Multivariate Verteilungen

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1 Multivariate Verteilungen Zufallsvektoren und Modellierung der Abhängigkeiten Ziel: Modellierung der Veränderungen der Risikofaktoren X n = (X n,1, X n,2,..., X n,d ) Annahme: X n,i und X n,j sind abhängig aber X n,i und X n±k,j sind unabhängig für k IN (k 0), 1 i, j d. Grundlegende Eigenschaften von Zufallsvektoren Ein d-dimensionaler Zufallsvektor X = (X 1, X 2,..., X d ) T wird durch seine die gemeinsame Verteilungsfunktion F spezifiziert F(x) = F(x 1, x 2,..., x d ) = P(X 1 x 1, X 2 x 2,..., X d x d ) = P(X x). Die i. Randverteilung F i von F ist die Verteilungsfunktion von X i und ist folgendermaßen gegeben: F i (x i ) = P(X i x i ) = F(,...,, x i,,..., ) Die Verteilungsfunktion F ist stetig wenn es eine nicht negative Funktion f 0 gibt, sodass F(x 1, x 2,..., x d ) = x1 x2... xd f ist in diesem Fall die Dichte von F. f(u 1, u 2,..., u d )du 1 du 2... du d 1

2 Die Komponenten von X sind unabhängig dann und nur dann wenn F(x) = Π d i=1 F i(x i ) oder, wenn f existiert f(x) = Π d i=1 f i(x i ) Ein Zufallsvektor ist eindeutig durch seine charakteristische Funktion φ X (t) spezifiziert: φ X (t) = E(exp{it T X}), t IR d Beispiel 1 Für die multivariate Normalverteilung mit Mittelwert µ und Kovarianzmatrix Σ ist die Dichtefunktion f bzw. die charakteristische Funktion φ X folgendermaßen gegeben ( Σ = Det(Σ) ): 1 f(x) { (2π) d Σ exp 1 } 2 (x µ)t Σ 1 (x µ), x IR d φ X (t) = exp { it T µ 1 2 tt Σt }, t IR d Wenn E(Xk 2 ) < für alle k, dann ist die Kovarianzmatrix eines Zufallsvektors folgendermaßen gegeben: Cov(X) = E((X E(X))(X E(X)) T ) Übung 1 Zeigen Sie das folgende Gleichungen gelten: E(BX + b) = BE(X) + b Cov(BX + b) = BCov(X)B T 2

3 Beispiel 2 (Portfolio Optimierung, Markowitzs Modell) Es wird in d (risikoreiche) Assets investiert. Der erwartete Portfolioertrag muss µ p betragen. Sei X = (X 1, X 2,..., X d ) T der Zufallsvektor der Asset-Returns mit E(X) = µ und Cov(X) = Σ. Die Gewichte des Minimum-Varianz Portfolios sind als Lösung des folgenden quadratischen Optimierungsproblems gegeben: min w sodass w T Σw w T µ = µ p d i=1 w i = 1 (siehe zb. Campbell et al. (1997)) Abhängigkeitsstrukturen Probleme der Modellierung der Abhängigkeitsstrukturen zwischen Finanzgrössen mit Hilfe der (multivariaten) Normalverteilung. Finanzgrößen haben i.a. heavier Tails als die Normalverteilung Die Zusammenhänge bei größeren Verlusten sind i.a. stärker als bei normalen Werten. Diese Art von Zusammenhängen kann mit der multivariaten Normalverteilung nicht modelliert werden. 3

4 Abhängigkeitsmaße Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Es gibt einige skalare Maße für die Abhängigkeit zwischen X 1 und X 2. Lineare Korrelation Annahme: var(x 1 ), var(x 2 ) (0, ). Der Koeffizient der linearen Korrelation ρ L (X 1, X 2 ) ist folgendermaßen gegeben: ρ L (X 1, X 2 ) = Cov(X 1, X 2 ) var(x1 )var(x 2 ) X 1 und X 2 sind unabhängig ρ L (X 1, X 2 ) = 0 ρ L (X 1, X 2 ) = 0 impliziert nicht, dass X 1 und X 2 unabhängig sind Beispiel 3 Sei X 1 N(0,1) und X 2 = X 2 1. Es gilt ρ L(X 1, X 2 ) = 0 aber X 1 und X 2 sind klarerweise abhängig. Weiters gilt: ρ L (X 1, X 2 ) = 1 α, β IR, β 0, sodass X 2 = α + βx 1 und signum(β) = signum(ρ L (X 1, X 2 )) Der lineare Korrelationskoeff. ist eine Invariante unter streng monoton steigende lineare Transformationen, ist jedoch keine Invariante unter streng monoton steigende nichtlineare Transformationen. 4

5 Übung 2 Seien X 1 und X 2 zwei Zufallsvariablen. Seien α 1, α 2, β 1, β 2 IR, β 1 > 0 und β 2 > 0. Zeigen Sie, dass ρ L (α 1 + β 1 X 1, α 2 + β 2 X 2 ) = ρ L (X 1, X 2 ). Rang Korrelation Die Koeffizienten der Rang Korrelation (Spearmans rho und Kendalls tau) sind Maße für die Übereinstimmung von bivariaten Zufallsvektoren. Seien (x 1, x 2 ) und ( x 1, x 2 ) zwei Punkte in IR 2. Die zwei Punkte heißen übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) > 0 und nicht übereinstimmend wenn (x 1 x 1 )(x 2 x 2 ) < 0. Seien (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ) zwei unabhängige Zufallsvektoren mit gemeinsamer bivariate Verteilung. Die Kendall s Tau ρ τ ist definiert als ρ τ (X 1, X 2 ) = P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 X 2 ) < 0 ) Sei ( ˆX 1, ˆX 2 ) ein dritter von (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ) unahängiger Zufallsvektor mit derselben Verteilung wie (X 1, X 2 ) und ( X 1, X 2 ). Die Spearman s Rho ρ S ist definiert als ρ S (X 1, X 2 ) = P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) > 0 ) P ( (X 1 X 1 )(X 2 ˆX 2 ) < 0 ) 5

6 Einige Eigenschaften von ρ τ und ρ S : ρ τ (X 1, X 2 ) [ 1,1] und ρ S (X 1, X 2 ) [ 1,1]. Wenn X 1 und X 2 unabhängig, dann ρ τ (X 1, X 2 ) = ρ S (X 1, X 2 ) = 0. Die Umkehrung gilt i.a. nicht. Sei T:IR IR eine streng monoton steigende Funktion. Dann gilt: ρ τ (T(X 1 ), T(X 2 )) = ρ τ (X 1, X 2 ) ρ S (T(X 1 ), T(X 2 )) = ρ S (X 1, X 2 ) 6

7 Tail-Abhängigkeit Definition 1 Sei (X 1, X 2 ) T ein Zufallsvektor mit Randverteilungen F 1 und F 2. Der Koeffizient der oberen Tail-Abhängigkeit von (X 1, X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ U (X 1, X 2 ) = lim P(X u 1 2 > F2 (u) X 1 > F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Der Koeffizient der unteren Tail-Abhängigkeit von (X 1, X 2 ) T wird folgendermaßen definiert: λ L (X 1, X 2 ) = lim P(X u F2 (u) X 1 F1 (u)) vorausgesetzt der Limes existiert. Wenn λ U > 0 (λ L > 0) heißt es, (X 1, X 2 ) T hat eine obere (untere) Tail-Abhängigkeit. (Siehe Joe 1997, Schmidt und Stadtmüller 2002) Übung 3 Sei X 1 Exp(λ) und X 2 = X 2 1. Bestimmen Sie λ U(X 1, X 2 ), λ L (X 1, X 2 ) und zeigen Sie, dass (X 1, X 2 ) T eine obere und eine untere Tail-Abhängigkeit hat. Berechnen Sie auch den linearen Korrelationskoeffizienten ρ L (X 1, X 2 ). 7

8 Die multivariate Normalverteilung Definition 2 Der Zufallsvektor (X 1, X 2,..., X d ) T hat eine multivariate Normalverteilung (oder eine multivariate Gauss sche Verteilung) wenn X d = µ + AZ, wobei Z = (Z 1, Z 2,..., Z k ) T ein Vektor von i.i.d. normalverteilten ZV (Z i N(0,1), i = 1,2,..., k), A IR d k ist eine konstante Matrix und µ IR d ist ein konstanter Vektor. Für so einen Zufallsvektor X gilt: E(X) = µ, cov(x) = Σ = AA T (Σ positiv semidefinit). Notation: X N d (µ,σ). Theorem 1 (Multivariate Normalverteilung: äquiv. Definitionen) 1. X N d (µ,σ) für einen Vektor µ IR d und eine positiv semidefinite Matrix Σ IR d d, dann und nur dann wenn a IR d, a = (a 1, a 2,..., a d ) T, die Zufallsvariable a T X normal verteilt ist. 2. Ein Zufallsvektor X IR d ist multivariat normal verteilt dann und nur dann wenn seine charakteristische Funktion folgendermaßen gegeben ist: φ X (t) = E(exp{it T X}) = exp{it T µ 1 2 tt Σt} für einen Vektor µ IR d und eine positiv semidefinite Matrix Σ IR d d. 8

9 3. Ein Zufallsvektor X IR d mit E(X) = µ und cov(x) = Σ, wobei die Determinante von Σ positiv ist (det(σ) := Σ > 0), ist normal verteilt, d.h. X N d (µ,σ), dann und nur dann wenn seine Dichtefunktion folgendermaßen gegeben ist { 1 f X (x) = (2π) d Σ exp (x } µ)t Σ 1 (x µ). 2 Beweis: (siehe zb. Gut 1995) Theorem 2 (Eigenschaften der multivariaten Normalverteilung) Für X N d (µ,σ) gilt: Lineare Kombinationen: Für B IR k d und b IR k. Es gilt dann BX+b N k (Bµ+b, BΣB T ). Randverteilungen: ( Setze X T = X (1)T, X (2)T) für X (1)T = (X 1, X 2,..., X k ) T und X (2)T = (X k+1, X k+2,..., X d ) T und analog ( ( ) µ T = µ (1)T, µ (2)T) Σ (1,1) Σ und Σ = (1,2) Σ (2,1) Σ (2,2). ( ) ( Es gilt dann X (1) N k µ (1),Σ (1,1) und X (2) N d k µ (2),Σ ). (2,2) 9

10 Bedingte Verteilungen: Wenn Σ regulär, dann ist auch die bedingte Verteilung X (2) X (1) = x (1) multivarial normal: X (2) X (1) = x (1) N d k ( µ (2,1),Σ (22,1) ) wobei µ (2,1) = µ (2) + Σ (2,1) ( Σ (1,1) ) 1 ( x (1) µ (1) ) und Σ (22,1) = Σ (2,2) Σ (2,1) (Σ (1,1) ) 1Σ (1,2). Quadratische Formen: Wenn Σ regulär, dann gilt D 2 = (X µ) T Σ 1 (X µ) χ 2 d. Die Zufallsvariable D heißt Mahalanobis Distanz. Faltung: Seien X N d (µ,σ) und Y N d ( µ, Σ) zwei unabhängige Zufallsvektoren. Es gilt dann X + Y N d (µ + µ,σ + Σ). 10

11 Normal (variance) mixture Definition 3 Ein Zufallsvektor X IR d hat eine multivariate normal variance mixture Verteilung wenn X d = µ + WAZ wobei Z N k (0, I) hat eine multivariate standard Normalverteilung, W 0 ist eine von Z unabhängige positive Zufallsvariable, µ IR d ist ein konstanter Vektor, A IR d k ist eine konstante Matrix, und I ist die einheitsmatrix. Unter der Bedingung W = w ist X normalverteilt: X N d (µ, w 2 Σ), wobei Σ = AA T. E(X) = µ und cov(x) = E(W 2 AZZ T A T ) = E(W 2 )Σ falls E(W 2 ) < Beispiel 4 Die Inverse Gamma Verteilung hat folgende Dichtefunktion: f(x) = βα Γ(α) x (α+1) exp( β/x) x > 0, α > 0, β > 0 Falls X IG(α, β) dann gilt: E(X) = β α 1 für α > 1, var(x) = β 2 (α 1) 2 (α 2) für α > 2 Sei W 2 IG(α/2, α/2). Dann ist die Verteilung von X = µ + WAZ eine multivariate t α Verteilung mit α Freiheitsgraden: X t d (α, µ,σ). cov(x) = E(W 2 )Σ = α α 2 Σ 11

12 Sphärische Verteilungen Definition 4 Ein Zufallsvektor X = (X 1, X 2,..., X d ) T hat eine sphärische Verteilung wenn für jede orthogonale Matrix U IR d d die Gleichung UX d = X gilt. Theorem 3 Die folgenden Aussagen sind äquivalent. 1. Der Zufallsvektor X IR d hat eine sphärische Verteilung. 2. Es existiert eine Funktion ψ: IR IR, sodass die charakteristische Funktion von X folgendermaßen gegeben wird: φ X (t) = ψ(t T t) = ψ(t t t2 d ) 3. Für jeden Vektor a IR d gilt a t X d = a X 1 wobei a 2 = a a a2 d. 4. X lässt sich als X d = RS repräsentieren, wobei der Zufallsvektor S IR d gleichmäßig verteilt auf der Einheitskugel S d 1, S d 1 = {x IR d : x = 1}, ist, und R 0 eine von S unabhängige ZV ist. Notation einer sphärischen Verteilung: X S d (ψ) 12

13 Beispiel 5 Normalverteilungen sind sphärische Verteilungen. Sei X N(0, I). Dann X S d (ψ) mit ψ = exp( x/2). Tatsächlich: φ X (t) = exp{it T tt It} = exp{ t T t/2} = ψ(t T t). Aus der stochastischen Repräsentation X = RS folgt X 2 = d R 2 χ 2 d. Simulation einer sphärischen Verteilung: (i) Simuliere s aus einer gleichmäßig verteilten Zufallsvektor in S d 1 (zb. in dem y aus einer multivariaten Standard Normalverteilung Y N(0, I) simuliert und s = y/ Y gesetzt wird). (ii) Simuliere r aus R χ 2 d. (iii) Setze x = rs. 13

14 Elliptische Verteilungen Definition 5 Ein Zufallsvektor X IR d hat eine elliptische Verteilung wenn X d = µ+ay, wobei Y S k (ψ), µ IR d ist ein konstanter Vektor und A IR d k ist eine konstante matrix. Die charakteristische Funktion: φ X (t) = E(exp{it T X}) = E(exp{it T (µ+ay )}) = exp{it T µ}e(exp{i(a T t) T Y }) wobei Σ = AA T. = exp{it T µ}ψ(t T Σt), Notation elliptische Verteilungen: X E d (µ,σ, ψ) µ heißt Positionsparameter (location parameter), Σ heißt Dispersionsparameter (dispersion parameter), ψ heißt charakteristischer Generator der elliptischen Verteilung. Falls A IR d d regulär, dann gilt folgende Relation zwischen elliptischen und sphärischen Verteilungen: X E d (µ,σ, ψ) A 1 (X µ) S d (ψ), A IR d d, AA T = Σ 14

15 Theorem 4 ( Charakterisierung der elliptischen Verteilung) Sei X IR d ein d-dimensinaler Zufallsvektor. X E d (µ,σ, ψ) dann und nur dann wenn X d = µ+ras, wobei S IR k ist ein auf der Einheitskugel S k 1 gleichverteilter Zufallsvektor, R 0 ist eine von S unahängige nicht negative Zufallsvariable, A IR d k ist eine konstante Matrix (Σ = AA T ) und µ IR d ist ein konstanter Vektor. Simulation einer elliptischen Verteilung: (i) Simuliere s aus einer gleichmäßig verteilten Zufallsvektor in S d 1 (zb. in dem y aus einer multivariaten Standard Normalverteilung Y N(0, I) simuliert und s = y/ Y gesetzt wird). (ii) Simuliere r aus R. (iii) Setze x = µ + ras. 15

16 Beispiel 6 (Multivariate Normalverteilung) Sei X N(µ,Σ). Es existiert eine Matrix A IR d k, sodass X d = µ+az wobei Z N d (0, I) und AA T = Σ. Weiters gilt Z = RS wobei S ein gleichmäßig verteilter Zufallsvektor in S k 1 ist und R 2 χ 2 k. Daraus folgt X d = µ+ras und daher X E d (µ,σ, ψ) mit ψ(x) = exp{ x/2}. Beispiel 7 (Multivariate normal variance mixture) Ein Zufallsvektor Z N(0, I) hat eine sphärische Verteilung mit einer stoch. Repräsentation Z d = V S. Falls X = µ + WAZ eine normal variance mixture ist, dann gilt X d = µ + V WAS wobei V 2 χ 2 d. D.h. X hat eine elliptische Verteilung mit R = V W. 16