Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management

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Silvia Bauer
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1 Monte Carlo Methoden in Kreditrisiko-Management P Kreditportfolio bestehend aus m Krediten; Verlustfunktion L = n i=1 L i; Die Verluste L i sind unabhängig bedingt durch einen Vektor Z von ökonomischen Einflussfaktoren. Gesucht: VaR α (L) = q α (L), CVaR α = E(L L > q α (L)), CVaR i,α = E(L i L > q α (L)). Bei Anwendung von Monte Carlo (MC) Simulation tritt das Problem der Simulation von seltenen Ereignissen auf ( rare event simulation )! ZB. α = 0,99. Nur etwas 1% der standard MC Simulationen führt zu einem Verlust L, sodass L > q α (L). Standard MC Schätzer: ĈVaR (MC) α (L) = 1 n i=1 I (q α,+ )(L i ) n L i I (qα,+ )(L i ) wobei L i der Verlustwert in der i-ten Simulationslauf ist. (L) ist sehr instabil, d.h. hat eine sehr hohe Varianz, wenn die Anzahl der Simulationen n nicht sehr sehr groß ist. ĈVaR (MC) α i=1 27

Bei Anwendung von Monte Carlo (MC) Simulation tritt das Problem der Simulation von seltenen Ereignissen auf ( rare event simulation )! ZB. α = 0,99.

2 Grundlagen von Importance Sampling Sei X eine ZV in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,F,P) mit absolut stetiger Verteilungsfunktion und Dichtefunktion f. Gesucht: θ = E(h(X)) = h. h(x)f(x)dx für eine bekannte Funktion Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A: h(x) = I A (x). Berechnung von CVaR: h(x) = xi x>c (x) mit c = VaR(X). Algorithmus 1 (Monte Carlo Integration) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte f. (2) Berechne den standard MC Schätzer ˆθ (MC) n = 1 n n i=1 h(x i). Aus dem starken Gesetz der großen Zahlen: lim n ˆθ (MC) n = θ. Im Falle von seltenen Ereignissen (h(x) = I A (x), P(A) << 1) ist die Konvergenz sehr langsam. 28

Berechnung von CVaR: h(x) = xi x>c (x) mit c = VaR(X). Algorithmus 1 (Monte Carlo Integration) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte f.

3 Sei g eine Wahrscheinlichkeitsdichte, sodass f(x) > 0 g(x) > 0. { f(x) g(x) > 0 Wir definieren das Likelihood ratio als: r(x) := g(x) 0 g(x) = 0 Es gilt: θ = Algorithmus 2 (Importance Sampling) h(x)r(x)g(x)dx = E g (h(x)r(x)) (8) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte g. (2) Berechne den IS Schätzer ˆθ (IS) n = 1 n n i=1 h(x i)r(x i ). g heißt Importance Sampling -Dichte. Ziel: Auswahl einer Importance Sampling -Dichte, sodass die Variance des IS-Schätzers wesentlich kleiner als die Varianz des standard MC Schätzers ist. var g (ˆθ (IS) n var ) (ˆθ (MC) n = (1/n)(E g (h 2 (X)r 2 (X)) θ 2 ) ) = (1/n)(E(h 2 (X)) θ 2 ) 29

(h(x)r(x)) (8) (1) Generiere X 1,X 2,..., X n unabhängig aus der Dichte g. (2) Berechne den IS Schätzer ˆθ (IS) n = 1 n n i=1 h(x i)r(x i ).

4 Theoretisch kann die Varianz des IS-Schätzers auf 0 reduziert werden! Annahme h(x) 0, x. Für g (x) = f(x)h(x)/e(h(x)) gilt: ˆθ (IS) 1 = h(x 1 )r(x 1 ) = E(h(X)). Der IS-Schätzer gibt den richtigen Wert nach einer einzigen Simulation! Sei h(x) = I {X c} (x) wobei c >> E(X) (seltenes Ereignis). Es gilt E(h 2 (X)) = P(X c) und aus (8) folgt: E g (h 2 (X)r 2 (X)) = h 2 (x)r 2 (x)g(x)dx = E g (r 2 (X);X c) = (9) h 2 (x)r(x)f(x)dx = h(x)r(x)f(x)dx = E(r(X);X c) (10) Das Ziel ist g so auszuwählen, dass E g (h 2 (X)r 2 (X)) klein wird, oder sodass r(x) für x c klein und das Ereignis X c unter der Dichte g wahrscheinlicher als unter der Dichte f ist. 30

Es gilt E(h 2 (X)) = P(X c) und aus (8) folgt: E g (h 2 (X)r 2 (X)) = h 2 (x)r 2 (x)g(x)dx = E g (r 2 (X);X c) = (9) h 2 (x)r(x)f(x)dx = h(x)r(x)f(x)dx = E(r(X);X

5 Exponential tilting: Bestimmung des IS-Dichte für light tailed Variablen Sei M x (t):r R die Momentum-generierende Funktion von X: IS-Dichte: g t (x) = etx f(x) M X (t) M X (t) = E(e tx ) = Likelihood Ratio: r t (x) = f(x) g t (x) = M X(t)e tx. Sei µ t = E gt (X) = E(X exp{tx})/m X (t). e tx f(x)dx Wie kann man ein geeignetes t für ein bestimmtes IS Problem ermitteln? Z.B. für die Schätzung der Tail-Wahrscheinlichkeit? Das Ziel ist t so zu wählen, dass E(r(X);X c) = E(I X c M X (t)e tx ) klein wird. e tx e tc, für x c, t 0 E(I X c M X (t)e tx ) M X (t)e tc. Wir setzten t = argmin{m X (t)e tc :t 0}. Daraus folgt t = t(c) wobei t(c) die Lösung der Gleichung µ t = c ist. (Eine eindeutige Lösung existiert für alle relevanten Werte von c - ohne Beweis). 31

für die Schätzung der Tail-Wahrscheinlichkeit? Das Ziel ist t so zu wählen, dass E(r(X);X c) = E(I X c M X (t)e tx ) klein wird. e tx e tc, für x c, t 0 E(I X c M X (t)e tx ) M X (t)e tc.

6 Exponential Tilting für die Normalverteilung Sei X N(0,1) mit Dichtefunktion φ(x). g t (x) = etx φ(x) M X (t) = etx φ(x) e t2 /2 = 1 2π exp{ 1 2 (x t)2 } und µ t = D.h. unter der Verteilung g t gilt X N(t,1) Die Gleichung µ t = c lautet t = c. IS im Falle von Wahrscheinlichkeitsmaßen E(X exp{tx}) M X (t) Seien f und g Wahrscheinlichkeitsdichten. Definiere zwei Wahrscheinlichkeitsmasse P und Q: P(A) = f(x)dx und Q(A) = g(x)dx x A x A Die grundelegende Gleichung der IS (8) lautet dann: θ = E P (h(x)) = E Q (h(x)r(x)) Analog: Exponential tilting im Fall von Wahrscheinlichkeitsdichten: Sei X eine ZV in ((Ω,F,P)) sodass M X (t) = E P (exp{tx}) <, t. Sei Q t (A) := E P exp{tx} M X (t) ;A ein Wahrscheinlichkeitsmaß in (Ω, F). Der IS-Algorithmus bleibt gleich: Simuliere unabhängige Realisierungen von X i in (Ω,F,Q t ) und setze ˆθ n (IS) = (1/n) n i=1 X ir t (X i ) wobei r t (X) = M X (t)exp{ tx}. 32 = t

Definiere zwei Wahrscheinlichkeitsmasse P und Q: P(A) = f(x)dx und Q(A) = g(x)dx x A x A Die grundelegende Gleichung der IS (8) lautet dann: θ = E P (h(x)) = E Q (h(x)r(x)) Analog: Exponential

7 Anwendung von IS auf Bernoulli Mischung Modelle (siehe Glasserman und Li (2003)) Sei L = m i=1 e iy i die Verlustfunktion eines Kreditportfolios. Y i sind die Verlustindikatoren mit Default-Wahrscheinlichkeit p i und e i = (1 λ i )L i die positiven deterministischen Exposures (λ i sind recovery rates und L i sind die Kredithöhen), i = 1,2,...,m. Sei Z ein Vektor von ökonomischen Einflussfaktoren, sodass Y i Z unabhängig sind und Y i (Z = z) Bernoulli(p i (z)). Ziel: Schätzung von θ = P(L c) mit Hilfe des IS-Ansatzes, für ein gegebenes c, c >> E(L). Vereinfachter Fall: Y i sind unabhängig, i = 1,2,...,m. Sei Ω = {0,1} m der Raum der Zustände von Y. Das Wahrscheinlichleitsmaß P in Ω: m P({y}) = p y i i (1 p i) 1 y i, y {0,1}m. i=1 Die Momentum-generierende Funktion von L: M L (t) = m i=1 (ete i p i + 1 p i ). 33

Sei Z ein Vektor von ökonomischen Einflussfaktoren, sodass Y i Z unabhängig sind und Y i (Z = z) Bernoulli(p i (z)).

8 Das Wahrscheinlichkeitsmaß Q t : n ( ) exp{te i y i } Q t ({y}) = exp{te i } p i +1 p i p y i i (1 p i) 1 y i. i=1 Seien q t,i neue Default-Wahrscheinlichlichkeiten: Somit gilt: q t,i := exp{te i } p i /(exp{te i } p i +1 p i ). Q t ({y}) = m i=1 q y i i (1 q i) 1 y i, y {0,1}m. D.h. nach der exponential tilting sind die Default-Indikatoren unabhängig mit neuen Default-Wahrscheinlichkeiten q t,i. lim t q t,i = 1 und lim t q t,i = 0 E Q t (L) nimmt alle Werte in (0, m i=1 e i) an für t R. Für IS-Anwendungen wähle t, sodass m i=1 e i q t,i = c. Allgemeiner Fall: Y i sind unabhängig bedingt durch Z 1. Schritt: Schätzung der bedingten Überschuss-Wahrscheinlichkeit θ(z) := P(L c Z = z) für eine gegebene Realisierung z der ökonomischen Faktoren Z, mit Hilfe des im vereinfachten Fall beschriebenen IS-Ansatzes. 34

lim t q t,i = 1 und lim t q t,i = 0 E Q t (L) nimmt alle Werte in (0, m i=1 e i) an für t R. Für IS-Anwendungen wähle t, sodass m i=1 e i q t,i = c.

9 Algorithmus 3 (IS für die bedingte Verlustverteilung) (1) Für ein gegebenes z berechne die bedingtenn Default- Wahrscheinlichkeiten p i (z) (wie im einfachen Unabhägigkeitsfall) und löse folgende Gleichung: m exp{te i }p i (z) exp{te i }p i (z)+1 p i (z) = c i=1 Die Lösung t = t(c, z) gibt den richtigen tilting-grad. (2) Erzeuge n 1 bedingte Realisierungen des Vektors der Default- Indikatoren (Y 1,...,Y m ). Die einzelnen Indikatoren Y i, werden unabhängig aus Bernoulli(q i ), i = 1,2,...,m, simuliert, wobei q i = exp{t(c,z)e i }p i (z) exp{t(c,z)e i }p i (z)+1 p i (z) (3) Sei M L (t,z) := [exp{te i }p i (z)+1 p i (z)] die bedingte Momenterzeugende Funktion von L. Seien L (1), L (2),...,L (n 1) die n 1 bedingten Realisierungen von L für die n 1 simulierten Realisierun- 35

(2) Erzeuge n 1 bedingte Realisierungen des Vektors der Default- Indikatoren (Y 1,...,Y m ). Die einzelnen Indikatoren Y i, werden unabhängig aus Bernoulli(q i ), i = 1,2,.

10 gen von Y 1,Y 2,...,Y m. Berechne den IS-Schätzer für die Tail- Wahrscheinlichkeit der bedingten Verlustverteilung: ˆθ (IS) n 1 (z) = M L (t(c,z),z) 1 n 1 n 1 j=1 I L (j) cexp{ t(c,z)l (j) }L (j).

11 2. Schritt: Schätzung der unbedingten Überschuss Wahrscheinlichkeit θ = P(L c). Naive Vorgangsweise: Erzeuge mehrere Realisierungen z der Einflussfaktoren Z und berechne ˆθ n (IS) 1 (z) für jede dieser Realisierungen. Der gesuchte Schätzer ist der Durchschnittswert der Schätzer ˆθ n (IS) 1 (z) über alle Realisierungen z. Das ist nicht die beste Lösung, siehe Glasserman und Li (2003). Bessere Herangehensweise: IS für die Einflussfaktoren. Annahme: Z N p (0,Σ) (zb. probit-normal Bernoulli Mischung) Die IS-Dichte g ist die Dichte von N p (µ,σ) für einen neuen Erwartungswertvektor µ R p. Eine gute Wahl von µ sollte zu häufigen Realisierungen z die zu höheren bedingten Default- Wahrscheinlichkeiten p i (z) führen. Likelihood Ratio: r µ (Z) = exp{ 1 2 Zt Σ 1 Z} exp{ 1 2 (Z µ)t Σ 1 (Z µ)} = exp{ µ Σ 1 Z µ Σ 1 µ} 36

Der gesuchte Schätzer ist der Durchschnittswert der Schätzer ˆθ n (IS) 1 (z) über alle Realisierungen z. Das ist nicht die beste Lösung, siehe Glasserman und Li (2003).

12 Algorithmus 4 (vollständige IS für Bernoulli Mischung Modelle mit Gauss schen Faktoren) (1) Erzeuge z 1,z 2,...,z n N p (µ,σ) (n ist die Anzahl der Simulationsrunden) (2) Für jedes z i berechne ˆθ (IS) n 1 (z i ) wie in Algorithmus 3. (3) Berechne den IS-Schätzer für die unbedingte Überschuss- Wahrscheinlichkeit: ˆθ n (IS) = 1 n r µ (z i )ˆθ n (IS) n 1 (z i ) i=1 37

..,z n N p (µ,σ) (n ist die Anzahl der Simulationsrunden) (2) Für jedes z i berechne ˆθ

13 Die Auswahl von µ µ soll so gewählt werden, dass die Varianz des Schätzers klein ist. Idee von Glasserman und Li (2003) (Skizze): ˆθ n (IS) 1 (z) P(L c Z = z) Suche eine gute IS-Dichte für die Funktion z P(L c Z = z). Die optimale IS-Dichte g ist proportional zu P(L c Z = z)exp{ 1 2 zt Σ 1 z}. Vorschlag: Wähle eine IS-Dichte mit demselben Modus wie die optimale Dichte g. Das führt zu folgendem Optimierungsproblem: µ = argmax z {P(L c Z = z)exp{ 1 2 zt Σ 1 z} }. Exakte Lösung ist schwierig weil P(L c Z = z) ist i.a. nicht in analytischer Form verfügbar. Siehe Glasserman und Li (2003) für Lösungsansätze. 38

Die optimale IS-Dichte g ist proportional zu P(L c Z = z)exp{ 1 2 zt Σ 1 z}.

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