Computational Finance

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1 Computational Finance Kapitel 2.1: Einführung in die Simulation Prof. Dr. Thorsten Poddig Lehrstuhl für Allgemeine Betriebswirtschaftslehre, insbes. Finanzwirtschaft Universität Bremen Hochschulring 4 / WiWi-Gebäude Bremen poddig@uni-bremen.de 1

2 Gliederung: 2.1. Einführung Finanzmarktentwicklungen Random-Walk Modell Generierung von Random-Walks Simulationsmöglichkeiten mit Excel Simulationsmöglichkeiten mit Matlab Fallstudie: Der Cost-Average-Effekt 2

3 Jan96 Jul96 Jan97 Jul97 Jan98 Jul98 Jan99 Jul99 Jan00 Jul00 Jan01 Jul01 Jan02 Jul02 Jan03 Jul03 Jan04 Jul04 Jan05 Jul05 Simulation Kapitel Finanzmarktentwicklungen Euro Stoxx , , , , , ,00 0,00 Datum 3

4 Häufigkeit Simulation Kapitel 2.1 Renditeverteilung Histogramm Häufigkeit ,2-0,15-0,1-0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2 Klasse 4

5 Beobachtungen: Renditen sind nicht normalverteilt Schiefe (linksschief, rechtssteil) Steilgipflig (hohe Wölbung ) aber vereinfachende Annahme für den Einstieg: Normalverteilung! 5

6 Random-Walk Modell Zahllose denkbare Renditegenerierungsprozesse. Einfaches Standardmodell: Random-Walk. Annahme: Effizienter Markt. Kursänderungen erfolgen nur aufgrund unerwarteter Neuigkeiten. Diese sind definitionsgemäß zufällig. 6

7 Einfacher Simulationsansatz: Random-Walk-Modell a) Random-Walk ohne Drift y 1 t y t t mit t standardnormalverteilte Zufallsvariable b) Random-Walk mit Drift mit y t y t 1 Driftkomponente t 7

8 Simulation Kapitel 2.1 Beispiel zweier Random-Walks ohne Drift Zwei Random-Walks Random-Walk 1 Random-Walk 2 8

9 Anwendung des Random-Walk Modells zur Generierung von künstlichen Finanzzeitreihen Annahme: ε t sei normalverteilte, stetige Rendite in der Periode t Dann ergibt sich der Kurs K t nach: (1) K t K 1 e t t Durch Logarithmierung erhält man: (2) ln( t ) ln( Kt 1) ln( e ) ln( Kt1) t K t 9

10 Generierung von Random-Walks Denkbare Werkzeuge: Tabellenkalkulationen (Excel, Gnumeric) Add-Ins für Tabellenkalkulationen (z.b. PopTools) Mathematisch-statistische Werkzeuge (Matlab, Octave) Programmierung (z.b. Pascal, C, C++, Java, ) 10

11 Simulationsmöglichkeiten mit Excel a) mit Hilfe der Excel-eigenen Möglichkeiten eingebaute Funktionen VBA-Analysefunktionen VBA-Programmierung b) mit Hilfe von Plug-Ins SimTools PopTools und andere c) mit Matlab-Unterstützung 11

12 Mit VBA-Analysefunktion 12

13 Mit eingebauten Funktionen 13

14 Allgemeine Vorgehensweise zur Erzeugung beliebig verteilter Zufallszahlen 1. Erzeugung gleichverteilter ZV im Intervall [0,1] 2. Berechnung der Inversen der Verteilungsfunktion 3. Skalierung der transformierten ZV Anmerkung: Schritte 2. und 3. in vorheriger Abbildung simultan erfolgt. 14

15 F(x) Simulation Kapitel 2.1 Visualisierung anhand der (Standard-) Normalverteilung F(x) 1 1. Schritt: Gl. ZV, z.b. 0,6 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 F(x) 0,2 0, x 2. Schritt: Berechnung der Inversen 3. Skalierung 15

16 zu Schritt 3: Skalierung Formel: nach Schritt 2 besitzt die ZV y noch nicht den gewünschten Mittelwert und Standardabweichung; Skalierung (Umrechnung) dann erforderlich, liefert x. (3) x y y y x x 16

17 Dabei bedeuten: y μ y σ y μ x σ x Erzeugte ZV beliebiger Verteilung (z.b. F-Verteilung) Theoretischer Mittelwert von y Theoretische Standardabweichung von y Gewünschter Mittelwert von x Gewünschte Standardabweichung von x 17

18 Beispiel einer reskalierten, F-verteilten ZV 18

19 Formeln für F-verteilte Zufallsvariablen: Ist X ~ F m,n verteilt, so gilt für Erwartungswert und Varianz: (4) E( X ) n n 2 (5) 2n m n Var( X ) 2 m n n 4 19

20 Häufigkeit Simulation Kapitel 2.1 Histogramm der erzeugten Renditen Histogramm Häufigkeit -0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Klasse 20

21 Anmerkungen: linkssteile, rechtsschiefe Verteilungen können durch Multiplikation mit (-1) in linksschiefe, rechtssteile Verteilungen transformiert werden letztere erlauben die Simulation von Katastrophen neben der F-Verteilung erzeugt auch die Chi2-Verteilung schiefe Verteilungen die t-verteilung bietet sich für die Simulation von fat tails an 21

22 Rechnerübung: Erzeugung von Random-Walks mit normalverteilten Renditen F-verteilten Renditen Chi2-verteilten Renditen t-verteilten Renditen Achtung: Linksschiefe realer Renditeverteilungen beachten! 22

23 Simulationsmöglichkeiten mit Matlab a) randtool vorgefertiges Tool in Matlab grafische Benutzeroberfläche Erzeugung von Verteilungen vielfältigster Art Visualisierung Exportmöglichkeiten der ZV, z.b. um in Excel fortzufahren 23

24 24

25 b) mit Matlab-Konsole grundsätzliche Vorgehen genauso wie in Excel: gleichverteilte Zufallszahlen Nutzung der inversen (kumulativen) Verteilungsfunktion daneben weitere Funktionen zur direkten Erzeugung Funktion random zahlreiche Verteilungen siehe Online-Hilfe 25

26 gleichverteilte ZV erzeugen Inverse der Verteilungsfunktion, hier Normalverteilung mit μ=2 und σ=4 26

27 Name der gewünschten Verteilungsfunktion Verteilungsparameter, hier μ=0 und σ=1 Dimension der Outputmatrix 27

28 Rechnerübung: Erzeugung eines Random-Walk mit Matlab Annahme: normalverteilte (stetige) Renditen μ = 0,00671 σ = 0,06043 Simulation von Monatsrenditen, 240 Monate Grafische Darstellung des Random-Walks 28

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30 Simulierter Random-Walk mit Matlab

31 Fallstudie: Der Cost-Average-Effekt Einführendes Beispiel Einmalanlage: 1000 Laufende Anlage Periode Indexstand Anteile Wert Anlagebetrag Anteile Kum. Anteile Wert , ,00 200, , , ,11 390, , , ,38 561, , , ,44 818, , , , , ,00 10, ,25 Behauptung: Laufende Einzahlungen sind vorteilhafter als Einmalanlage Gegenthese: kein Unterschied im Mittel Dritte Position: Einmalanlage vorteilhafter 31

32 Aufgabe: Wer hat recht? Simulation des Cost-Average-Effektes mit Excel Matlab Was kommt bei einem (beliebigen) Kursverlauf heraus? 32