1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren

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1 Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren Erwartungswert und Kovarianzmatrix von Zufallsvektoren. Definition Ist X X,...,X p ein p-dimensionaler Zufallsvektor mit E X j < für alle j, so heißt EX : EX,...,EX p Erwartungswert oder Erwartungswertvektor von X. Gilt EXj < für alle j, so heißt die p p-matrix ΣX : CovX j,x k j,k p die Varianz-Kovarianzmatrix oder einfach Kovarianzmatrix von X.. Satz Erwartungswert bzw. Kovarianzmatrix besitzen folgende Eigenschaften: a Definiert man als Erwartungswert einer Matrix von Zufallsvariablen die Matrix der Erwartungswerte, so ist ΣX E X EX X EX E X X EX EX. b Ist A eine s p-matrix und b R s, so gilt EAX + b AEX + b und ΣAX + b AΣXA. c ΣX ist symmetrisch und positiv semidefinit. Beweis: Teil a und die erste Aussage in b ergeben sich unmittelbar durch komponentenweises Lesen. Aus Σ AX + b E AX + b EAX + b AX + b EAX + b E AX EX AX EX folgt die zweite Aussage in b. E AX EX X EX A Offensichtlich ist ΣX symmetrisch. Nach Teil b gilt für einen beliebigen Vektor c R p : c ΣXc Σc X V arc X 0. Dies ist gleichbedeutend mit der positiven Semidefinitheit von ΣX.

2 Die multivariate Normalverteilung Die multivariate Normalverteilung Es sei X,...,X p iid N0,. Die gemeinsame Dichte von X X,...,X p ist f X x f Xj x j exp π p/ π. x x exp p/ x x p Man sagt, X habe eine p-dimensionale Standardnormalverteilung. Dabei gilt EX 0,...,0 und ΣX I p. Die charakteristische Funktion von X ist ϕ X t E e it X E e it jx j ϕ Xj t j exp t j exp t, t R p.. Definition Sei A eine p p-matrix und µ R p. Definiert man mit einem p- dimensional standardnormalverteilten Zufallsvektor X Y µ + AX, so hat Y nach Satz. b Erwartungswert µ und Kovarianzmatrix C AA. Die charakteristische Funktion von Y ist ϕ Y t ϕ AX+µ t e it µ ϕ X A t e it µ exp A t e it µ exp t Ct. Die charakteristische Funktion von Y hängt nur von µ und C, nicht aber von der speziellen Form der Matrix A ab. Nach dem Satz von Radon-Herglotz-Cramér-Wold gilt dies dann auch für die Verteilung von Y. Diese eindeutig bestimmte Verteilung nennt man p-dimensionale Normalverteilung mit Erwartungswertvektor µ und Kovarianzmatrix C und bezeichnet sie mit N p µ,c oder einfach Nµ,C, wenn die Dimension fest ist. Ist C positiv definit dies gilt, falls C oder gleichbedeutend A existieren, so kann man mit Hilfe des Transformationssatzes für Dichten zeigen, dass die Dichte von Y durch f Y y exp π p/ detc / y µ C y µ, y R p,

3 Die multivariate Normalverteilung gegeben ist. Ist dagegen A nicht invertierbar, so existiert keine gemeinsame Dichte von Y ; in diesem Fall ist Y ist mit Wahrscheinlichkeit auf einer Hyperebene im R p der Dimension r RangC < p definiert.. Satz Der p-dimensionale Zufallsvektor Y ist genau dann p-dimensional normalverteilt, wenn a Y für jedes a R p eindimensional normalverteilt ist. Dabei wird eine Einpunktverteilung als ausgeartete Normalverteilung mit Varianz 0 aufgefasst. Beweis: i Es gelte Y N p µ,c. Unter Verwendung von ist die charakteristische Funktion von a Y gegeben durch ϕ a Y t ϕ Y t a exp ita µ t a Ca, t R. Dies ist die charakteristische Funktion einer eindimensionalen Na µ,a Ca-Verteilung. ii Sind umgekehrt alle a Y normalverteilt, so folgt mit µ : EY und C : ΣY Ea Y a µ und V ara Y a Ca. Somit besitzt Y die charakteristische Funktion ϕ Y a ϕ a Y exp ia µ a Ca, a R p. Also ist Y N p µ,c-verteilt..3 Satz Y Y,...,Y p sei N p µ,c-verteilt. a Ist B eine q p-matrix und b R q, so gilt BY + b N q Bµ + b,bcb. b Y,...,Y p sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn C c ij eine Diagonalmatrix ist, d.h. wenn c ij 0 für alle i j gilt. 3

4 Die multivariate Normalverteilung Beweis: a Für jedes a R q ist a BY + b B a Y + a b nach Satz. eindimensional normalverteilt, woraus aus demselben Satz folgt, dass BY + b q-dimensional normalverteilt ist. Erwartungswert und Kovarianzmatrix ergeben sich aus Satz.. b Aus der Unabhängigkeit folgt die Unkorreliertheit der Randverteilungen, zu zeigen bleibt die Umkehrung. Ist C diagc,...,c pp, so erhält man als charakteristische Funktion ϕ Y t exp it µ exp t Ct exp it j µ j exp c jjt j ϕ Yj t j. Dies ist aber die zur gemeinsamen Verteilung von p unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen gehörende charakteristische Funktion; aus dem Eindeutigkeitssatz für charakteristische Funktionen folgt somit die Behauptung..4 Bemerkung Der Zufallsvektor Y Y,...,Y r,y r+,...,y r+s mit r + s p sei p-dimensional normalverteilt. Ähnlich wie in Satz.3 läßt sich dann zeigen: Y,...,Y r und Y r+,...,y r+s sind genau dann unabhängig, falls CovY j,y k 0 gilt für alle j,...,r und k r +,...,r + s gilt..5 Folgerung a Ist Y N p µ,c-verteilt, so besitzt jede Auswahl Y i,...,y ik von Y eine multivariate Normalverteilung. Bezeichnet σi das i-te Diagonalelement von C, so gilt insbesondere Y i Nµ i,σi. b Sind X und Y stochastisch unabhängig mit X N p µ,c und Y N p ν,t, so gilt: X + Y N p µ + ν,c + T. 4

5 3 Der multivariate Zentrale Grenzwertsatz Beweis: Teil a ergibt sich, indem man die Matrix B in Satz.3 a geeignet wählt. Nach Bemerkung.4 gilt für die gemeinsame Verteilung von X und Y X µ C 0 N p,. Y ν 0 T Die Behauptung folgt nun wiederum aus Satz.3 a, wenn man dort B I p,i p R p p und b 0 wählt. 3 Der multivariate Zentrale Grenzwertsatz Im R p kann die Verteilungskonvergenz wie im Eindimensionalen definiert werden: Sind X,X,X,... p-dimensionale Zufallsvektoren mit Verteilungsfunktionen F,F,F,..., so konvergiert die Folge X n n in Verteilung schwach gegen X, falls lim F nx Fx n für jede Stetigkeitsstelle x von F gilt. Man schreibt wieder X n D X. 3. Satz Sei X n eine Folge unabhängiger und identisch verteilter p-dimensionaler Zufallsvektoren mit E X <. Bezeichnen µ EX den Erwartungswert und C ΣX die Kovarianzmatrix von X, so gilt n X j nµ n D N p 0,C. 5