Modellbildung und Simulation

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1 Modellbildung und Simulation 5. Vorlesung Wintersemester 2007/2008 Klaus Kasper

2 Value at Risk (VaR)

3 Glossar Portfolio: In der Ökonomie bezeichnet der Begriff Portfolio ein Bündel von Investitionen, das im Besitz einer Institution oder eines Individuums ist. Quantil: Quantile sind Punkte einer sortierten Messreihe. Der Wert des p-quantils einer Verteilung gibt an, welcher Wert die unteren p-% der Datenwerte von den oberen (1 - p)-% trennt. Wenn man etwa das 5%-Quantil einer Verteilung angibt, so besagt dies, dass 5% aller Datenwerte kleiner sind als der betreffende Datenwert und 95% größer oder gleich diesem Wert WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 3

4 Value at Risk (VaR) VaR bezeichnet ein Risikomaß, das den geschätzten, maximalen (Marktwert-)Verlust eines Portfolios nach einer vorgegebenen Haltedauer angibt, der mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit unter üblichen Marktbedingungen nicht überschritten wird. Mit anderen Worten: Der VaR ist als derjenige Portfolioverlust definiert, der innerhalb eines bestimmten Zeitraumes nur mit vorgegebener Wahrscheinlichkeit noch höher ausfallen kann. Cremers, Heinz; Value at Risk-Konzepte für Marktrisiken; Hochschule für Bankwirtschaft. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 4

5 Entwicklung des Konzepts Dennis Weatherstone verlangte während seiner Zeit als Vorsitzender der USamerikanischen Investmentbank J.P. Morgan täglich um Uhr einen einseitigen Risiko-Bericht, in dem das gesamte Portfolio des Handelsbestandes der Bank sowie eine Schätzung der maximal möglichen Verluste in den folgenden 24 Stunden dargestellt waren. Weatherstone war es einfach leid, dass die Marktrisiken der verschiedenen Finanzinstrumente mit unterschiedlichen Methoden gemessen wurden. Sein bisheriger Report enthielt eine Unmenge von Beta-Faktoren und Volatilitäten, gearing factors, Deltas, Gammas und Thetas. Er wollte ein einheitliches Risiko-Maß für alle Finanzinstrumente haben. Dies war die Geburtsstunde des Report 4.15 (1994). Dieser Report basiert auf einer Methodik, die als Value at Risk bezeichnet wird. Quelle: WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 5

6 Value at Risk WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 6

7 VaR im Einsatz Wir berechnen den Value-at-risk sowohl für interne als auch externe Meldezwecke mit einem Konfidenzniveau von 99%, gemäß den Bestimmungen der Bank für Internationalen Zahlungsausgleich (BIZ). Für interne Meldezwecke legen wir eine Haltedauer von einem Tag zu Grunde. Für aufsichtsrechtliche Meldezwecke beträgt die Haltedauer zehn Tage. Die statistischen Parameter, die für die Value-at-risk-Berechnung erforderich sind, werden auf Basis einer Beobachtungszeitreihe über die letzten 261 Handelstage (was mindestens einem Kalenderjahr entspricht) bestimmt, wobei jede Beobachtung gleich gewichtet wird. Generell benutzen wir zur Value-at-risk-Berechnung das Monte Carlo-Simulationsverfahren, wobei wir annehmen, dass Änderungen in den Risikofaktoren einer Normalverteilung oder logarithmischen Normalverteilung folgen. Die Informationen sind Teil des Konzernabschlusses der Deutschen Bank zum ( WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 7

8 Berechnung des VaR Monte Carlo Simulation Sammlung und Analyse historischer Daten. Modellierung der Verteilung. Simulation von Kursentwicklungen gemäß der modellierten Verteilung. Große Zahl an Simulationen. Prognose von Kursentwicklungen. Berechnung des monetären Risikos für die Entwicklung des Portfolios. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 8

9 Monte Carlo Simulation In den 1940er Jahren im Kontext der Atomforschung für die Abschätzung der Wechselwirkung zwischen Neutronen und Materie entwickelt. Einsatz zur Lösung analytisch nicht lösbarer Probleme. Basis ist die Durchführung von Zufallsexperimenten. Der Name geht auf die berühmte Spielbank zurück. Prinzipiell könnten Zufallszahlen auch mit einem Roulette erzeugt werden. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 9

10 Verteilung von Zufallsvariablen Roulette wie sind die Zahlen des Roulette verteilt? Gleichverteilt, da jede Zahl gleich wahrscheinlich ist. Wie ist die Größe erwachsener Frauen eines Kulturkreises verteilt? Normalverteilt eine mittlere Größe wird relativ häufig gefunden während Extremwerte sehr selten auftreten. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 10

11 Mittelwert, Varianz, Standardabweichung Mittelwert: µ x T = t = 1 x( t)/ T Varianz: T 2 2 x = x t x t = 1 σ ( ( ) µ ) / T Standardabweichung: σ x = σ 2 x WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 11

12 Statistische Kenngrößen einer Stichprobe (empirisch) Erwartungswert: µ x N = i = 1 x i / N Empirische Varianz: N 2 2 σ x = ( xi µ x ) /( N 1) i = 1 Empirische Standardabweichung: 2 x = σ x σ WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 12

13 Berechnung der empirischen Standardabweichung N ( ) 2 N 2 N X X i = 1 i i = 1 i σ x = N ( N 1) Besonderheit: Erwartungswert muss vorab nicht berechnet werden WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 13

14 Normalverteilung (Gauß-Verteilung) Johann Carl Friedrich Gauß ( ) Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) ist die wichtigste kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ihre Wahrscheinlichkeitsdichte wird als Gaußdichte oder Glockenkurve bezeichnet. Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass eine Summe von n unabhängigen, gleichverteilten Zufallsvariablen in der Grenze n gegen unendlich normalverteilt ist. Eine Normalverteilung wird durch Mittelwert und Varianz vollständig definiert. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 14

15 Gaußdichte Gaußdichte der Normalverteilung: f ( x) = 1 2π σ x e 2 2 x ( x µ ) / 2σ x Gaußdichte der Standardnormalverteilung: f ( x) = 1 e 2π x 2 / 2 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 15

16 Beispiele Interaktive Demo: WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 16

17 Charakteristische Wertebereiche 68,27% aller Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen innerhalb des Intervalls µ σ x µ + σ 95,45% aller Werte einer normalverteilten Zufallsvariablen liegen innerhalb des Intervalls µ (2 σ ) x µ + (2 σ ) WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 17

18 Beispiel Quelle: WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 18

19 Beispiel (IQ) Ein Intelligenztest sei so normiert, dass der mittlere IQ 100 beträgt und eine Varianz von 225 gemessen wird. Für einen Probanden wird ein IQ von 130 ermittelt. Schätzen Sie bitte den Anteil der Untersuchungsgruppe ab, der einen geringeren IQ im Test erreichen wird. Ca. 97,7% der Probanden erreichen einen IQ unter 130. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 19

20 Glossar multivariat: Die gemeinsame Verteilung mehrerer Zufallsvariablen wird als multivariate Zufallsverteilung bezeichnet. univariat: Die Verteilung einer einzelnen Zufallsvariablen wird als univariate Zufallsverteilung bezeichnet. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 20

21 Erwartungsvektor und empirische Kovarianzmatrix µ x N = n= 1 x( n)/ N cov X cov( x1, x1) cov( x1, xm ) = cov( xm, x1) cov( xm, xm ) N cov( x, x ) = ( x µ )( x µ )/( N 1) = cov( x, x ) i j i i j j j i n= 1 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 21

22 Korrelation Die Korrelation ist ein Maß für die Beziehung zwischen zwei Zufallsvariablen. Hinweis: Eine starke Korrelation lässt keine Aussage über den kausalen Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen zu. Die Komponente cov( xi, x j ) der Kovarianzmatrix der multivariaten Normalverteilung einer Modellgröße ist ein Maß für die Korrelation der i-ten Komponente der Modellgröße mit der j-ten Komponente der Modellgröße. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 22

23 Scheinkausalität Der Rückgang der Störche korreliert stark mit dem Rückgang der Geburtenrate. Daher sind Störche doch für unsere Fortpflanzung zuständig. Diese Folgerung ist nicht zulässig. Erklärung: Die fortschreitende Industrialisierung hat sowohl zu einem Rückgang der Störche als auch zu einem Rückgang der Geburtenrate geführt. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 23

24 Berechnung des Korrelationskoeffizienten ρ ( x, x ) 1 2 = σ cov( x, x ) 1 2 ( x ) ( x ) σ 1 2 ρ ( x, x ) = 0 : 1 2 Unabhängigkeit der beiden Variablen ρ ( x, x ) = 1: 1 2 exakte positive lineare Abhängigkeit ρ ( x, x ) = 1: 1 2 exakte negative lineare Abhängigkeit WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 24

25 Mehrdimensionale Gaußdichte f ( x) = n 1 (2 π ) det(cov ) x e 1 ( ) T (cov ) 1 x µ x x ( x µ x ) 2 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 25

26 Multivariate Normalverteilung (2-dimensional) Interaktive Demo: WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 26

27 Glossar Modellgröße: Die zu modellierende Größe. Beispiel: Wert bzw. Preis der Bestandteile des Portfolios (Rohdaten). eine sinnvolle Parametrisierung ist die Berechnung relativer Änderungen. empirisch: Die Prognose wird aus historischen Beobachtungen, Simulationen oder subjektiven Einschätzungen gewonnen. parametrisch: Die Prognose wird auf der Basis der Annahme des Typs der zu Grunde liegenden Verteilung und der Schätzung der erforderlichen Parameter der Verteilung gewonnen. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 27

28 Konzepte zur Berechnung des VaR Historische Simulation Monte Carlo Simulation WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 28

29 Historische Simulation Verfahren: historisch/empirisch Historische Beobachtungen der Modellgrößen werden gesammelt. Aus den historischen Beobachtungen werden Wertänderungen des aktuellen Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der berechneten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. Hinweis: Für die Anwendung der historischen Simulation muss keine Annahme über die zu Grunde liegende Verteilung getroffen werden. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 29

30 Monte Carlo Simulation Verfahren: parametrisch/empirisch An Hand empirischer Daten werden die Parameter einer zu Grunde gelegten Verteilung der Modellgrößen geschätzt. Es werden zufällig Werte (Wertänderungen) erzeugt, die der geschätzten Verteilung gehorchen. Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 30

31 Zufallsprozesse Radioaktiver atomarer Zerfall Thermisches Rauschen (Widerstand) Zufallsprozesse sind reale physikalische Prozesse. Zur Durchführung von Simulationen werden häufig Zufallszahlen benötigt. Nur sehr selten werden zur Erzeugung von Zufallszahlen reale Zufallsprozesse beobachtet. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 31

32 Zufallsgeneratoren Meist werden für Simulationen Zufallsgeneratoren eingesetzt, die algorithmisch Zufallszahlen erzeugen. Hierbei handelt es sich um deterministische Pseudo-Zufallszahlen, die sich periodisch wiederholen. Es werden also immer die selben Zufallszahlen aufeinander folgen. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 32

33 Beispiel rand() unter BSD-Unix (Linear Kongruenter Generator LCG) x( n) = ( a x( n 1) + c) mod m a c m = = = 2 31 Periode: 2 31 x ist die aktuell berechnete Zufallszahl, die von der vorher berechneten eindeutig abhängt. Daher ist die Initialisierung von x von großer Bedeutung. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 33

34 Anwendung Initialisierung erfolgt über einen Seed (Saat)-Wert. Häufig wird die aktuelle Systemzeit verwendet. srand( time(0)) Der von rand() generierte Wert liegt im Bereich: 0 x m Für die Erzeugung von Zufallszahlen aus einem speziellen Wertebereich sollte das Ergebnis von rand() sollte mit m und dem gewünschten Wertebereich skaliert werden. Üblicherweise kann m als Konstante abgefragt werden. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 34

35 Erzeugung normalverteilter Zufallszahlen Eine Normalverteilung N ist mit einer Kovarianzmatrix cov und einem Erwartungsvektor µ x x vollständig definiert. Zufallsvektoren y, die der Normalverteilung N genügen, können durch folgende Operation erzeugt werden: y = Du + µ x, wobei u ein Zufallsvektor ist, der einer Standardnormalverteilung folgt, und D die untere Dreiecksmatrix der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix ist. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 35

36 Cholesky-Zerlegung B sei die Kovarianzmatrix cov. x B T = DD wird als Cholesky-Zerlegung bezeichnet. Die Koeffizienten d ij der Matrix D können in folgender Weise berechnet werden: 0 für i < j i 1 2 dij = bii d ik für i = j k= 1 > d j 1 1 b ij d ik d jk für i j jj k= 1 WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 36

37 Erzeugung standardisierter normalverteilter Zufallszahlen 1. Erzeugung zweier gleichverteilter unabhängiger Zufallszahlen x 1 und x 2 zwischen 0 und Umformungen: v = 2x 1, v = 2x 1, s = v + v Falls s 1, zurück zu 1. u = v (2/ s)ln( s), u = v (2/ s)ln( s) u 1 und u 2 sind zwei unabhängige Zufallszahlen, die der Standardnormalverteilung folgen. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 37

38 Zusammenfassung 1. Berechnung von Kovarianzmatrix und Erwartungsvektor. 2. Berechnung der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix. 3. Erzeugung von Zufallsvektoren, die der Standardnormalverteilung folgen. 4. Auf Basis des Erwartungsvektors und der Cholesky-Zerlegung der Kovarianzmatrix kann für jeden erzeugten Zufallsvektor aus 3. ein Zufallsvektor generiert werden, der der Normalverteilung folgt, die durch die in 1. berechneten Parameter definiert wird. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 38

39 Berechnung des VaR mit einer Monte Carlo Simulation An Hand historischer Daten werden der Erwartungsvektor und die empirische Kovarianzmatrix für den Vektor der Kursänderungen geschätzt. Wobei der Vektor die Kurse der Papiere enthält, die im aktuellen Portfolio enthalten sind. Es wird eine große Zahl von Zufallsvektoren erzeugt, die der geschätzten Normalverteilung der Kursänderungen der Werte des Portfolios folgen. Für jede zufällig erzeugte Wertänderung wird die Auswirkung auf das aktuelle Portfolio berechnet. Aus der geordneten (empirischen) Messreihe der simulierten Änderungen des Portfolio wird das Quantil bestimmt. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 39

40 Berechnung des VaR Monte Carlo Simulation Sammlung und Analyse historischer Daten. Modellierung der Verteilung. Simulation von Kursentwicklungen gemäß der modellierten Verteilung. Große Zahl an Simulationen. Prognose von Kursentwicklungen. Berechnung des monetären Risikos für die Entwicklung des Portfolios. WS 2007/2008 Modellbildung und Simulation 40