Seminar Finanzmathematik

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1 Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel Seite 1 von 24

2 Zufallszahlen am Computer 3 Gleichverteilte Zufallszahlen 3 Weitere Verteilungen 3 Quadratische Verteilung 4 Normalverteilung 5 Random Walk 6 RandomWalk mit ±1 6 Optionspreis als Erwartungswert 7 Optionsarten 7 Call Optionswert als Erwartungswert 8 Optionspreis als Erwartungswert 8 Aktienkurse simulieren 10 Aktienkurs mit Normalverteilung 10 Aktienkurs mit Brownscher Bewegung 11 Genauigkeit 11 Black-Scholes Formel in der Theorie 13 Formel für Optionswert: 14 Formel im Quellcode: 14 Optionspreis im Laufe der Zeit 15 Black-Scholes Formel diskret 16 Handelsstrategie 16 Exotische Optionen 21 Look Back Option 21 Cash or Nothing Option 22 Quellen: 24 Seite 2 von 24

3 Zufallszahlen am Computer Gleichverteilte Zufallszahlen Funktion rnd Benutzt einen Algorithmus mit Startwert Für gleichen Startwert immer gleiche Zahlenfolge Relativ zufällig mit aktueller Zeit als Startwert Weitere Verteilungen Mittels eines Algorithmus, lässt sich die Gleichverteilung umformen in: Quadratische Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung Seite 3 von 24

4 Quadratische Verteilung Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die quadratische Verteilung Function RandomSquared() As double dim d as double d=rnd*rnd if rnd<0.5 then Return d else Return -d end if End Function Anzeige skaliert von -1 bis 1 Seite 4 von 24

5 Normalverteilung Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die Normalverteilung Bei Aufrufen ca. 68% der Werte betragsmäßig 1. Werte bis ca. 8,45 am Computer mit double. Function RandomNormal() As double dim w,z,v1,v2 as Double do V1 = 2.0 * rnd V2 = 2.0 * rnd w = v1 * v1 + v2 * v2 loop until w < 1.0 z = V1 * sqrt(-2.0 * log(w) / w) Return z End Function Anzeige skaliert von -7 bis 7 Seite 5 von 24

6 Random Walk Startwert 0 in vielen Durchläufen wird aktueller Wert um ein kleines Delta verändert Veränderung mit ±1 oder Normalverteilung Ergebnis mit Wurzel von n skaliert (n = Anzahl der Durchläufe) RandomWalk mit ±1 n Durchgänge jedesmal v ± 1 je nach Zufall Ergebnis skaliert mit Wurzel von r Liefert Zahl zwischen -sqrt(n) und +sqrt(n) Ergebnis annähernd Brownsche Bewegung Function RandomWalk (n as integer) As double dim i as integer dim v as integer v=0 for i=1 to n if rnd<0.5 then v=v+1 else v=v-1 end if next Return v/sqrt(n) End Function Seite 6 von 24

7 Random Walk ±1, Anzeige skaliert von -7 bis 7 Optionspreis als Erwartungswert Optionsarten Call und Put Optionen Europäische und amerikanische Optionen Wert der Europäischen Call Option als Erwartungswert im Martingalmaß beim Einlösen der Option. Seite 7 von 24

8 Call Optionswert als Erwartungswert Aktie gestiegen, Option im Geld Start Aktie gefallen, Option wertlos mögliche Aktienkurse Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurs wird berechnet mit Brownscher Bewegung oder Normalverteilung. Wert der Option als Differenz zwischen Aktienpreis und Basispreis Durchschnitt der Preise ergeben abgezinst den Optionspreis. Seite 8 von 24

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10 Durchläufe Optionswert , , , , , Theoretisch: 3, Aktienkurse simulieren 2 Möglichkeiten: Normalverteile Sprünge Random Walk Wir simulieren Aktienkurse für 1 Jahr: T = 1 Jahr für alle Rechnungen Aktienkurs mit Normalverteilung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie Seite 10 von 24

11 Aktienkurs mit Brownscher Bewegung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie Wt = Brownsche Bewegung Genauigkeit Diskretisierung bringt einen Verlust an Genauigkeit kleinere t für bessere Simulation Kleine Rundungsfehler des Computers summieren sich. Aktienkurs mit Normalverteilung und n=2000 Seite 11 von 24

12 Aktienkurs mit Random Walk und n=2000 Aktienkurs mit Normalverteilung und n=20 Seite 12 von 24

13 Aktienkurs mit Random Walk und n=20 Black-Scholes Formel in der Theorie Formel zur Bestimmung des Optionswertes im arbitragefreien Markt Selbstfinanzierende Handelsstrategie für ein Portfolio Wert der Option ist der Wert des Portfolios Portofolio enthält Aktien und Geld Geld wird geliehen um Aktien zu kaufen. Berechnung, wie viel Geld geliehen wird und wie viele Aktien erworben werden. Am Anfang der Laufzeit: keine Aktien keine Schulden Geldbetrag = Verkaufserlös der Option Kontinuierlicher Handel: Berechnung des neuen Anteils an Aktien und an Schulden. Änderung des Aktienbestandes Neuer Schuldenstand durch neuen Aktienanteil und Änderung Aktienkurs Neuer Portfoliowert = Optionswert zu diesem Zeitpunkt Seite 13 von 24

14 Am Ende der Laufzeit: Verkauf der Aktien Tilgung der Schulden Rest ist Optionswert Formel für Optionswert: Vereinfachung von b durch Abhängigkeit von a: Formel im Quellcode: an=log(s/k)+(r+sigma*sigma/2.0)*(tt-t) at=sigma*sqrt(tt-t) a=an/at b=a-sigma*sqrt(tt-t) FA=Math.NormalVerteilung(a) FB=Math.NormalVerteilung(b) Optionspreis=S*FA-K*exp(-r*(TT-t))*FB Seite 14 von 24

15 Optionspreis im Laufe der Zeit Preis der Option als Kurve in Abhängigkeit zur Zeit und zum Aktienpreis Konvergiert im Laufe der Zeit Am Ende 2 Halbgeraden: 0, wenn die Option aus dem Geld ist. Optionswert, wenn die Option im Geld ist. Seite 15 von 24

16 Black-Scholes Formel diskret Handelsstrategie Selbstfinanzierung Berechnung des Aktienanteiles und Geldanteiles am Portfolio mittels Black-Scholes Formel. Am Ende genügend Geld im Portfolio um Option auszuzahlen Endliche Auflösung von T in diskrete Abstände In der Simulation ist Δt konstant, in der realen Welt nicht. Differenz zwischen theoretischem Optionswert und erreichtem Portfoliowert Genauigkeit abhängig vom Δt Berechnung mit Formel: Bt = Schuldenstand, F(a) = Aktienanteil Seite 16 von 24

17 Fallender Aktienkurs mit Normalverteilung und 2000 Kursänderungen: Steigender Aktienkurs mit Normalverteilung und 2000 Kursänderungen: Seite 17 von 24

18 Fallender Aktienkurs mit Brownscher Bewegung und 2000 Kursänderungen: Steigender Aktienkurs mit Brownscher Bewegung und 2000 Kursänderungen: Seite 18 von 24

19 Steigender Aktienkurs mit Normalverteilung und 20 Kursänderungen: Fallender Aktienkurs mit Normalverteilung und 20 Kursänderungen: Man beachte den Fehler von 1,16 zwischen theoretischem Optionspreis und diskretem Optionspreis. Seite 19 von 24

20 Steigender Aktienkurs mit Brownscher Bewegung und 20 Kursänderungen: Fallender Aktienkurs mit Brownscher Bewegung und 20 Kursänderungen: Seite 20 von 24

21 Exotische Optionen Look Back Option Auszahlung ist die Differenz zwischen höchstem Aktienkurs während der Laufzeit und Aktienkurs am Ende. Insbesondere ist die Auszahlung 0, wenn der höchste Aktienkurs am Ende erreicht wird. Seite 21 von 24

22 Durchläufe Optionswert , , , , ,59054 Theoretisch: keine einfache Gleichung bekannt. Cash or Nothing Option Auszahlung 0, wenn Aktienpreis unter Basispreis Auszahlung 1, wenn Aktienpreis über Basispreis Grenzfall je nach Option (Irrelevant für den Preis vorher) Seite 22 von 24

23 Seite 23 von 24

24 Quellen: Tools for Computational Finance, Second Edition, Rüdiger Seydel Basisinformationen über die Vermögensanlagen in Wertpapieren, 6. Ausgabe vom Bank- Verlag GmbH, Köln. von Christian Schmitz Plaidter Straße 31a Nickenich Seite 24 von 24