Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang

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1 Universität Ulm Fakultät für Mathematik und Wirtschaftswissenschaften Gaußsche Prozesse - ein funktionalanalytischer Zugang Bachelorarbeit in Wirtschaftsmathematik vorgelegt von Clemens Kraus am 31. Mai 14 Gutachter Prof. Dr. Wolfgang Arendt Dr. Markus Kunze

2 Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie Zufallsvektor, Erwartungswert und Varianz Unabhängigkeit Charakteristische Funktion Gaußsche Zufallsvariablen, Zufallsvektoren und Prozesse Gaußsche Zufallsvariablen Gaußsche Vektoren Gaußsche Prozesse Isonormale Prozesse Eigenschaften isonormaler Prozesse Existenz eines isonormalen Prozesses Existenz Gaußscher Prozesse zu gegebener Kovarianzfunktion Zusammenhang von Kernfunktion und Integraloperator Existenz Gaußscher Prozess Beispiele Gaußscher Prozesse Gebrochene Brownsche Bewegung Brownsche Bewegung Satz von Kolmogorov A. Hilfssätze 51 A.1. Hilfssätze der Funktionalanalysis A.. Hilfssätze der Maßtheorie B. Satz von Mercer 61 B.1. Hilfssätze für den Satz von Mercer B.. Satz von Mercer

3 Einleitung Wer die Finanzmathematik und damit die stochastische Analysis studieren will, für den sind Gaußsche Prozesse unumgänglich. Doch trotz einer Vielzahl von Anwendungen ist es schwer, Literatur zu finden, die einen ausführlichen und mathematisch sauberen Einstieg in die Familie der Gaußschen Prozesse bietet. Daher wird in der folgenden Arbeit der Versuch unternommen, mithilfe funktionalanalytischer Hilfsmittel, genau dieses zu erreichen. Das Hauptproblem bei der Betrachtung von Gaußschen Prozessen besteht im Beweis ihrer Existenz. So wurde die Brownsche Bewegung, die als der bekannteste und wichtigste Gaußsche Prozess angesehen werden kann, schon 188 vom dänischen Mathematiker Thorvald Nicolai Thiele beschrieben, ihre Existenz aber erst 193 durch den Amerikaner Norbert Wiener bewiesen. Wieners Ansatz hat allerdings zwei Nachteile: zum einen ist der Beweis sehr anspruchsvoll und nur schwer zu verstehen und zum anderen deckt er nicht das gesamte Spektrum der Gaußschen Prozesse ab. Wir wollen daher einen Ansatz wählen, der zwar abstrakt ist, uns aber die Existenz der ganzen Familie der Gaußschen Prozesse sichert. Da bei dem Studium von Gaußschen Prozessen Vorkenntnisse aus der Wahrscheinlichkeitstheorie vonnöten sind, diese aber nicht vorausgesetzt werden sollen, wollen wir die Arbeit mit grundlegenden Definitionen und relevanten Sätzen aus diesem Gebiet beginnen. Im zweiten Kapitel wird dann die Normalverteiltheit genauer untersucht. Wir wollen hierbei eine zentrierte, normalverteilte Zufallsvariable aber nicht wie üblich über die Verteilung, sondern über die charakteristische Funktion definieren. Am Ende dieses Abschnitts werden dann Gaußsche Prozesse definiert. Beim Studium von Gaußschen Prozessen erweist sich der Begriff der Kovarianzfunktion als zentral. Diese bestimmt nämlich die endlichdimensionalen Verteilungen - und daher im wesentlichen auch den Gaußschen Prozess - eindeutig. Es stellt sich nun die Frage, welche Eigenschaften muss eine Funktion erfüllen, sodass ein Gaußscher Prozess existiert, der eben diese Funktion als Kovarianzfunktion besitzt. Um das zu beantworten, definieren und studieren wir im dritten Kapitel zunächst die isonormalen Prozesse, mit deren Hilfe dann Gaußsche Prozesse konstruiert werden können. In Kapitel 4 sehen wir 3

4 dann, dass es ausreicht, dass eine Funktion stetig, symmetrisch und positiv semidefinit ist, um mithilfe der isonormalen Prozesse einen Gaußschen Prozess zu definieren, der genau diese Funktion als Kovarianzfunktion besitzt. Wenn man also einen Gaußschen Prozess über seine Kovarianzfunktion definiert, muss nur nachgeprüft werden, dass sie symmetrisch und positiv semidefinit ist, um die Existenz des Gaußschen Prozesses zu zeigen. Umgekehrt erhalten wir in Satz außerdem, dass jede Kovarianzfunktion eines Gaußschen Prozesses symmetrisch und positiv semidefinit ist. Es ist uns nun also möglich, auf recht einfache Art und Weise die Existenz von Gaußschen Prozessen zu gegebener Kovarianzfunktion zu zeigen. Dies wollen wir im fünften Kapitel am Beispiel der oben erwähnten Brownschen Bewegung und der Familie der gebrochenen Brownschen Bewegungen demonstrieren. Außerdem werden einige Besonderheiten der gebrochenen Brownschen Bewegung untersucht. Das Hauptinteresse besteht dabei in dem Nachweis einer Version mit stetigen Trajektorien. Dazu benutzt man den Satz von Kolmogorov, der ein sehr wichtiger Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, und den wir in Kapitel 5 vollständig beweisen. Zum Schluss dieser Einleitung will ich im Besonderen darauf hinweisen, dass diese Arbeit maßgeblich auf einem Manuskript von Dr. Markus Kunze aufbaut. 4

5 Kapitel 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie In diesem Kapitel wollen wir eine Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie geben. Im Abschnitt 1.1. werden einige grundlegende Begriffe definiert (Zufallsvektor, Erwartungswert, Varianz). In Abschnitt 1.. wollen wir die Unabhängigkeit von Zufallsvektoren untersuchen. Im letzten Unterkapitel wird die charakteristische Funktion eines Zufallsvektors definiert und in Relation zur Verteilung und Unabhängigkeit gebracht Zufallsvektor, Erwartungswert und Varianz Definition (Wahrscheinlichkeitsraum, W-Raum) Sei Ω eine Menge, A eine Sigma-Algebra auf Ω und P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (Ω, A), d.h. P ist ein Maß auf (Ω, A) mit P(Ω) 1. Dann heißt (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum oder W-Raum. Definition (Zufallsvektor, Zufallsvariable) Eine messbare Funktion X : (Ω, A, P) (C n, B(C n )), wobei B(C n ) die Borel-Sigma- Algebra auf C n bezeichnet, heißt Zufallsvektor. Falls n1 gilt, bezeichnen wir X als Zufallsvariable. Bildet X nach R n ab, so nennen wir X einen reellwertigen Zufallsvektor bzw. eine reellwertige Zufallsvariable. Bemerkung. Sei X eine Zufallsvariable und k eine natürliche Zahl. Wir schreiben X L k (Ω), falls Ω X k dp <. 5

6 Definition (Verteilung) Sei X ein Zufallsvektor und A B(C n ). Wir definieren µ X (A) : P(X A) und nennen µ X die Verteilung von X. Bemerkung. Es ist bekannt, dass die Verteilung µ X eines Zufallvektors X ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf C n ist. Außerdem ist für eine Funktion f : C n C bekannt: f L 1 (C n, µ X ) genau dann, wenn f X L 1 (Ω, P) und dann gilt f(x)µ X (dx) f XdP C n Ω Definition (Erwartungswert) Für eine Zufallsvariable X L 1 (Ω) definieren wir EX : XdP und bezeichnen EX als den Erwartungswert von X. Bemerkung. Der Erwartungswert ist im Allgemeinen eine komplexe Zahl. Ist allerdings die Zufallsvariable X L 1 (Ω) reellwertig, so ist auch der Erwartungswert reell. Definition (Varianz, Kovarianz) Seien X, Y L (Ω) reellwertige Zufallsvariablen. Wir bezeichnen als die Varianz von X und Ω Var(X) : E(X EX) Cov(X, Y ) : E(X EX)(Y EY ) als die Kovarianz von X und Y. Falls Cov(X, Y ) gilt, so heißen X und Y unkorrelliert. Lemma Seien X, Y, Z L (Ω) reellwertig sowie X 1,..., X n L (Ω) reellwertig. Des weiteren seien a, b C. Dann gilt: (a) E(aX + by ) aex + bey (b) Var X (c) Var X EX (EX) (d) Cov(X, X) Var X 6

7 (e) Cov(aX + by, Z) a Cov(X, Z) + b Cov(Y, Z) (f) Var( n i1 a ix i ) n i, a ia j Cov(X i, X j ) Beweis. Die Aussagen folgen sofort aus der Definition. Definition (Kovarianzmatrix) Sei X (X 1,.., X n ) ein Zufallsvektor mit X j L (Ω) für j 1,..., n. Wir definieren dann die Matrix A (a ij ) R n n durch a ij : Cov(X i, X j ) und nennen sie die Kovarianzmatrix von X. Lemma Sei X : Ω R eine reellwertige Zufallsvariable in L (Ω) mit EX und Var X. Dann gilt X fast sicher. Beweis. Definiere B : {ω Ω : X(ω) } und B n : { ω Ω : X (ω) > n} 1 für n N. Dann gilt offensichtlich B n N B n. Da nun EX gilt, folgt für beliebiges n N mit Lemma Var X EX (EX) EX X dp X dp 1 Ω B n n P(B n) Daraus folgt aber, dass P(B n ) für alle n N und damit ( ) P(B) P B n P(B n ) n N Es ist also P(B) und damit X fast sicher. n1 1.. Unabhängigkeit Ein wesentlicher Begriff in der Wahrscheinlichkeitstheorie ist der der Unabhängigkeit. Wir definieren ihn wie folgt: Definition (unabhängige Zufallsvektoren) Eine Familie von Zufallsvektoren (X i ) i I, wobei I eine beliebige Indexmenge ist, heißt unabhängig, falls für jede nichtleere, endliche Menge J I und beliebige B j B(C n ) mit j J gilt: ( ) P (X j B j ) P(X j B j ) (1.1) j J j J 7

8 Bemerkung. Eine Familie von reellwertigen Zufallsvektoren (X i ) i I ist genau dann unabhängig, wenn Gleichung (1.1) für jede nichtleere, endliche Menge J I und beliebige B j B(R n ) mit j J erfüllt ist. Lemma 1... Sei (X j ) i I eine unabhängige Familie von Zufallsvektoren und (f i ) i I eine Familie von messbaren Abbildungen von C n nach C. Dann ist (f i (X i )) i I eine Familie von unabhängigen Zufallsvariablen. Beweis. Seien J I endlich und nichtleer sowie B j B(C) für j J. Dann gilt ( ) ( ) P (f j (X j ) B j ) P (X j f 1 j (B j )) j J j J j J P(X j f 1 j (B j )) j J P(f j (X j ) B j ) Lemma Seien X, Y L 1 (Ω) unabhängige Zufallsvariablen. Dann ist auch das Produkt XY L 1 (Ω) und es gilt EXY EXEY. Beweis. Es seien nach Voraussetzung X und Y unabhängige Zufallsvariablen. Beh.1: Seien X und Y reellwertig. Dann ist XY L 1 (Ω) und es gilt E(XY ) EXEY. Wir führen den Beweis per algebraischer Induktion. Seien dazu zunächst X und Y einfache Funktionen, d.h. X n i1 a i1 Ai und Y m b j1 Bj mit a i, b j R \ {} und A i, B j A, wobei die a i paarweise verschieden und A i paarweise disjunkt sind und auch b j paarweise verschieden und B j paarweise disjunkt sind. Dann ist offensichtlich XY L 1 (Ω) und durch die Unabhängigkeit von X und Y folgt: ( n ) ( m ) EXY XY dp a i 1 Ai b i 1 Bj dp a i b j 1 Ai B j dp Ω i,j i,j i,j Ω Ω i1 a i b j 1 Ai B j dp a i b j P(A i B j ) Ω i,j a i b j P ( X 1 ({a i }) Y 1 ({b j }) ) a i b j P ( X 1 ({a i }) ) P ( Y 1 ({b j }) ) i,j ( n ) ( m ) a i b j P(A i )P(B j ) a i 1 Ai dp b j 1 Bj dp i1 XdP Y dp EXEY Ω Ω Ω Ω i,j 8

9 Seien nun X, Y. Wir wissen aus der Maßtheorie, dass (X n ) n N und (Y n ) n N mit X n min{ n X, n} und Y n n min{ n Y, n} einfache, monoton wachsende Funktionen n sind mit lim n X n X und lim n Y n Y. Außerdem sind nach Lemma 1.. X n und Y n unabhängig, da min{ n x, n} messbar ist. Es folgt aus dem Satz von Beppo-Levi n über die monotone Konvergenz: ( ) EXY E lim X n lim Y n n n lim X ny n dp n Ω lim X n Y n dp n Ω ( ) ( ) lim X n dp lim Y n dp n Ω n Ω ( ) ( ) lim X ndp lim Y ndp n n Ω EXEY < Also ist XY L 1 (Ω) und es gilt EXY EXEY. Seien nun X,Y beliebige reellwertige Zufallsvariablen. Es ist X X + X und Y Y + Y mit X +, X, Y +, Y. Nach Lemma 1.. sind X + + und Y unabhängig und es folgt: EXY EX + Y + + EX Y EX Y + EX + Y EX + EY + + EX EY EX EY + EX + EY ( EX + EX ) ( EY + EY ) EXEY Beh.: Für X und Y komplexwertig ist XY L 1 (Ω) und es gilt EXY EXEY. Definiere X 1 : Re X, X : Im X, Y 1 : Re Y und Y : Im Y. Für i, j {1, } gilt X i Y j L 1 (Ω) und EX i Y j EX i EY j nach Lemma 1.. sowie Behauptung 1. Da außerdem XY X 1 Y 1 X Y + ix 1 Y + ix Y 1 gilt, ist XY L 1 (Ω) und es folgt EXY E(X 1 Y 1 X Y + ix 1 Y + ix Y 1 ) EX 1 Y 1 EX Y + iex 1 Y + iex Y 1 E(X 1 + ix )E(Y 1 + iy ) EXEY Ω 9

10 Satz Sei I eine beliebige Indexmenge und sei µ i mit i I eine Familie von Verteilungen auf (R, B(R)). Dann existieren ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und unabhängige reellwertige Zufallsvariablen X i : Ω R mit µ Xi µ i für alle i I, wobei µ Xi die Verteilung von X i bezeichnet. Beweis. Definiere Ω i : R und A i B(R). Dann ist (Ω i, A i, µ i ) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definiere außerdem Ω : i I Ω i und es sei A die von den Rechteckmengen erzeugten Sigma-Algebra auf Ω. Nach Satz A..6 existiert ein Maß P auf (Ω, A) derart, dass für jede Rechteckmenge A mit Darstellung A j J A j i/ J Ω i mit J I endlich, gilt: ( ) P Ω i µ j (A j ) j J j J A j i/ J Seien nun X j die Projektionen von Ω auf Ω j, also X j ((ω i ) i I ) : ω j. Beh.1: Für jedes j I gilt µ Xj µ j Seien B B(R) und j I beliebig. Dann gilt ( µ Xj (B) P ( X 1 j (B) ) P B i j Ω i ) µ j (B) Beh.: Die Zufallsvariablen (X i ) i I sind unabhängig. Sei J I endlich und nichtleer und seien B j B(R) für j J. Dann gilt nach Behauptung 1 ( ) ( ( P X 1 j (B j ) P B j )) ( Ω i P B j ) Ω i j J j J i j j J i/ J µ j (B j ) µ Xj (B j ) P ( X 1 j (B j ) ) j J j J j J 1

11 1.3. Charakteristische Funktion Wir führen im folgenden Unterkapitel die charakteristische Funktion eines reellwertigen Zufallsvektors ein. Satz besagt dann, dass die Verteilung eines reellwertigen Zufallsvektors eindeutig durch dessen charakteristische Funktion bestimmt ist. Definition (charakteristische Funktion / Fouriertransformierte) Für einen reellwertigen Zufallsvektor X : Ω R n heißt die Funktion ϕ X : R n C, t e i t,x dp charakteristische Funktion oder Fouriertransformierte von X. Bemerkung. Es gilt nach der Folgerung von Definition insbesondere: ϕ X (t) Ee i t,x e i t,x dp e i t,x µ X (dx) R n Ω Lemma Sei X ein reellwertiger Zufallsvektor mit charakteristischer Funktion ϕ X sowie a R und b R n. Dann gilt für t R n : (a) ϕ X (t) 1 (b) ϕ ax+b (t) ϕ X (at)e i t,b (c) ϕ X ist stetig Ω Beweis. Es gilt (a) ϕ X (t) Ω ei t,x dp Ω ei t,x dp dp 1 Ω (b) ϕ ax+b (t) Ω ei t,ax+b dp e i t,b Ω ei at,x dp ϕ X (at)e i t,b (c) Sei (t n ) n N eine Folge in R n mit lim n t n t. Dann gilt durch die Beschränktheit von e i t,x nach dem Satz von Lebesgue lim ϕ(t n) lim e n n R i tn,x dµ X (x) lim n ei tn,x dµ X (x) R e i t,x dµ X (x) ϕ X (t) Es ist also ϕ X folgenstetig und damit stetig. R 11

12 Satz Sei X L n (Ω) eine reellwertiger Zufallsvariable. Dann ist ϕ X differenzierbar und es gilt n-mal EX n ϕ(n) X () i n Beweis. Wir wollen zunächst eine Formel zur Berechnung der n-ten Ableitung der charakteristischen Funktion herleiten. Beh.1: Für alle 1 k n gilt: ϕ (k) X (t) Ω ik X k e itx dp Wir führen den Beweis per Induktion. Induktionsannahme: Es ist ( d dt) ϕx (t) d dt Ω eitx dp. Wir wollen nun die Voraussetzungen für den Satz über die Differentation von Parameterintegralen A..1 überprüfen. Für t R ist e itx integrierbar über Ω, denn e itx 1 und 1dP 1. Außerdem gilt d Ω dt eitx ixe itx und es ist ixe itx X mit X L 1 (Ω) nach Voraussetzung. Wir können also den Satz über die Differentation von Parameterintegralen anwenden und es ergibt sich: ϕ (1) X (t) d e itx d dp dt Ω Ω dt eitx dp ixe itx dp Ω Induktionsschritt: Aus der Induktionsannahme und dem Satz über die Differentation von Parameterintegralen (Überprüfung der Voraussetzungen verläuft analog) ergibt sich: ϕ (k+1) X (t) d dt ϕ(k) X (t) d dt Ω i k X k e itx dp Beh.: Es gilt ϕ (n) X () EXn für n N Nach Behauptung 1 gilt: ϕ (n) X () Ω Ω i n X n e dp i n i k X k d dt eitx dp Ω X n dp i n EX n Ω i k+1 X k+1 e itx dp Es folgt also ϕ(n) X () i n EX n und damit die Behauptung. 1

13 Lemma Seien X, Y unabhängige und reellwertige Zufallsvariablen. Dann gilt ϕ (X,Y ) (t) ϕ X (t 1 )ϕ Y (t ) für alle t (t 1, t ) R. Beweis. Definiere f : R C, f(x) : e itx mit t R. Dann ist (f X) e itx L 1 (Ω) und (f Y ) e ity L 1 (Ω). Damit folgt aus Lemma 1.. und Lemma 1..3 ϕ (X,Y ) (t) Ee i t,(x,y ) Ee it 1X e it Y Ee it 1X Ee it Y ϕ X (t 1 )ϕ Y (t ) Satz Seien µ und ν Verteilungen auf R n mit R n fdµ R n fdν für alle f C b (R n, C). Dann gilt µ ν. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass µ(k) ν(k) für alle K B(R n ) kompakt. Beh.1: Sei K B(R n ) kompakt. Dann gilt µ(k) ν(k). Definiere f(x) :dist(x, K) inf{ y x : y K}. Dann ist f(x) genau dann, wenn x K. Des weiteren sei f n 1 min{nf, 1}. Dann ist f n C b (R n, C) und es gilt lim n f n 1 K. Aus dem Satz von Lebesgue erhalten wir dann: µ(k) 1 K dµ lim f n dµ lim f n dµ R n R n n n R n lim n R n f n dν R n lim f n dν n Beh.: Es gilt µ(a) ν(a) für alle A B(R n ). R n 1 K dν ν(k) Sei A B(R n ) beliebig. Nach Satz A.. und Behauptung 1 gilt: µ(a) sup{µ(k) : K A kompakt} sup{ν(k) : K A kompakt} ν(a) Daraus folgt aber, dass µ ν gilt. Satz (Eindeutigkeit der charakteristischen Funktion) Seien X und Y reellwertige Zufallsvektoren mit Verteilungen µ X und µ Y. Falls die charakteristischen Funktionen von X und Y für alle t R n übereinstimmen, so ist µ X µ Y. 13

14 Beweis. Seien X und Y Zufallsvektoren mit gleicher charakteristischer Funktion, d.h. R n e i t,x µ X (dx) R n e i t,x µ Y (dx) für alle t R n. Wähle nun f C b (R n, C) und ε > beliebig. Aus µ X (R n ) µ Y (R n ) 1 folgt, dass ein N N existiert, so dass (1 + f )(µ X + µ Y ) (R n \ [ N, N] n ) < ε. Wir bezeichnen fortan [N, N] n als K. Definiere nun B : {g : R n C : g(x) e i t,x, t R n } und n A : { a j g j : a j C, g j B, n N}. Dann gilt für g A nach Voraussetzung, dass R n gdµ X R n gdµ Y. Des weiteren sei A K : {g K : g A}. Dann erfüllt A K die Voraussetzungen des Satzes von Stone- Weierstrass und ist demnach dicht in C b (K, C). Es existiert also ein g K A K mit δ : g K f K < min ( 1, ε 4), wobei fk : f K. Wähle nun g A mit g K g K. Durch die Periodizität von g ergibt sich bei genügend großem K, dass g g K g K f K + f K f + 1 Also gilt f g f + g f + 1 und wir erhalten insgesamt: f(x)µ X (dx) f(x)µ Y (dx) R n R n f(x)µ X (dx) g(x)µ X (dx) + g(x)µ X (dx) R n R n R n g(x)µ Y (dx) + f(x)µ Y (dx) g(x)µ Y (dx) R n R n R n f(x) g(x) (µ X + µ Y )(dx) + f(x) g(x) (µ X + µ Y )(dx) [ N,N] n R\[ N,N] n δ(µ X + µ Y )(dx) + f g (µ X + µ Y )(dx) [ N,N] n R n \[ N,N] n δ(µ X + µ Y )(R n ) + ( f + 1) (µ X + µ Y ) (R n \ [ N, N] n ) ε + ε ε Da nun aber ε beliebig gewählt wurde, folgt, dass fµ R n X fµ R n Y für alle stetigen, beschränkten Funktionen f : R n C. Dann ergibt sich aber nach Satz 1.3.5, dass µ X µ Y. 14

15 Satz Seien X 1,..., X n reellwertige Zufallsvariablen mit Verteilungen µ X1,..., µ Xn. Außerdem sei µ (X1,...,X n) die Verteilung des Zufallsvektors (X 1,..., X n ). Dann sind folgende Aussagen äquivalent (i) X 1,..., X n sind unabhängig (ii) Für alle beschränkten und messbaren Funktionen g 1,..., g n : R C gilt: E n g j (X j ) n Eg j (X j ) (iii) Für die charakteristische Funktion ϕ gilt: ϕ (X1,...,X n)(t 1,..., t n ) ϕ X1 (t 1 )... ϕ Xn (t n ) (iv) Für die Verteilung des Zufallsvektors (X 1,..., X n ) gilt: µ (X1,...,X n) µ X1... µ Xn Beweis. (i) (ii) : folgt aus Lemma 1.. und Lemma (ii) (iii) : folgt aus Lemma (iii) (iv) : Nach dem Satz von Fubini folgt e i t,x d µx1... µ Xn e it 1x... e itnx d µx1... d µxn R n R n... e it 1x... e itnx d µx1... d µxn R R ϕ X1 (t 1 )... ϕ Xn (t n ) Damit folgt die Behauptung aus Satz (iv) (i) : Seien B 1,..., B n beliebige Borel-Mengen. Dann gilt P(X 1 B 1,..., X n B n ) µ (X1,...,X n)(b 1... B n ) Also sind X 1,..., X n unabhängig. (µ X1... µ Xn )(B 1... B n ) P(X 1 B 1 )... P(X n B n ) 15

16 Kapitel. Gaußsche Zufallsvariablen, Zufallsvektoren und Prozesse Wir beginnen das Kapitel mit der Definition von Gaußschen Zufallsvariablen. Von besonderem Interesse ist die Tatsache, dass die Summe von unabhängigen Gaußschen Zufallsvariablen wieder Gaußsch ist. Im zweiten Abschnitt führen wir Gaußsche Zufallsvektoren ein und zeigen, dass für Gaußsche Vektoren Unkorrelliertheit und Unabhängigkeit übereinstimmen. Ziel des dritten Abschnitts ist die Definition von Gaußschen Prozessen, die als Abbildung der Indexmenge [, 1] nach L (Ω) aufgefasst werden..1. Gaußsche Zufallsvariablen Sei im Folgenden (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definition.1.1. (Gaußsche Zufallsvariable) Eine Zufallsvariable X : Ω R heißt Gaußsch, falls ein σ [, ) so existiert, dass die charakteristische Funktion ϕ X von X gegeben ist durch ϕ X (t) Ee itx e t σ. Man schreibt dann X N(, σ ) und sagt, dass X N(, σ )-verteilt ist. Bemerkung. In den meisten Lehrbüchern wird eine Gaußsche Zufallsvariable über die Verteilung eingeführt. Wir wollen das aber hier nicht machen, da eine Betrachtung über die charakteristische Funktion oftmals einfacher ist. Um die Äquivalenz der Definitionen einzusehen, sei daran erinnert, dass wir in Kapitel 1 gezeigt haben, dass die charakteristische Funktion die Verteilung eindeutig bestimmt. 16

17 Bemerkung. Im nächsten Satz weisen wir zunächt einmal nach, dass es eine Gaußsche Zufallsvariable überhaupt gibt. Wir konstruieren also einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R so, dass X Gaußsche Zufallsvariable ist. Satz.1.. Sei σ beliebig. Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und auf ihm eine Funktion X : Ω R derart, dass X eine N(, σ )-verteilte Zufallsvariable ist. Des weiteren existiert für jedes n N der Erwartungswert von X n. Beweis. Definiere Ω : R, A : B(R) und für B B sei 1 P(B) : 1 πσ e σ x dx Beh.1: (Ω, A, P) ist ein Wahrscheinlichkeitsraum B Aus dem Satz über monotone Konvergenz folgt, dass P ein Maß auf (Ω, A) ist. Wir müssen also nur noch nachweisen, dass P(Ω) 1 gilt. Mithilfe der bekannten Gleichung R e x dx π ergibt sich: P(Ω) R 1 πσ e 1 σ x dx 1 σ e x dx 1 πσ R Es ist also (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Definiere nun X : (Ω, A, P) (R, B(R)) durch X(ω) ω. Dann ist X eine messbare Funktion und damit eine Zufallsvariable. Es gilt noch zu zeigen, dass X N(, 1). Beh.: X ist eine N(, σ )-verteilte Zufallsvariable. Wir müssen nun also nachweisen, dass für die charakteristische Funktion ϕ X von X gilt, dass ϕ X (t) e t σ für alle t R gilt. Es ist X eine messbare Funktion und f : R C, f(t) e itx messbar und beschränkt, also f X L 1 (Ω). Dann folgt mit dem Satz über die Differentation von Paramterintegralen A..1: d dt ϕ X(t) d e itx dp dt Ω d Ω dt eitx dp ( ) d e itx 1 1 R dt πσ e σ x dx i xe itx e 1 σ x dx πσ R 17

18 i [ σ e itx e 1 x σ πσ + tσ tσ R Ω tσ ϕ X (t) 1 πσ eitx e 1 σ x dx e itx dp i itσ e itx e 1 σ x dx πσ R Um die charakteristische Funktion von X zu berechnen, müssen wir nun also die Differentialgleichung d dt ϕ X(t) tσ ϕ X (t) mit dem Anfangswert ϕ X () 1 lösen. Sei nun ϕ X (t) : e t σ. Dann gilt d ϕ dt X(t) tσ e t σ tσ ϕ X (t) und ϕ X () 1. Dass diese Lösung eindeutig ist, erhält man dann aus dem Satz von Picard-Lindelöf [Heu9, Satz 1.]. Es ist also X eine N(, σ )-verteilte Zufallsvariable. Beh.3: Für n N existiert EX n. Sei n N beliebig. Dann gilt E X n X n dp Es folgt also die Behauptung. Ω R 1 xn 1 πσ e σ x dx < Bemerkung. Da die charakteristische Funktion die Verteilung eindeutig bestimmt, gilt also X L n (Ω) für jede Gaußsche Zufallsvariable X und jedes n N. Korollar.1.3. Es existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum derart, dass es auf ihm eine Folge von unabhängigen, N(, 1)-verteilten Zufallsvariablen gibt. Beweis. Folgt direkt aus Satz.1. und Satz Bemerkung. Wir wissen nun also, dass Gaßsche Zufallsvariablen existieren. Im Folgenden werden nun einige wichtige Eigenschaften untersucht. Satz.1.4. Sei X eine Zufallsvariable mit X N(, σ ). Dann ist { EX k k ungerade (k 1)!!σ k k gerade, wobei (k 1)!! : (k 1)(k 3) (k (k 1)). Insbesondere gilt also EX sowie Var(X) σ. 18

19 Beweis. Wir zeigen zunächst eine Formel zur Berechnung der Ableitung der charakteristischen Funktion von X. Beh.1: ϕ (k) X (t) (k 1)σ ϕ (k ) X (t) tσ ϕ (k 1) X für k Wir führen den Beweis per Induktion. Induktionsannahme: Induktionsschritt: ϕ (k+1) X ϕ () X (t) σ e t σ + t σ 4 e t σ (t) d dt ϕ(k) X (t) d ( dt σ e t σ tσ ( tσ e t σ ) ϕ () X (t) tσ ϕ (1) X (t) (k 1)σ ϕ (k ) X (k 1)σ ϕ (k 1) X ) (t) tσ ϕ (k 1) X (t) (t) σ (ϕ (k 1) X (t) + tϕ (k) X (t)) kσ ϕ (k 1) X (t) tσ ϕ (k) X (t) Somit ist die oben behauptete Formel bewiesen. Insbesondere folgt, dass ϕ (k) X (t) für alle k N endlich ist. Es sei vor der nächsten Bemerkung daran erinnert, dass X L k (Ω) für jedes k N. Beh.: EX k für k ungerade Beweis per Induktion: Induktionsannahme: Für k 1 ergibt sich aus Satz 1.3.3, dass EX ϕ(1) X () i tσ i e t σ Induktionsschritt: Sei k + 1 ungerade. Es gilt nach Satz 1.3.3, der Behauptung 1 und 19

20 der Induktionsannahme EX k+1 ϕ(k+1) X () i k+1 1 ( i k+1 kσ ϕ (k 1) X 1 i k+1 kσ ϕ (k 1) X () (t) tσ ϕ (k) X (t) ) Beh.3: EX k (k 1)!!σ k für k gerade Beweis per Induktion: Induktionsannahme: Für k folgt aus Satz 1.3.3, dass EX ϕ() X () ( d ( tσ e t σ i dt (σ e t σ t σ 4 e t σ ) ) ) σ Induktionsschritt: Sei k + 1 gerade. Es gilt nach Satz und der vorherigen Behauptung EX k+1 1 i k+1 kσ ϕ (k 1) X () 1 1 i ϕ(k 1) ik 1 X ()kσ kσ EX k 1 kσ (k )!!σ k 1 Damit ist der Satz vollständig bewiesen. k!!σ k+1 Lemma.1.5. Seien X, Y unabhängige Zufallsvariablen mit X N(, σx ) und Y N(, σy ) sowie a, b R. Dann ist ax + by Gaußsche Zufallsvariable mit ax + by N(, a σ X + b σ Y ) Beweis. Aus Lemma 1.3. und Satz folgt ϕ ax+by (t) ϕ ax (t)ϕ by (t) ϕ X (at)ϕ Y (bt) e (at) σ X e (bt) σ Y e (a σ X +b σ Y )t

21 Damit folgt nach Definition der Gaußschen Zufallsvariable aber sofort die Behauptung. Lemma.1.6. Seien X und X n Zufallsvariablen mit X n N(, σn) für n N. Es bezeichne µ X die Verteilung von X und µ Xn die Verteilung von X n und für alle f C b (R) gelte lim f(x)dµ Xn (x) f(x)dµ X (x) n R R Dann konvergiert die Folge (σ n) n N gegen ein σ und es gilt X N(, σ ). Beweis. Beh.1: Die Folge (σ n) n N konvergiert. Es gilt nach Voraussetzung ϕ X (t) e itx dµ X (x) lim e R n R itx dµ Xn (x) lim e σn t n Also existiert lim n e σ n t für alle t R und damit insbesondere lim n e σ n. Angenommen es gilt nun lim n e σ n. Dann folgt { ϕ X (t) lim e σn t für t n 1 für t Insbesondere ist die charakteristische Funktion nicht stetig, was im Widerspruch zu Lemma 1.3. steht. Es ist also lim n e σ n > und aus der Stetigkeit des Logarithmus folgt dann ( log und damit die Behauptung. lim n e σ n ) lim n log ( e σ n Beh.: Es ist X N(, σ ), wobei σ : lim n σ n. ) lim n σ n Es gilt nach den obigen Berechnungen und durch die Stetigkeit der Exponentialfunktion Daraus folgt aber die Behauptung. e σ t lim e σn t ϕ X (t) n 1

22 .. Gaußsche Vektoren Nachdem wir im ersten Abschnitt nur Gaußsche Zufallsvariablen betrachtet haben, definieren wir nun auch eine Klasse von Zufallsvektoren als Gaußsch. Definition..1. (Gaußscher Vektor) Ein Zufallsvektor X (X 1,, X n ) : Ω R n heißt Gaußscher Vektor, falls für alle α 1,, α n R die Summe n α jx j eine Gaußsche Zufallsvariable ist. Bemerkung. Sei X (X 1,, X n ) ein Zufallsvektor. Ist X Gaußsch, so sind insbesondere X 1,, X n Gaußsche Zufallsvariablen. Andererseits gilt: Sind X 1,, X n unabhängige Gaußsche Zufallsvariablen, so ist nach Lemma.1.5 auch n α jx j Gaußsch für alle α 1,, α n R. Also ist X ein Gaußscher Vektor. Es sei allerdings darauf hingewiesen, dass für Gaußsche Zufallsvariablen X und Y der Zufallsvektor (X, Y ) im Allgemeinen nicht Gaußsch ist. Lemma... Sei X (X 1,, X n ) ein Gaußscher Vektor. Dann ist für jede Matrix A R m n auch AX ein Gaußscher Vektor, d.h. jede lineare Transformation eines Gaußschen Vektors ist ein Gaußscher Vektor. Beweis. Sei X ein Gaußscher Vektor und A R m n. Dann gilt für beliebige β 1,, β m R: ) ( m m n m ) β j (AX) j a jk X k β j a jk X k β j ( n k1 Dies ist eine Gaußsche Zufallsvariable, da X ein Gaußscher Vektor ist und somit ist AX ein Gaußscher Vektor. Lemma..3. Sei X (X 1,, X n ) ein Gaußscher Vektor und A die Kovarianzmatrix von X. Dann gilt für alle t R n k1 ϕ X (t) Ee i X,t e 1 At,t. Beweis. Sei t R n beliebig. Dann ist X, t j t jx j eine Gaußsche Zufallsvariable. Daher gilt nach Definition ϕ X,t (1) Ee i X,t e 1 σ (t), wobei σ (t) Var( X, t ). Nun gilt nach Lemma n n Var( X, t ) Var( t j X j ) t i t j Cov(X i, X j ) At, t Das ist gerade die Behauptung. i,

23 Satz..4. Sei X (X 1,, X n ) ein Gaußscher Vektor. Dann sind X 1,, X n unabhängig genau dann, wenn X 1,, X n paarweise unkorrelliert sind. Beweis. Seien zunächst X 1,, X n unabhängig und seien i, j {1,, n} mit i j. Dann gilt nach Lemma 1..3, dass EX i X j EX i EX j. Daraus folgt dann aber Cov(X i, X j ) EX i X j EX i EX j EX i EX j EX i EX j Also sind X 1,, X n paarweise unkorrelliert. Umgekehrt seien nun X 1,, X n paarweise unkorrelliert und es sei EXj ist die Kovarianzmatrix A von X gegeben durch σ1... : σ j. Dann Mit Lemma..3 folgt dann, dass ϕ X (t) Ee i X,t e 1 At,t e 1 σ n n σ j t j n Nach Satz sind somit X 1,, X n unabhängig. e 1 σ j t j n Ee it jx j n ϕ Xj (t j ) Bemerkung. Der vorherige Satz ist im Allgemeinen falsch, falls zwar X 1,..., X n Gaußsche Zufallsvariablen sind, (X 1,..., X n ) aber kein Gaußscher Vektor ist..3. Gaußsche Prozesse Im folgenden Unterkapitel werden Gaußsche Prozesse definiert. Um die Definition aber verstehen zu können, wird zunächst der Begriff des stochastischen Prozesses eingeführt. Definition.3.1. (stochastischer Prozess) Es sei I R ein Intervall. Wir nennen eine Funktion X : I L (Ω) einen stochastischen Prozess. Definition.3.. (unabhängige Zuwächse) Wir sagen, dass ein stochastischer Prozess X unabhängige Zuwächse besitzt, falls für beliebige t 1 t... t n I die Zufallsvariablen X(t ) X(t 1 ),..., X(t n ) X(t n 1 ) unabhängig sind. 3

24 Definition.3.3. (Kovarianzfunktion) Für einen stochastischen Prozess X : I L (Ω) definieren wir die Kovarianzfunktion durch k : I I R, k(s, t) Cov(X(s), X(t)). Definition.3.4. (Gaußscher Prozess) Ein stochastischer Prozess X : I L (Ω) heißt Gaußscher Prozess, falls für eine beliebige Wahl von t 1,, t n I der Zufallsvektor (X(t 1 ),, X(t n )) Gaußsch ist. Bemerkung. Der Einfachheit halber werden wir im Folgenden immer das Intervall [, 1] betrachten. Bemerkung. Bei einem Gaußschen Prozess X (X(t)) t [,1] ist also insbesondere für beliebiges t [, 1] die Zufallsvariable X(t) Gaußsch. Bemerkung. Ein Gaußscher Prozess ist durch die Kovarianzfunktion eindeutig bestimmt im Sinne von endlich-dimensionalen Verteilungen. Das heißt, dass die endlichdimensionalen Verteilungen von zwei Gaußschen Prozessen, die die gleiche Kovarianzfunktion besitzen, übereinstimmen. Lemma.3.5. Sei X (X(t)) t [,1] ein Gaußscher Prozess. Dann besitzt X genau dann unabhängige Zuwächse, wenn die Zuwächse unkorrelliert sind. Beweis. Seien t 1 t n [, 1] beliebig. Dann ist (X(t 1 ),, X(t n )) Gaußscher Vektor und damit nach Lemma.. auch (X(t ) X(t 1 ),, X(t n ) X(t n 1 )). Folglich ergibt sich das Lemma aus Satz..4. 4

25 Kapitel 3. Isonormale Prozesse Nachdem im letzten Kapitel der Begriff der Kovarianzfunktion eingeführt wurde und wir bemerkten, dass die Kovarianzfunktion die endlich-dimensionalen Verteilungen von Gaußschen Prozessen eindeutig bestimmt, wollen wir nun einen Schritt weiter gehen. Es stellt sich die Frage, für welche reellwertigen Funktionen es einen Gaußschen Prozess gibt, sodass deren Kovarianzfunkion mit der gegebenen Funktion übereinstimmt. Um dies genauer untersuchen zu können, erweisen sich die isonormalen Prozesse als sehr hilfreich, die wir im folgenden Kapitel einführen. Als Hauptresultat erhalten wir in diesem Abschnitt die Existenz von isonormalen Prozessen auf separablen Hilberträumen. Daraus bekommen wir dann eine Anleitung zur Konstruktion eines Gaußschen Prozesses auf L [, 1] Eigenschaften isonormaler Prozesse Definition (H-isonormaler Prozess) Sei H ein Hilbertraum und (Ω, Σ, P ) ein W -Raum. Ein H-isonormaler Prozess auf Ω ist eine Abbildung W : H L (Ω) mit 1. Für jedes h H ist W(h) eine Gaußsche Zufallsvariable. Für alle h 1, h H gilt: W(h 1 ), W(h ) h 1, h Bemerkung. Für einen H-isonormalen Prozess W gilt nach Definition des Skalarprodukts auf L (Ω), dass W(h 1 ), W(h ) EW(h 1 )W(h ). Lemma Sei H ein Hilbertraum und W ein H-isonormaler Prozess. Dann ist W linear und isometrisch. 5

26 Beweis. Folgt direkt aus Lemma A Existenz eines isonormalen Prozesses Im ersten Teil des Kapitels wurden isonormale Prozesse definiert und deren Linearität und Isometrie beobachtet. Dennoch ist es noch nicht klar, auf welchen Räumen es isonormale Prozesse überhaupt gibt. Wir zeigen nun, dass für separables H ein H- isonormaler Prozess existiert. Satz (Existenz H-isonormaler Prozesse) Ist H ein separabler Hilbertraum, so gibt es einen H-isonormalen Prozess. Beweis. Nach der Bemerkung zu Satz.1. gibt es einen Wahrscheinlichkeitsraum derart, dass auf ihm eine Folge von unabhängigen, N(, 1)-verteilten Zufallsvariablen existiert. Seien nun (Ω, A, P) ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum und (γ n ) n N eine solche Folge und sei (e n ) n N eine Orthonormalbasis von H. Es sei im Folgenden W(h) durch W(h) : n γ n h, e n definiert. Beh.1: W(h) L (Ω) Sei h H beliebig und W k (h) : k n1 γ n h, e n L (Ω). Wir zeigen, dass W k eine Cauchy-Folge in L (Ω) bildet. Sei also ε > beliebig. Da (e n ) n N eine Orthonormalbasis von H bildet, gilt nach der Besselschen Ungleichung n h, e n h. Folglich existiert ein N N so, dass für alle p N gilt: N+p h, e n < ε nn Da die γ n unabhängig und N(, 1)-verteilt sind, folgt außerdem mit Lemma 1..3 γ j, γ k Eγ j γ k Eγ j Eγ k δ jk 6

27 Damit ergibt sich aber für N, p wie oben W N+p (h) W N (h) L ε N+p nn+1 N+p nn+1 N+p nn+1 N+p nn+1 γ n h, e n γ n h, e n, L N+p mn+1 h, e n γ n, γ n h, e n γ m h, e m Es ist also W k (h) Cauchy-Folge in L (Ω) und aufgrund der Vollständigkeit von L (Ω) existiert W(h) und es gilt W(h) L (Ω). Beh.: W(h) ist Gaußsche Zufallsvariable Die γ n sind unabhängig und N(, 1)-verteilt. Also folgt aus Lemma.1.5 k k W k (h) γ n h, e n N(, h, e n ) n1 Wir wollen nun Lemma.1.6 anwenden und überprüfen daher die Voraussetzungen. (i) Aus dem Beweis der vorherigen Behauptung ergibt sich, dass W k (h) in L (Ω) gegen W(h) konvergiert. Nach Lemma A..4 existiert also eine Teilfolge W kj (h), die fast sicher gegen W(h) konvergiert. Wir bekommen nun aus Lemma A..3, dass für alle f C b (R) gilt lim j R f(x)dµ Wkj (h)(x) R n1 f(x)dµ W(h) (x) (ii) Wir erhalten aus der Besselschen Ungleichung A.1.1, dass n1 h, e n h. Also konvergiert die Reihe n1 h, e n. Wir haben nun also die Voraussetzungen von Lemma.1.6 überprüft und es folgt W(h) N(, h, e n ) n1 7

28 Beh.3: W(h 1 ), W(h ) h 1, h Seien h 1, h H. Es gilt γ j, γ k δ jk und damit folgt: W(h 1 ), W(h ) EW(h 1 )W(h ) [( n ) ( n )] lim E γ j h 1, e j γ k h, e k n lim n k1 n h 1, e j h, e j h 1, h Bemerkung. Nachdem wir nun wissen, dass es für ein Intervall I [, ] einen L (I)- isometrischen Prozess W : L (I) L (Ω) gibt, können wir auf einfache Art und Weise einen Gaußschen Prozess X : I L (Ω) konstruieren. Proposition 3... (Konstruktion eines Gaußschen Prozesses) Sei I [, ] ein Intervall und sei W : L (I) L (Ω) ein L (I)-isometrischer Prozess. Außerdem sei F C(I, L (I)). Definiere X : I L (Ω) durch X W F. Dann ist X ein Gaußscher Prozess und es gilt X C(I, L (Ω)). Beweis. Definiere X : I L (Ω) durch X W F. Seien außerdem t 1,.., t n I und c 1,.., c n R beliebig. Dann gilt nach der Linearität von W, dass n c k X(t k ) k1 n n c k W(F (t k )) W( c k F (t k )). k1 k1 Da aber W( n k1 c kf (t k )) nach Definition des isonormalen Prozesses Gaußsch ist, ist auch n k1 c kx(t k ) Gaußsch. Nach Definition ist also X ein Gaußscher Prozess. Weiterhin ist X als Komposition der stetigen Abbildung F mit der isometrischen Abbildung W stetig. 8

29 Kapitel 4. Existenz Gaußscher Prozesse zu gegebener Kovarianzfunktion Dieses Kapitel kann als das Hauptkapitel der Arbeit angesehen werden. Wir wollen im ersten Abschnitt die Begriffe formpositiv, positiv semidefinit und symmetrisch einführen und den Zusammenhang zwischen der Kernfunktion und ihres zugehörigen Integraloperators auf L [, 1] untersuchen. So erhalten wir, dass die Kernfunktion genau dann symmetrisch und positiv semidefinit ist, wenn der zugehörige Integraloperator symmetrisch und formpositiv ist. In Satz 4..1 wird gezeigt, dass es für jede symmetrische und positiv semidefinite Funktion k C([, 1] ) einen Gaußschen Prozess (X(t)) t [,1] mit Kovarianzfunktion k gibt. Es sei darauf hingeweisen, dass man zum Beweis dieses Satzes den Satz von Mercer benötigt, der in Anhang B aufgeführt und bewiesen wird Zusammenhang von Kernfunktion und Integraloperator Um die Existenz von Gaußschen Prozessen zu gegebener Kovarianzfunktion untersuchen zu können, müssen wir zunächst mehr über den Zusammenhang von Kernfunktion und Integraloperator wissen. Definition (positiv semidefinit) Eine Funktion k : A R mit A R heißt positiv semidefinit, falls für beliebige a 1,.., a m R und für beliebige t 1,.., t m A gilt: m a i a j k(t i, t j ) i, 9

30 Bemerkung. Üblicherweise heißt eine Funktion k positiv, falls k gilt. Wie die folgenden Beispiele zeigen, sind die Begriffe positiv und positiv semidefinit unabhängig. Beispiel. Sei f : R R eine beliebige Funktion. Definiere k : R R, k(s, t) f(s)f(t). Dann ist k positiv semidefinit, denn für a 1,.., a m R sowie t 1,.., t m R gilt: m k(t 1, t 1 ) k(t 1, t m ) a 1 a i a j k(t i, t j ) (a 1,.., a m ) i, k(t m, t 1 ) k(t m, t m ) a m f(t 1 )f(t 1 ) f(t 1 )f(t m ) a 1 (a 1,.., a m ) f(t m )f(t 1 ) f(t m )f(t m ) a m f(t 1 ) a 1 (a 1,.., a m ). (f(t 1 ),.., f(t m )). f(t m ) (a 1,.., a m ), (f(t 1 ),.., f(t m ) Allerdings gilt für f(x) x, dass k( 1, 1) f( 1)f(1) 1 <. k ist also nicht positiv. Beispiel. Sei k(s, t) : s t. Dann ist k positiv. Allerdings ist für a 1 : t 1 : 1 und a : t : 1 a i a j k(t i, t j ) (1)(1) ( 1)(1) (1)( 1) 1 ( 1) i, Also ist k nicht positiv semidefinit. + ( 1)( 1) 1 ( 1) 4 < Definition (symmetrische Funktion) Eine Funktion k : A R mit A R heißt symmetrisch, falls für alle s, t A gilt k(s, t) k(t, s) Satz Sei (X(t)) t [,1] ein Gaußscher Prozess. Dann ist die Kovarianzfunktion k symmetrisch und positiv semidefinit. a m 3

31 Beweis. Beh.1: Die Kovarianzfunktion k ist symmetrisch. Seien s, t [, 1] beliebig. Dann gilt k(s, t) EX(s)X(t) EX(t)X(s) k(t, s) Beh.: Die Kovarianzfunktion k ist positiv semidefinit. Seien t 1,..., t n [, 1] und a 1,..., a n R beliebig. Aus den Rechenregeln für Varianz und Kovarianz sowie der Tatsache, dass EX(t j ) für j 1,..., n, folgt n a i a j k(t i, t j ) i, n a i a j E (X(t i )X(t j )) i, n a i a j Cov (X(t i ), X(t j )) i, ( n ) Var a i X(t i ) i1 Also ist k positiv semidefinit. Definition (symmetrischer Operator) Ein linearer Operator Q : H H eines Hilbertraumes H heißt symmetrisch, falls für alle f, g H gilt: Qf, g f, Qg Satz Sei k C([, 1] ). Dann ist k genau dann symmetrisch, wenn der zugehörige Integraloperator symmetrisch ist. Q k : L ([, 1]) L ([, 1]), Q k (f) : 1 k(, t)f(t)dt 31

32 Beweis. Beh.1: Sei k symmetrisch. Dann ist Q k symmetrisch. Seien f, g L ([, 1]). Dann gilt durch die Symmetrie von k und nach dem Satz von Fubini: Q k (f), g Q(f)(s)g(s)ds ( 1 ) k(s, t)f(t)dt g(s)ds ( 1 ) k(s, t)g(s)ds f(t)dt ( 1 ) k(t, s)g(s)ds f(t)dt f(t)q k (g)(t)dt f, Q k (g) Also folgt die Behauptung. Beh.: Sei Q k symmetrisch. Dann ist k symmetrisch Definiere h : [, 1] R durch h(s, t) k(s, t) k(t, s). Dann gilt wegen der Symmetrie von Q k für beliebige f, g L [, 1] Q k f, g f, Q k g k(s, t)f(t)g(s)dtds 1 1 (k(s, t) k(t, s))f(t)g(s)dtds h(s, t)f(t)g(s)dtds f(t)k(t, s)g(s)dsdt Angenommen es existieren x, y [, 1] derart, dass h(x, y) >. Dann gibt es ein ε > mit h(x, y) > ε. Da nun h stetig ist, existieren Intervalle I, J [, 1] mit x I, y J, I >, J > und h(s, t) > ε für alle s I, t J. Dann gilt aber für die 3

33 Funktionen f : 1 I L [, 1] und g : 1 J L [, 1], dass 1 1 h(s, t)f(t)g(s)dtds 1 1 ε I J > h(s, t)1 I (t)1 J (s)dtds Das ist aber ein Widerspruch. Analog kann man zeigen, dass h(s, t) < nicht möglich ist. Also ist h und damit k(s, t) k(t, s) für alle s, t [, 1]. Definition (formpositiver Operator) Ein linearer Operator Q : H H eines reellen Hilbertraumes H heißt formpositiv, falls für alle f H gilt: Qf, f Satz Sei k C([, 1] ). Dann ist k genau dann positiv semidefinit, wenn der zugehörige Integraloperator formpositiv ist. Q k : L ([, 1]) L ([, 1]), Q k (f) : 1 k(, t)f(t)dt Beweis. Sei zunächst k positiv semidefinit. Wir zeigen, dass dann Q k formpositiv ist. Beh.1: Für f C([, 1]) gilt Q k (f), f Sei f C([, 1]). Es gilt Q k (f), f 1 1 k(s, t)f(t)f(s)dsdt. Sei nun s <.. < s n 1 eine Partition von [, 1]. Setze l i : (s i, s i 1 ). Sei außerdem r i l i eine Stützstelle. Dann ist (l i l j ) i,j eine Zerlegung von [, 1] [, 1] und (r i, r j ) eine Stützstelle in (l i l j ) i,j. Da nun k und f stetig sind, ist g(s, t) : k(s, t)f(s)f(t) stetig und damit Riemann-integrierbar. Es gilt also nach der Definition des Riemann-Integrals, dass 1 1 k(s, t)f(t)f(s)dsdt lim l i l j k(r i, r j )f(r i )f(r j ) l i l j i,j Setzt man a i : f(r i ) l i und a j : f(r j ) l j so gilt k(r i, r j )f(r i )f(r j ) l i l j i,j i,j k(r i, r j )a i a j, 33

34 da k positiv semidefinit ist. Es folgt also Q k (f), f lim l i l j k(r i, r j )f(r i )f(r j ) l i l j. i,j Beh.: Für f L ([, 1]) gilt Q k (f), f Nach Lemma A.1.6 ist Q k : L ([, 1]) L ([, 1]) stetig und nach Lemma A.1. ist damit h : L ([, 1]) R, h(g) Q k (g), g stetig. Nach [Wer7, Satz I..1] ist C([, 1]) dicht in L ([, 1]). Für f L ([, 1]) existiert also eine Folge (f n ) n N C([, 1]) mit lim n f n f in L. Aus der Stetigkeit von h folgt dann: Q k (f), f h(f) h( lim n f n ) lim n h(f n ) lim n Q k (f n ), f n Es folgt also, dass Q k formpositiv ist. Beh.3: Sei Q k formpositiv. Dann ist k positiv semidefinit. Q k ist formpositiv, also gilt Q k f, f für alle f L [, 1]. Seien t 1,..., t m [, 1], a 1,..., a m R sowie ε > beliebig. Sei außerdem s < s 1 <... < s n 1 eine Zerlegung von [, 1] mit s i s i 1 1 n. Definiere S : {[s i, s i 1 ] : i 1,..., n}. Da k gleichmäßig stetig ist, kann nun n so groß gewählt werden, dass k(s, t) k(s, t ) < ε, falls s, s I S und t, t J S gilt. Für t j wähle nun I j S so, dass t j I j. Es sei nun f : m na j1 Ij. Dann ist f L [, 1] und damit gilt nach Voraussetzung Q k f, f m i, m i, I i I i k(s, t)f(t)f(s)dtds ( m ) ( m ) k(s, t) na i 1 Ii (t) na j 1 Ij (s) dtds i1 k(s, t)n a i a j dtds I j m k(s, t)n a i a j dtds + a i a j k(t i, t j ) I j i, m a i a j k(t i, t j ) i, 34

35 m m m a i a j k(t i, t j ) + k(s, t)n a i a j dtds k(t i, t j )n a i a j dtds i, i, I i I j i, I i I j m m a i a j k(t i, t j ) + n a i a j (k(s, t) k(t i, t j )) dtds i, i, I i I j m m a i a j k(t i, t j ) + n a i a j k(s, t) k(t i, t j ) dtds i, i, I i I j m m a i a j k(t i, t j ) + n a i a j ε 1 n i, m a i a j k(t i, t j ) + ε i, i, i, m a i a j Da nun aber ε beliebig gewählt wurde, folgt m i, a ia j k(t i, t j ), also ist k positiv semidefinit. 4.. Existenz Gaußscher Prozess Mit Satz haben wir gezeigt, dass eine Funktion notwendigerweise symmetrisch und positiv semidefinit sein muss, um Kovarianzfunktion eines Gaußschen Prozesses zu sein. Dass diese Eigenschaften für stetige Funktionen auch hinreichend sind, ist Bestandteil des nächsten Satzes. Satz Sei k C([, 1] ) symmetrisch und positiv semidefinit. Dann existiert ein Gaußscher Prozess (X(t)) t [,1] mit Kovarianzfunktion k. Beweis. Nach dem Satz von Mercer existiert eine Folge (λ n ) n N l und eine Folge von zugehörigen Eigenvektoren (e n ) n N C([, 1]), die ein Orthonormalsystem in L ([, 1]) bilden, so dass k(s, t) 1 λ ne n (s)e n (t) gilt und die Reihe gleichmäßig konvergiert. Definiere nun F : [, 1] L ([, 1]), F (t) : λn e n (t)e n Zunächst einmal muss gezeigt werden, dass F wirklich nach L [, 1] abbildet. n1 35

36 Beh.1: F (t) L ([, 1]) und F (t) L 1 λ ne n (t) Es gilt nach dem Satz von Mercer, dass 1 λ ne n (t) k(t, t) <, da k C([, 1] ). Also ist λ n e n (t) l und die Behauptung folgt direkt aus Lemma A.1.4. Beh.: Für s, t [, 1] gilt F (s) F (t) L λ n [e n (s) e n (t)] k(s, s) k(s, t) + k(t, t) n1 Nach dem Satz von Mercer gilt λ n [e n (s) e n (t)] λ n [e n (s) e n (s)e n (t) + e n (t) ] n1 n1 λ n e n (s) λ n e n (s)e n (t) + λ n e n (t) n1 n1 n1 k(s, s) k(s, t) + k(t, t) Also folgt, dass ( λ n [e n (s) e n (t)]) l. Damit gilt nach Lemma A.1.4 F (s) F (t) L λn e n (s)e n λn e n (t)e n n1 n1 λn [e n (s) e n (t)]e n n1 L λ n [e n (s) e n (t)] n1 k(s, s) k(s, t) + k(t, t) Beh.3: F C([, 1], L [, 1]) Sei t [, 1] fest. Dann gilt für s [, 1] nach Behauptung : L F (s) F (t) L k(s, s) k(s, t) + k(t, t) 36

37 Sei ε > beliebig. Da k stetig ist, existiert ein δ >, so dass für (x 1, x ) R mit (x 1, x ) (t, t)) < δ folgt, dass k(x 1, x ) k(t, t) < ε 3. Sei nun s R mit s t < δ. Dann gilt (s, t) (t, t) (s, s) (t, t) δ. Es gilt also F (s) F (t) L k(s, s) k(s, t) + k(t, t) k(s, s) k(s, t) + k(t, t) k(s, t) k(s, s) k(t, t) + k(t, t) k(s, t) + k(t, t) k(s, t) < ε 3 + ε 3 + ε 3 ε Somit ist F in t stetig und da t beliebig in [, 1] war, ist F insgesamt stetig. Beh.4: F (s), F (t) n1 λ ne n (s)e n (t) k(s, t) Für r [, 1] setze F n (r) : n 1 λj e j (r)e j. Dann ist F n (r) L ([, 1]) n N und es gilt lim n F n (r) F (r). Mit der Stetigkeit des Skalarprodukts und der Orthogonalität von (e n ) n N folgt dann: F (s), F (t) lim n F n (s), F n (t) lim F n (s)(x)f n (t)(x)dx ( 1 n ( n ) lim λj e j (s)e j (x)) λj e j (t)e j (x) dx n n 1 1 lim n n lim n i, lim n ( n λi e i (s)e i (x) ) λ j e j (t)e j (x) dx i, ( λi λj e i (s)e j (t) 1 n λ j e j (s)e j (t) ) e i (x)e j (x)dx λ j e j (s)e j (t) k(s, t) 37

38 Beh.5: Es existiert ein Gaußscher Prozess X(t) t [,1] mit der Kovarianzfunktion k. Sei W ein L ([, 1])-isonormaler Prozess, der nach Satz 3..1 existiert. Man definiere nun X : W F. Dann folgt aus Proposition 3.., dass X ein Gaußscher Prozess ist, da F C([, 1], L [, 1]) gilt. Außerdem ist W isonormal und X Gaußsch, folglich gilt für die Kovarianzfunktion von X: Cov(X(s), X(t)) EX(s)X(t) EX(s)EX(t) EX(s)X(t) (W F )(s), (W F )(t) F (s), F (t) λ n e n (s)e n (t) k(s, t) n1 38

39 Kapitel 5. Beispiele Gaußscher Prozesse In diesem Kapitel wird mithilfe von Satz 4..1 die Existenz der gebrochenene Brownschen Bewegungen gezeigt. Im Besonderen gehen wir dann auf den Spezialfall Brownsche Bewegung ein und zeigen die Existenz einer Version mit stetigen Pfaden. Das geschieht mit dem Satz von Kolmogorov, der davor bewiesen wird. Die Brownsche Bewegung gilt als das wichtigste Beispiel eines Gaußschen Prozesses und findet zahlreiche Anwendungen in der Finanzmathematik, wie z.b. im Black-Scholes-Modell zur Berechnung von Optionspreisen Gebrochene Brownsche Bewegung Definition (Gebrochene Brownsche Bewegung) Sei (X(t)) t [,1] ein Gaußscher Prozess mit Kovarianzfunktion k, die gegeben ist durch k(s, t) 1 ( t H + s H t s H) mit H (, 1). Dann heißt (X(t)) t [,1] Hurst-Parameter H. eine gebrochene Brownsche Bewegung mit Satz (Existenz gebrochenen Brownsche Bewegung) Für alle H (, 1) existiert eine gebrochenen Brownsche Bewegung X : [, 1] L (Ω) mit Hurst-Parameter H. Beweis. Wir wenden für den Beweis Satz 4..1 an. Die Kovarianzfunktion einer gebrochenen Brownschen Bewegung mit Hurst-Parameter H ist nach Definition gegeben 39

40 durch k(s, t) 1 ( t H + s H t s H) Offensichtlich ist k symmetrisch und stetig. Es ist noch zu zeigen, dass k positiv semidefinit ist. Seien dazu t 1,, t n [, 1] mit t 1 < < t n und α 1,, α n R beliebig. Dann gilt n α i α j k(t i, t j ) 1 i, n ( α i α j ti H + t j H t i t j H) i, n ( ( αi α j ti H + t j H)) 1 i, i, i, n ( αi α j t i t j H) i, n ( αi α j max { t i H, t j H}) 1 n ( αi α j t i t j H) i, n ( α i α j max { t i, t j } H) 1 n ( αi α j t i t j H) n ( αi α j t i t j H) 1 i, i, n ( αi α j t i t j H) i, Bemerkung. Wir haben mit dem letzten Satz also die Existenz einer ganzen Familie von Gaußschen Prozessen, nämlichen den gebrochenen Brownschen Bewegungen, gezeigt. Wir wollen uns nun auf den Spezialfall Brownsche Bewegung konzentrieren. Dass es sich dabei wirklich um nur um einen Spezialfall handelt, wird allerdings erst im Beweis von Satz 5..4 deutlich. 5.. Brownsche Bewegung Definition (Brownsche Bewegung) Ein reellwertiger stochastischer Prozess B (B(t)) t [,1] heißt Brownsche Bewegung, falls gilt: 1. B() fast sicher 4

41 . B hat unabhängige Zuwächse 3. B(t) B(s) N(, t s) s < t 1 Bemerkung. Aus der Definition lässt sich sofort schließen, dass für eine Brownsche Bewegung (B t ) t [,1] immer B(t) N(, t) gilt. Lemma 5... Eine Brownsche Bewegung ist ein Gaußscher Prozess. Beweis. Seien t 1,, t n [, 1] mit t 1 < < t n und α 1,, α n R beliebig. Setze außerdem α : t :. Dann ist nach Definition B(t j ) B(t j 1 ) N(, t j t j 1 ), also Gaußsche Zufallsvariable für j 1,..., n. Da B(t 1 ) B(t ),, B(t n ) B(t n 1 ) unabhängig sind, folgt nach Lemma.1.5 n α j B(t j ) n α j B(t j ) j ( n j α j ) j B(t k ) B(t k 1 ) + k ( n n ) α k (B(t j ) B(t j 1 )) + N, kj n α j B(t ) n α j B() ( n n ) α k (t j t j 1 ) kj Beachte hierbei, dass n α jb() fast sicher ist und daher die Verteilung nicht beeinflusst. Es ist also (B(t 1 ),, B(t n )) ein Gaußscher Vektor und daraus folgt die Behauptung. Satz Ein Gaußscher Prozess (B(t)) t [,1] ist eine Brownsche Bewegung genau dann, wenn die Kovarianzfunktion k gegeben ist durch k(s, t) min {s, t}. Beweis. Sei (B(t)) t [,1] eine Brownsche Bewegung und seinen s, t [, 1] mit s < t. 41

42 Dann gilt wegen E[B(t) B(s)] und der Unabhängigkeit der Zuwächse E[B(s)B(t)] E [(B(t) B(s) + B(s))B(s)] E [(B(t) B(s))B(s)] + E [B(s)B(s)] E [(B(t) B(s))(B(s) B())] + Var B(s) E[B(t) B(s)]E[B(s) B()] + s s min {s, t} Es folgt also, dass k(s, t) EB(s)B(t) min {s, t} für alle s, t [, 1]. Sei nun (B(t)) t [,1] ein Gaußscher Prozess mit Kovarianzfunktion k(s, t) min {s, t}. 1. Es gilt EB(), da B ein Gaußscher Prozess und damit B() eine Gaußsche Zufallsvariable ist. Weiter gilt Var B() EB()B() k(, ). Daraus folgt nach Lemma 1.1.8, dass B() fast sicher.. Seien t 1,, t n [, 1] mit t 1 < < t n. Dann ist nach Definition (B(t 1 ),, B(t n )) ein Gaußscher Vektor. Nun ist aber der Vektor (B(t ) B(t 1 ),, B(t n ) B(t n 1 )) eine lineare Transformation von (B(t 1 ),, B(t n )), also nach Lemma.. ebenfalls ein Gaußscher Vektor. Für i, j {,, n}, i j, und o.b.d.a i > j, gilt nach Lemma Cov [B(t i ) B(t i 1 ), B(t j ) B(t j 1 )] Cov[B(t i ), B(t j )] Cov[B(t i 1 ), B(t j )] Cov[B(t i ), B(t j 1 )] + Cov[B(t i 1 ), B(t j 1 )] EB(t i )B(t j ) EB(t i 1 )B(t j ) EB(t i )B(t j 1 ) + EB(t i 1 )B(t j 1 ) min {t i, t j } min {t i 1, t j } min {t i, t j 1 } + min {t i 1, t j 1 } t j t j t j 1 + t j 1 Also sind die Zufallsvariablen (B(t ) B(t 1 ),, B(t n ) B(t n 1 ) paarweise unkorrelliert und damit nach Satz..4 unabhängig. 3. Seien s, t [, 1] mit s < t. Dann ist B(t) B(s) eine Gaußsche Zufallsvariable 4