4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1

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Marielies Färber
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1 4 Absolutstetige Verteilungen und Zufallsvariablen 215/1

2 23. Bemerkung Integralbegriffe für Funktionen f : R d R (i) Lebesgue-Integral (Vorlesung Analysis IV). Spezialfall: (ii) Uneigentliches Riemann-Integral (Walther, Analysis II, Springer, 1990, 7.20). Spezialfall: Für abgeschlossene Intervalle B i R und B := B 1 B d R d sei f B stetig. Setze B (K) := B [ K, K] d. Falls sup K N B f(x) dx < (K), so gilt f(x) dx = lim f(x) dx. B K } B (K) {{} Berechnung als iteriertes Integral 216/1

3 24. Definition f : R d R + Wahrscheinlichkeitsdichte, kurz Dichte, falls f (Lebesgue)-integrierbar mit R d f(x) dx = Satz Jede Dichte f definiert durch P (A) := ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf B d. A f(x) dx, A B d, Vgl. Satz III.3 über Wahrscheinlichkeitsfunktionen. Ausblick: singuläre Verteilungen, ÜBUNG. 217/1

4 Beweis von Satz 25. Klar: P 0 und P (R d ) = 1. Für A 1, A 2,... B d p.d. und A := i=1 A i gilt P (A) = 1 A (x) f(x) dx = 1 Ai (x) f(x) dx R d R d i=1 = 1 Ai (x) f(x) dx = P (A i ) R d i=1 i=1 aufgrund des Satzes von der monotonen Konvergenz. 218/1

5 Zur Eindeutigkeit von Dichten: 26. Lemma Seien f, g : R d R integrierbar. Dann sind äquivalent: (i) A B d : f(x) dx = A (ii) λ d ({x R d : f(x) g(x)}) = 0 A g(x) dx Beweis. Folgt aus Meintrup, Schäffler (2005, Satz 2.15). 219/1

6 Im folgenden: X = (X 1,..., X d ) d-dimensionaler Zufallsvektor auf (Ω, A, P ). 27. Definition X absolutstetig verteilt, falls P X eine Dichte besitzt. Diese wird ggf. mit f X bezeichnet. Nun: Modellierung von Verteilungen durch Vorgabe ihrer Dichten. 220/1

7 28. Definition Sei B B d mit Lebesgue-Maß (Länge, Flächeninhalt, Volumen) λ d (B) ]0, [. Zufallsvektor (bzw. -variable) X mit Dichte heißt gleichverteilt auf B. Bez.: X U(B). f X (x) = 1 λ d (B) 1 B(x) 29. Bemerkung Für X U(B) und A B d : P X (A) = 1 λ d (B) 1 B (x) dx = λ d(a B) λ d (B) A 221/1

8 30. Beispiel Dichte und Verteilungsfunktion von X U([a, b]) mit a < b: 1 b a, falls x [a, b] f X (x) = F X (x) = Vgl. Definition IV.25. 0, sonst 0, falls x < a x a b a, falls x [a, b] 1, sonst 222/1

9 31. Beispiel X U(B) zur Modellierung von Pfeiltreffer auf Dartscheibe, Glücksrad. Anwendung: Zufallszahlen und stochastische Simulation, siehe Kapitel IV. 223/1

10 32. Definition Zufallsvariable X mit Dichte f X (x) = λ exp( λx), falls x 0 0, sonst für λ > 0 heißt exponentialverteilt mit Parameter λ. Bez.: X Exp(λ) 33. Bemerkung Für X Exp(λ) und x > 0: F X (x) = λ x 0 exp( λy) dy = 1 exp( λx) Klar: F X (x) = 0, falls x /1

11 34. Beispiel Dichten exponentialverteilter ZVen Exp(0.5) Exp(2) /1

12 35. Beispiel Verteilungsfunktionen exponentialverteilter ZVen Exp(0.5) Exp(2) /1

13 36. Satz Charakterisierung der Exp verteilung durch Gedächtnislosigkeit Für ZV X mit P ({X > 0}) = 1 und t > 0 : P ({X > t}) > 0 sind äquivalent: (i) λ > 0 : X Exp(λ) (ii) s, t > 0 : P ({X > t + s} {X > t}) = P ({X > s}) Beweis. ÜBUNG Vgl. ÜBUNG M:H13 und WInf:H /1

14 37. Beispiel X Exp(λ) zur Modellierung von Lebensdauern, Wartezeiten. Hier: radioaktiver Zerfall, X Zerfallszeitpunkt. Halbwertszeit h > 0 definiert als Median, P ({X h}) = 1 2. Man erhält h = ln(2)/λ. 228/1

15 38. Beispiel (X i ) i N iid, X 1 Exp(λ) mit unbekanntem λ > 0. Problem: Schätze λ bzw. h = ln(2)/λ. Gem. Kap. IV.9 gilt fast sicher lim n 1 n n i=1 1 ],h] (X i ) = 1 2. Auf Basis von Realisierungen x i = X i (ω) schätzt man h durch den Median der empirischen Verteilungsfunktion (empirischer Median). Siehe Beispiel IV.24. Warnung. 229/1

16 39. Lemma Für µ R und σ > 0 gilt ) (x µ)2 exp ( dx = 2πσ 2σ /1

17 Beweis. OBdA µ = 0 und σ = 1 (Substitutionsregel). Es gilt: ( ) ) 2 exp ( x2 dx 2 = exp ( x2 + y 2 ) d(x, y) R 2 2 2π ) = exp ( r2 r dr dϕ ( )) = 2π exp ( r2 2 = 2π 0 231/1

18 40. Definition Zufallsvariable X mit Dichte f X (x) = ( 1 exp (x µ)2 2πσ 2 2σ 2 für µ R und σ > 0 heißt normalverteilt mit Parametern µ und σ 2. Bez.: X N(µ, σ 2 ) Standard-Normalverteilung als Spezialfall: µ = 0 und σ = 1. ) 232/1

19 41. Beispiel Dichten normalverteilter ZVen N(0,1) N(2,2) /1

20 42. Beispiel Verteilungsfunktionen normalverteilter ZVen N(0,1) N(2,2) /1

21 43. Beispiel X N(µ, σ 2 ) zur Modellierung (Meß)Fehlern. Siehe auch Kap. VI Bemerkung Keine explizite Formel für Verteilungsfunktion F X, falls X N(µ, σ 2 ). Bez.: Φ = F X, falls X N(0, 1), also Φ(x) = 1 2π x exp ( y2 2 ) dy. Zur Berechnung von Φ und entsprechender Quantile: Numerik, Tabellen, Plots. 235/1

22 Nun speziell: mehrdimensionale Dichten. Analytisches Hilfsmittel: Satz von Fubini. 45. Lemma Falls f X Dichte von P X, so besitzt P Xi die Dichte f Xi (x i ) = f X (x 1, x i, x 2 ) d(x 1, x 2 ) R d 1 mit x 1 = (x 1,..., x i 1 ), x 2 = (x i+1,..., x d ). 236/1

23 Beweis. Für A i B 1 sei A := R i 1 A i R d i. Dann P ({X i A i }) = P ({X A}) = f X (x) dx A = f X (x 1,..., x d ) dx d... dx 1 R R A i R R = f X (x 1, x i, x 2 ) d(x 1, x 2 ) dx i, A i R } d 1 {{} =:g(x i ) und g ist eine Dichte. 237/1

24 46. Beispiel Pfeiltreffer auf Dartscheibe. Hier f X (x 1, x 2 ) := 1 πr 2 1 K(x 1, x 2 ) mit K := {(x 1, x 2 ) R 2 : x x 2 2 r 2 } 238/1

25 Also für x 1 [ r, r] f X1 (x 1 ) = f X (x 1, x 2 ) dx 2 = 1 R πr 2 = 2 πr r 2 2 x 2 1 sowie f X1 (x 1 ) = 0, falls x 1 > r. Klar: r 2 x 2 1 r 2 x dx 2 f X1 = f X2 239/1

26 47. Definition Tensorprodukt f 1... f d : R d R von Abbildungen f i : R R definiert durch f 1... f d (x) := f 1 (x 1 )... f d (x d ). Vgl. Abschnitt III Lemma Falls f 1,..., f d Dichten auf R, so ist f 1... f d Dichte auf R d. Beweis. Klar. Vgl. Lemma III /1

27 49. Satz (i) Falls X 1,..., X d unabhängig mit Dichten f Xi, so besitzt X die Dichte (ii) Falls X die Dichte f X = f X1... f Xd. f X = f 1... f d mit eindimensionalen Dichten f i besitzt, so sind X 1,..., X d unabhängig mit Dichten f Xi = f i. 241/1

28 Beweis. Ad (i): Gemäß Satz 25 und Lemma 48 defi niert Q(A) := A f X1... f Xd (x) dx, A B d, ein W maß auf B d. Speziell für A := A 1 A d mit A i := ], b i ] d d P ({X A}) = P ({X i A i }) = f Xi (x i ) dx i A i Satz 9 zeigt P X = Q. i=1 =... A 1 A d i=1 d f Xi (x i ) dx d... dx 1 = Q(A). i=1 242/1

29 Ad (ii): Für A 1,..., A d B 1 und A := A 1 A d P ({X A}) = f X (x) dx = f 1 (x 1 ) dx 1 f d (x d ) dx d. A A 1 A d Insbesondere P ({X i A i }) = d.h. f i ist Dichte von X i, und weiter ( d ) P {X i A i } = i=1 f i (x i ) dx i, A i d P ({X i A i }). i=1 243/1

30 50. Bemerkung Mit Satz 49: Modellierung der unabhängigen Hintereinanderausführung von Einzelexperimenten, deren Verteilungen Dichten besitzen. 51. Beispiel Pfeiltreffer auf Dartscheibe, siehe Bsp. 46. Satz 49 zeigt: X 1, X 2 nicht unabhängig. 52. Definition d-dimensionaler Zufallsvektor X mit Dichte ( f X (x) = (2π) d/2 exp 1 2 heißt standard-normalverteilt (in R d ). d i=1 x 2 i ) 244/1

31 53. Beispiel Dichte einer 2-dim. normalverteilten ZV /1

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