Nein, da f(x Y ) f(x).

2 Aufgabe 2 ( Punkte) Nehmen Sie begründet (!) Stellung zu folgenden Aussagen: a) Der Erwartungswert einer Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Erwartungswerte der Zufallsvariablen. Stimmt, da gilt: E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). b) Die Varianz einer Summe von Zufallsvariablen ist gleich der Summe der Varianzen der Zufallsvariablen. Stimmt nur bei Unkorrliertheit, da allgemein gilt: var(x + Y ) = var(x) + var(y ) + 2cov(X, Y ). c) Wenn zwei Zufallsvariablen unkorreliert sind, so sind sie auch stochastisch unabhängig. Stimmt im Allgemeinen nicht, da stochastische Unabhängigkeit ein allgemeineres Konzept als Unkorrelliertheit ist und diese als Spezialfall einschließt.

3 Aufgabe 3 (4 + 1 Punkte) Die Zufallsvariable X sei exponentialverteilt mit unbekanntem Parameter λ. Ihnen liegt folgende Stichprobe der Länge n = 5 vor: i x i a) Leiten Sie den Momentenschätzer für λ her und zeigen Sie dessen Erwartungstreue. Aus E(X) =! x und λ = 1/E(X) folgt, dass der Momentenschätzer für λ: ˆλ = 1 x = n n i=1 x i Erwartungstreue: n E(ˆλ) = E( ) = n n i=1 x 1 = n 1 n i i=1 E(x i) n 1 λ = λ b) Welchen Wert nimmt der Schätzer für die gegebene Stichprobe an? ˆλ = =

4 Aufgabe 4 (4 + 4 Punkte) Bezeichne X eine mit (µ X, σx 2 ) normalverteilte Zufallsvariable. Eine Stichprobe vom Umfang n = 300 liefert x = 12.3 und s = Berechnen Sie das 95% Konfidenzintervall für den Mittelwert. Erläutern Sie dabei die Vorgehensweise. Es wird das Konfidenzintervall für den Mittelwert bei unbekannter Varianz verwendet. Die t-verteilung wird hierbei durch die Standardnormalverteilung approximiert, da die t-verteilung für einen Stichprobenumfang dieser Größe nicht in den Tabellen ist. [ x z(1 0.05/2)s / n; x + z(1 0.05/2)s / n] = [ ; ] = [11.99; 12.60] 2. Berechnen Sie das 90% Konfidenzintervall für die Varianz. Approximation durch die Normalverteilung: (χ 2 n 1) 1 (α/2) Φ 1 (α/2) 2(n 1)+ (n 1) = Φ 1 (0.05) 2(300 1) + (300 1) = (χ 2 n 1) 1 (1 α/2) Φ 1 (1 α/2) 2(n 1) + (n 1) = Φ 1 (0.95) 2(300 1) + (300 1) = (n 1)s [ 2 ]; (n 1))s 2 ] = [ ; ] = [6.43; 8.42] Φ 1 (1 α/2) 2(n 1)+(n 1 Φ 1 (α/2) 2(n 1)+(n 1)

5 Aufgabe 5 ( Punkte) Es wird die Zufallsvariable X betrachtet. X sei normalverteilt mit Mittelwert µ X und Varianz σx 2. Eine stochastisch unabhängig, identisch verteilte Stichprobe der Länge n = 8 ergibt folgende Daten: i x i a) Berechnen Sie den Stichprobenmittelwert x und die Stichprobenvarianz s 2 X. x = 1 8 n i=1 x i = x 2 = 1 8 n i=1 x2 i = s 2 X = n ( x n 1 2 x 2 ) = b) Wie und mit welchen Parametern ist der Stichprobenmittelwert verteilt? X N(µ X, σ2 X n ) c) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwertes zu α = 0.1. [ x T7 1 (1 0.1/2)s / n; x + T7 1 (1 0.1/2)s / n] = [ ; ] = [19.48; 29.70] d) Wie könnten Sie Teilaufgabe c) lösen, wenn Sie nicht wissen, dass X normalverteilt ist, dafür aber die bekannt ist, dass σx 2 = 50? (Nur Idee, keine Rechnung) Tschebycheff-Ungleichung e) Bestimmen Sie das Konfidenzintervall der Varianz zu α = (n 1)s [ 2 ; (n 1)s 2 (χ 2 n 1 ) 1 (1 α/2) [ ; ] = (χ 2 n 1 ) 1 (α/2) ] = [25.43; ]

6 Aufgabe 6 ( Punkte) Zwei Läufer A und B laufen im Rahmen ihrer Marathonvorbereitung innerhalb einer Woche jeweils 5 Trainingseinheiten von je 20km. Bezeichne X die Zeit in Stunden pro 20km von A und Y die Zeit in Stunden pro 20km von B. Seien X und Y weiterhin normalverteilt mit (µ X, σx 2 ) bzw. (µ Y, σy 2 ). Die Leistungen von A und B sind durch die folgenden stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Stichproben gegeben: i x i y i Daraus berechnen sich x = 2.4 und s 2 X = a) Berechnen Sie von B das Stichprobenmittel ȳ und die Stichprobenvarianz s 2 Y ȳ = 2.58 ȳ 2 = s 2 Y = 5 4 (ȳ2 ȳ 2 ) = b) Sportler A vermutet, dass er im Durchschnitt eine bessere Leistung als 2.5 Stunden erbringt. Testen Sie mit α = 0.05 folgendes Hypothesenpaar: H 0 : Durchschnittszeit von A größer gleich 2.5 Stunden gegen H 1 : Durchschnittszeit von A kleiner als 2.5 Stunden Teststatistik: T S = x µ 0 σ n = = Kritische Schranke: k = Tn 1(0.05) = Testentscheidung: H 0 kann mit α = 0.05 nicht abgelehnt werden, da c) Ab welcher Irrtumswahrscheinlichkeit würde sich Ihre Testentscheidung aus b) ändern? (Begründung, ungefährer Wert ausreichend) Damit H 0 abgelehnt wird, muss der Wert des t-quantils größer als Dies ist in den Tabellen ab 30% der Fall (exakter Wert: ) d) Sportler A vermutet weiterhin, dass er im Durchschnitt eine ähnliche Leistung wie B erbringt. Gehen Sie davon aus, dass σx 2 = σ2 Y gilt. Testen Sie mit α = 0.01 folgendes Hypothesenpaar: H 0 : Durchschnittszeit von A gleich Durchschnittszeit von B gegen H 1 : Durchschnittszeit von A ungleich der Durchschnittszeit von B x ȳ (µ 0 X µ0 Y Teststatistik: nx + n ( Y 2 = = )(n n X n X s 2 Y X +n Y s 2 Y ) Kritische Schranke: k = T5+5 2(0.995) 1 = Testentscheidung: H 0 kann mit α = 0.01 nicht abgelehnt werden, da

7 Aufgabe 7 (8 + 2 Punkte) In einem Callcenter wird die Wartezeit zwischen zwei Anrufen gemessen. Man erhält folgende Stichprobe vom Umfang n = 100: Wartezeit (in Minuten) [0; 0.5) [0.5; 1) [1; 2) [2; ) Anzahl a) Testen Sie mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von α = 0.1 folgendes Hypothesenpaar: H 0 : Die Wartezeit ist exponentialverteilt mit λ = 1.5 gegen H 1 : Die Wartezeit ist nicht exponentialverteilt mit λ = 1.5. Wartezeit (in Minuten) [0; 0.5) [0.5; 1) [1; 2) [2; ) Anzahl P 0 ( ) K = 4 (N i q i ) 2 i=1 qi 2 = ( ) ( ) = k = (χ 2 3) 1 (0.9) = Die Nullhypothese kann mit α = 0.1 abgelehnt werden, da K = 10.8 > k = b) Was versteht man unter den Fehler erster und zweiter Art? Unter Fehler erster Art versteht man die Ablehnung der Nullhypothese, obwohl diese zutrifft. Unter Fehler zweiter Art versteht man die Nichtablehnung der Nullhypothese, obwohl diese nicht zutrifft.

8 Aufgabe 8 (6 + 4 Punkte) Ein Kellner in einem Restaurant erhält Trinkgeldbeträge in unterschiedlicher Höhe. Er vermutet einen Zusammenhang zum Rechnungsbetrag. In folgender Tabelle sind Trinkgelder y i und Rechnungsbeträge x i (jeweils in Euro) von 6 Gästen dargestellt: Gast i Rechnungsbetrag x i Trinkgeld y i Daraus werden folgende Statistiken berechnet: 6 x 2 i = 2264, i=1 6 yi 2 = 39.82, i=1 6 x i y i = i=1 Unterstellen Sie das lineare Regressionsmodell: Y i = a + bx i + U i mit stochastisch unabhängig, identisch normalverteilten Zufallsvariablen U i mit Erwartungswert E(U i ) = 0 und Varianz σ 2 U. a) Bestimmen Sie unverzerrte Schätzer â, ˆb und ˆσ 2 u für a, b und σ 2 U. x = i=1 x i = 19.2 ȳ = i=1 y i = 2.47 x 2 = i=1 x2 i = ȳ 2 = i=1 y2 i = 6.64 s 2 X = x 2 x 2 = 8.69 s 2 y = ȳ2 ȳ 2 = xy = i=1 x iy i = s XY = xy x ȳ = = ˆb = s XY = = s 2 X 8.69 â = ȳ ˆb x = = ˆσ U 2 = n n 2 (s2 Y ˆbs XY ) = 6 ( ) = b) Testen Sie mit einer Fehlerwahrscheinlichkeit von α = 0.01 folgende Hypothesen: H 0 : a 1 gegen H 1 : a < 1. var(â) ˆ = ˆσ2 U (s 2 ns 2 X + x2 ) = ( X ) = Teststatistik: T S = â a 0 = ˆσâ = Kritische Schranke: k = T4 1 (0.01) = 3.75 Die Nullhypothese kann mit α = 0.01 nicht abgelehnt werden, da