Korrelation - Regression. Berghold, IMI

Transkript

1 Korrelation - Regression

2 Zusammenhang zwischen Variablen Bivariate Datenanalyse - Zusammenhang zwischen 2 stetigen Variablen Korrelation Einfaches lineares Regressionsmodell 1. Schritt: Erstellung eines Scatterplots (Streudiagramm)

3 Scatterplot Cholesterin Alter

4 Korrelationsanalyse Mit der Korrelationsanalyse werden Maßzahlen berechnet, um die Stärke eines Zusammenhangs zu quantifizieren. Voraussetzungen: Beide Merkmale sind metrisch skaliert und stetig Die einzelnen Beobachtungseinheiten sind voneinander unabhängig

5 Korrelation Korrelationskoeffizient nach Pearson. Maß für die Stärke eines linearen Zusammenhangs. Liegt zwischen 1 und 1. 1 entspricht einem perfekten positiven Zusammenhang. -1 entspricht einem perfekten negativen Zusammenhang.

6 Korrelationskoeffizient nach Pearson r ( x x)( y y) i = i ( ) 2 x x ( y y) i i 2 = 338, ,3 49,70275 = 0,603

7 Korrelationskoeffizient nach Pearson r 1 r 0. 2 r 0 r 0. 4

8 Korrelationskoeffizient nach Pearson r = 0.8!

9 Monotoner Zusammenhang Korrelationskoeffizient nach Spearman Maß für monotonen Zusammenhang je höher das Alter umso höher das Cholesterin Basiert auf den Rängen der Daten

10 Rangtransformation Rangtransformation , , , , , , , , ,97 Alter Cholesterin Rang Alter Rang Cholesterin

11 Korrelationskoeffizient nach Spearman r s = 6 i= n n d 2 i n n = 30 d i = Rang Alter Rang Cholesterin = = 0,628

12 Unterschied Pearson scher Korrelationskoeffizient misst linearen Zusammenhang Liegen die Punkte auf einer Linie? Wird stark beeinflusst von extremen Beobachtungen Parametrisch (= die ursprünglich beobachteten Werte werden zur Berechnung herangezogen) Spearman scher Korrelationskoeffizient misst monotonen Zusammenhang Je höher das Alter umso höher ist das Cholesterin Robust gegenüber extremen Beobachtungen Nicht-parametrisch (= die rangtransformierten Werte werden zur Berechnung herangezogen)

13 Zusammenhang zwischen Geburtsgewicht und Alter Beispiel 2 Geburtsgewicht in g Alter in Jahren r r s = 0,504 = 0,391

14 Zusammenhang zwischen Geburtsgewicht und Alter Beispiel r = 0,155 Geburtsgewicht in g Alter in Jahren r s = 0,217

15 Lineare Regression Konzise Beschreibung eines statistischen Zusammenhangs Klärung, ob die Wirkung eines Faktors unabhängig von anderen ist Möglichkeit der Prognose für einen einzelnen Patienten

16 Lineare Regression maximal static expiratory pressure weight

17 Definitionen Abhängige Variable (Regressand, response, outcome): Diese Variable soll aus der anderen Variable berechnet werden. y-achse Unabhängige Variable(n) (Regressor, Predictor, erklärende Variable(n)) x-achse Ziel der Regressionsanalyse: Vorhersage, Prediction Methode: Die Abweichungsquadrate der beobachteten Werte zur Regressionsgeraden sollen minimiert werden

18 Methode der Kleinsten Quadrate ( x 1, y1 ), ( x2, y2 ),...,( x n, y n )... Paare von Messungen metrischer Größen x i... unabhängige / erklärende Variable; Regressor y i... abhängige Variable; Regressand Für die Berechnung der abhängigen Variablen soll die Gerade so liegen, dass die Streuung der beobachteten Werte um diese Gerade möglichst klein ist. Diese Gerade ist die Regressionsgerade.

19 Methode der Kleinsten Quadrate Für den Zusammenhang zwischen und soll folgendes i i Modell gelten: y i = β 0 + β1x i + ε i i = 1,2,..., n x y und β sind die Regressionskoeffizienten β0 1 ist die Konstante (Intercept) in der Regressionsgerade β 0 ist die Steigung der Regressionsgeraden β 1 Die Regressionsgerade verläuft durch den Schwerpunkt ( x, y)

20 Methode der Kleinsten Quadrate maximal static expiratory pressure β Residuum ( x, y) β weight

21 Methode der Kleinsten Quadrate Q ˆ β 1 n = i= 1 ( β β ) min β β y i x i ( x )( ) i x yi y ( x x) = 2 i 0, 1 ˆ β 0 = y β1x

22 Methode der Kleinsten Quadrate heißen Residuen der Regression heißen Prognosewerte der Regression Beispiel: ˆ ( ˆ β + ˆ β x ) r i = y i y i = y i 0 1 ˆ ˆ ˆ yi = β 0 + β1x i ˆ β = 66,181 0 ˆ β = 1,087 1 i

23 SPSS-output Modell 1 Modellzusammenfassung Standardf Korrigiertes ehler des R R-Quadrat R-Quadrat Schätzers,879 a,772,743 2,954 a. Einflußvariablen : (Konstante), Körpergröße in cm Modell 1 Regression Residuen Gesamt ANOVA b Quadrats Mittel der umme df Quadrate F Signifikanz 236, ,201 27,072,001 a 69, , ,000 9 a. Einflußvariablen : (Konstante), Körpergröße in cm b. Abhängige Variable: Körpergewicht in kg Modell 1 (Konstante) Körpergröße in cm Nicht standardisierte Koeffizienten a. Abhängige Variable: Körpergewicht in kg Koeffizienten a Standardisie rte Koeffizienten 95%-Konfidenzintervall für B Standardf B ehler Beta T Signifikanz Untergrenze Obergrenze -93,243 31,388-2,971, ,624-20,862,912,175,879 5,203,001,508 1,316

24 Voraussetzungen Die Werte der Outcome-Variablen Y (bei uns weight ) sollten normalverteilt sein für jeden Wert der erklärenden Variablen X. Die Variabilität von Y (entspricht der Varianz bzw. der Standardabweichung) sollte gleich sein für jeden Wert von X. Varianzhomogenität Der Zusammenhang zwischen X und Y sollte linear sein.

25 Überprüfung Visuelle Inspektion des Scatterplots; Plot der Residuen vs. vorhergesagte Werte zufällige Verteilung der Daten; Wenn die Voraussetzungen zutreffen folgen die Resdiuen einer Normalverteilung - NQQ Plot.

26 Bestimmtheitsmaß Maß für die Güte der Anpassung = Bestimmtheitsmaß ˆ 2 i ( y y) R = = 2 2 yˆ ( ) 2 2 y y s i s y Gibt den Anteil der Varianz der Daten an, welche durch das Modell erklärt wird. 0 R 2 1

27 Residuenanalyse Unstandardized Residual weight

28 Konfidenzbänder nder Die Berechnung der Regressionsgerade beruht auf den Daten Die berechneten Werte gelten nur für den Bereich, in welchem Beobachtungen vorhanden sind. Natürlich muss auch auf die Qualität der Daten geachtet werden.

29 Konfidenzbänder nder maximal static expiratory pressure weight

30 Unterschied Korrelation - Regression Korrelation beschreibt die Stärke eines linearen oder monotonen Zusammenhangs Regression beschreibt eine Ursache- Wirkungs-Beziehung

31 Multiple lineare Regression Es gibt mehrere unabhängige Variablen y = β + β x + β x β k x k