Seminar Finanzmathematik

Transkript

1 Seminar Finanzmathematik Simulationen zur Black-Scholes Formel von Christian Schmitz

2 Übersicht Zufallszahlen am Computer Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurse simulieren Black-Scholes Formel Theorie Black-Scholes Formel diskret Exotische Optionen

3 Zufallszahlen am Computer

4 Gleichverteilte Zufallszahlen Funktion rnd Benutzt einen Algorithmus mit Startwert Für gleichen Startwert immer gleiche Zahlenfolge Relativ zufällig mit aktueller Zeit als Startwert

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6 Weitere Verteilungen Mittels eines Algorithmus, lässt sich die Gleichverteilung umformen in: Quadratische Verteilung Normalverteilung Exponentialverteilung

7 Quadratische Verteilung Function RandomSquared() As double dim d as double Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die quadratische Verteilung d=rnd*rnd if rnd<0.5 then Return d else Return -d end if End Function

8 Anzeige skaliert von -1 bis 1

9 Normalverteilung Generiert aus Gleichverteilung mittels Algorithmus die Normalverteilung Bei Aufrufen ca. 68% der Werte betragsmäßig 1. Werte bis ca. 8,45 am Computer mit double. Function RandomNormal() As double dim w,z,v1,v2 as Double do V1 = 2.0 * rnd V2 = 2.0 * rnd w = v1 * v1 + v2 * v2 loop until w < 1.0 z = V1 * sqrt(-2.0 * log(w) / w) Return z End Function

10 Anzeige skaliert von -7 bis 7

11 Random Walk Startwert 0 in vielen Durchläufen wird aktueller Wert um ein kleines Delta verändert Veränderung mit ±1 oder Normalverteilung Ergebnis mit Wurzel von n skaliert (n = Anzahl der Durchläufe)

12 RandomWalk mit ±1 n Durchgänge jedesmal v ± 1 je nach Zufall Ergebnis skaliert mit Wurzel von r Liefert Zahl zwischen -sqrt(n) und +sqrt(n) Ergebnis annähernd Brownsche Bewegung Function RandomWalk (n as integer) As double dim i as integer dim v as integer v=0 for i=1 to n if rnd<0.5 then v=v+1 else v=v-1 end if next Return v/sqrt(n) End Function

13 Random Walk ±1, Anzeige skaliert von -7 bis 7

14 Demo

15 Optionspreis als Erwartungswert

16 Optionsarten Call und Put Optionen Europäische und amerikanische Optionen Wert der Europäischen Call Option als Erwartungswert im Martingalmaß beim Einlösen der Option.

17 Call Optionswert als Erwartungswert Start mögliche Aktienkurse Aktie gestiegen, Option im Geld Aktie gefallen, Option wertlos

18 Optionspreis als Erwartungswert Aktienkurs wird berechnet mit Brownscher Bewegung oder Normalverteilung. Wert der Option als Differenz zwischen Aktienpreis und Basispreis Durchschnitt der Preise ergeben abgezinst den Optionspreis.

19 Optionspreis als Erwartungswert

20 Durchläufe Optionswert ,512381

21 Durchläufe Optionswert , ,436795

22 Durchläufe Optionswert , , ,456048

23 Durchläufe Optionswert , , , ,455998

24 Durchläufe Optionswert , , , , , Theoretisch: 3,452005

25 Demo

26 Aktienkurse simulieren

27 Aktienkurse simulieren 2 Möglichkeiten: Normalverteile Sprünge Random Walk Wir simulieren Aktienkurse für 1 Jahr. T = 1 Jahr für alle Rechnungen

28 Aktienkurs mit Normalverteilung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie

29 Aktienkurs mit Brownscher Bewegung µ = Drift dieser Aktie, σ = Volatilität dieser Aktie W t = Brownsche Bewegung

30 Genauigkeit Diskretisierung bringt einen Verlust an Genauigkeit kleinere t für bessere Simulation Kleine Rundungsfehler des Computers summieren sich.

31 Aktienkurs mit Normalverteilung n=2000

32 Aktienkurs mit Random Walk n=2000

33 Aktienkurs mit Normalverteilung n=20

34 Aktienkurs mit Random Walk n=20

35 Demo

36 Black-Scholes Formel theoretische Handelsstrategie

37 Black-Scholes Formel Formel zur Bestimmung des Optionswertes im arbitragefreien Markt Selbstfinanzierende Handelsstrategie für ein Portfolio Wert der Option ist der Wert des Portfolios

38 Black-Scholes Formel Portofolio enthält Aktien und Geld Geld wird geliehen um Aktien zu kaufen. Berechnung, wie viel Geld geliehen wird und wie viele Aktien erworben werden.

39 Black-Scholes Formel Am Anfang der Laufzeit: keine Aktien keine Schulden Geldbetrag = Verkaufserlös der Option

40 Black-Scholes Formel Kontinuierlicher Handel: Berechnung des neuen Anteils an Aktien und an Schulden. Änderung des Aktienbestandes Neuer Schuldenstand durch neuen Aktienanteil und Änderung Aktienkurs Neuer Portfoliowert = Optionswert zu diesem Zeitpunkt

41 Black-Scholes Formel Am Ende der Laufzeit: Verkauf der Aktien Tilgung der Schulden Rest ist Optionswert

42 Black-Scholes Formel

43 Black-Scholes Formel Vereinfachung von b durch Abhängigkeit von a.

44 Black-Scholes Formel an=log(s/k)+(r+sigma*sigma/2.0)*(tt-t) at=sigma*sqrt(tt-t) a=an/at b=a-sigma*sqrt(tt-t) FA=Math.NormalVerteilung(a) FB=Math.NormalVerteilung(b) Optionspreis=S*FA-K*exp(-r*(TT-t))*FB

45 Optionspreis im Laufe der Zeit Preis der Option als Kurve in Abhängigkeit zur Zeit und zum Aktienpreis Konvergiert im Laufe der Zeit Am Ende 2 Halbgeraden: 0, wenn die Option aus dem Geld ist. Optionswert, wenn die Option im Geld ist.

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48 Film

49 Demo

50 Black-Scholes Formel diskrete Handelsstrategie als Näherung

51 Handelsstrategie Selbstfinanzierung Berechnung des Aktienanteiles und Geldanteiles am Portfolio mittels Black- Scholes Formel. Am Ende genügend Geld im Portfolio um Option auszuzahlen

52 Handelsstrategie Endliche Auflösung von T in diskrete Abstände In der Simulation ist Δt konstant, in der realen Welt nicht. Differenz zwischen theoretischem Optionswert und erreichtem Portfoliowert Genauigkeit abhängig vom Δt

53 Handelsstrategie B t = Schuldenstand, F(a) = Aktienanteil

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62 Demo

63 Exotische Optionen

64 Look Back Option Auszahlung ist die Differenz zwischen höchstem Aktienkurs während der Laufzeit und Aktienkurs am Ende. Insbesondere ist die Auszahlung 0, wenn der höchste Aktienkurs am Ende erreicht wird.

65 Durchläufe Optionswert ,80659

66 Durchläufe Optionswert , ,05150

67 Durchläufe Optionswert , , ,34104

68 Durchläufe Optionswert , , , ,65736

69 Durchläufe Optionswert , , , , ,59054 Theoretisch:?

70 Demo

71 Welche Option ist das?

72 Film

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74 Cash or Nothing Option Auszahlung 0, wenn Aktienpreis unter Basispreis Auszahlung 1, wenn Aktienpreis über Basispreis Grenzfall je nach Option (Irrelevant für den Preis vorher)

75 Demo

76 Q & A

77 Ende Quellen: Tools for Computational Finance, Second Edition, Rüdiger Seydel