Überblick. Lineares Suchen

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1 Komplexität Was ist das? Die Komplexität eines Algorithmus sei hierbei die Abschätzung des Aufwandes seiner Realisierung bzw. Berechnung auf einem Computer. Sie wird daher auch rechnerische Komplexität (computational complexity) genannt. Die algorithmische Komplexität eines Problems ist also die "Geschwindigkeit" die ein optimaler Algorithmus für dieses Problem im schlechtesten Fall (worst case) benötigt. Die Form der Abschätzung beruht zumeist auf dem Zählen, wie häufig bestimmte Operationen des Algorithmus ausgeführt werden. So erhalten wir beispielsweise auf dieser Grundlage die Ausführungsanzahl der Anweisung "x :=x+1" in den folgenden Pseudocodeanweisungen. Anweisung x := x + 1 for i := 1 to n do x := x + 1 od Ausführungsanzahl einmal n-mal for i := 1 to n do for j := 1 to n do x := x + 1 od od n 2 -mal Das Beispiel soll auch verdeutlichen, dass manche Operationen gar nicht in die Zählung mit eingehen, wie beispielsweise die Bearbeitung der Zählvariablen im obigen Zyklus. Derartige Operationen werden als primitive Operationen bezeichnet und gehen nicht in die Aufwandsschätzung ein. Dazu zählen also die Wertzuweisung zu einer Variablen, der Aufruf einer Klassenmethode, die Berechnung von arithmetischen Termen, die Indexberechnung von Feldelementen, die Auflösung einer Objektreferenz, die Rückkehr von einer Klassenmethode. Bei der Aufwandsschätzung betrachtet man im allgemeinen die folgenden beiden Abschätzungsfälle: den schlechtesten Fall (worst-case) oder den durchschnittlichen Fall (average-case). Hinweis: Zur mathematischen Formulierung der Komplexität bedient man sich des Landau-Symbols O. Es steht z.b. O(N) für lineare Komplexität, O(N 2 ) für quadratische usw.

2 Überblick Lineares Suchen Der Algorithmus des linearen Suchens ist denkbar einfach. Er lautet: Vergleiche sequentiell jedes Element der Menge mit dem zu suchenden Element. Wenn das zu suchende Element mit dem Element aus der Menge übereinstimmt, beende den Suchvorgang. In einer Menge aus n Elementen müssen demnach n Vergleiche stattfinden. Der Erwartungswert der Anzahl der Vergleiche liegt dementsprechend bei n/2 Vergleichen, die im Schnitt ausgeführt werden müssen. Beispiel aus dem Alltag: Rasenmähen hat lineare Komplexität, denn bei doppelter Rasenfläche braucht man auch doppelt so lange. Einfaches Beispiel: public class Suche_Linear { public static main(string args[]) { int[] menge = {3,1,4,2,7,10; int zu_suchen = 10; //worst case for (int i = 1; i<=menge.length; i++) if (zu_suchen == menge[i]) System.out.println("Suchdurchläufe: "+i); Komplexität: lineare Komplexität O(N)

3 Binäres Suchen Das binäre Suchen verringert die Anzahl der Vergleiche, da es sich das Wissen über die Ordnung einer Menge zunutze macht. Voraussetzung ist dann natürlich, dass die Menge geordnet ist. Der Algorithmus lautet daher wie folgt: - Nimm ein zufälliges Element aus der Menge und vergleiche es mit dem Suchelement - Ist das Suchelement gleich dem zufälligen Element aus der Menge, brich den Algorithmus ab. - Ist das Suchelement kleiner als das Element aus der Menge, dann wähle als nächstes Mengenelement das Element, was sich in der Mitte des Intervalls zwischen dem Anfang und dem zufällig gewählten vorhergehenden Element befindet. - Ist das Suchelement größer als das Element aus der Menge, dann wähle als nächstes Mengenelement das Element, was sich in der Mitte des Intervalls zwischen dem Ende und dem zufällig gewählten vorhergehenden Element befindet. - Wiederhole den obigen Vergleich Dieser Algorithmus reduziert die erwartete Anzahl der Vergleiche bei einer Menge von n Elementen auf log(n), wobei das erste Element allerdings nicht zufällig gewählt wird, sondern dasjenige in der Mitte des Intervalls der Menge sein muss. Suchalgorithmus in einer geordneten Menge: Die for-schleife wird 2x durchlaufen, bis das Ergebnis ausgegeben wird. Suchen im Telefonbuch hat hingegen nur logarithmische Komplexität, denn bei doppelt so dickem Telefonbuch schlägt man dieses nur einmal öfter auf (z.b. genau in der Mitte - dann hat man das Problem auf die Hälfte reduziert). public class Suche_Schneller { public static main(string args[]) { int[] menge = {1,2,4,5,7,9,10; int zu_suchen = 2; int count = 0; int linke_schranke = 0; int rechte_schranke = menge.length; while (linke_schranke < rechte_schranke) { count++; i = (int)((linke_schranke + rechte_schranke) / 2); if (menge[i] < zu_suchen) linke_schranke = i + 1; else rechte_schranke = i; System.out.println("Suchdurchläufe: "+count); Komplexität: Logarithmische Komplexität O (log N)

4 Bubble Sort Der Algorithmus sortiert die Elemente einer Menge, indem er je Durchlauf die n Elemente mit ihren Nachbarn vergleicht. Dabei muss stets nur der rechte oder linke Nachbar als Vergleichspartner herangezogen werden. Die im Vergleich enthaltene Bedingung entscheidet dann, ob die beiden am Vergleich beteiligten Elemente ihre Plätze tauschen oder nicht. Oftmals wird der Platz getauscht, wenn die Bedingung nicht erfüllt ist. Diese Durchläufe müssen nun n/2 mal wiederholt werden, jeweils mit einem, dem letzten Element weniger. Das jeweils letzte Element muss nicht berücksichtigt werden, da es bereits in vorhergehenden Durchläufen den Platz des letzten Elements zugewiesen bekommen hat. Anhand dieser Grafik können wir sehen das man für die Folge 17, 10, 02, 12 zwei Durchläufe braucht bis sie richtig sortiert ist.

5 class BubbleSortAlgorithm extends SortAlgorithm { void sort(int[] a) throws Exception { for (int i = a.length; --i>=0; ) for (int j = 0; j < i; j++) { if (stoprequested) { return; if (a[j] > a[j+1]) { int T = a[j]; a[j] = a[j+1]; a[j+1] = T; pause(i,j); Komplexität: Quadratische Komplexität O (N²) Selection Sort Bei sortieren durch Auswahl auf englisch auch Selection Sort genannt wird immer das kleinste Element in einer Folge nach vorne gestellt. Am einfachsten ist das anhand eines Beispiels zu verstehen.

6 ein weiteres Beispiel: Komplexität: Quadratische Komplexität O (N²)