Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen

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Monica Weber
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Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL II Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Eindimensionaler Fall:

1 Statistik - Fehlerrechnung - Auswertung von Messungen TEIL II Vorbereitungskurs F-Praktikum B (Physik), RWTH Aachen Thomas Hebbeker Eindimensionaler Fall: Parameterbestimmung - Beispiele [Übung] Mehrdimensionaler Fall: Grundbegriffe Variablentransformation Fehlerfortpflanzung Parameterbestimmung (Fit): χ

2 Definitionen (mehrdimensional) Wahrscheinlichkeitsdichte von zwei Zufallsvariablen: f(x, y) Beispiel: Normierung: e x2 y 2 +x y f(x, y) dx dy = 1 Eindimensionale Wahrscheinlichkeitsdichten (Projektionen): f x (x) = f(x, y) dy f y (y) = f(x, y) dx

3 Erwartungswert: (ähnlich: Estimator - Summe statt Integral!) µ x x = x f(x, y) dx dy Varianz: σ 2 x (x µ x) 2 = (x µ x ) 2 f(x, y) dx dy NEU: Kovarianz: cov x,y = (x µ x ) (y µ y ) = (x µ x ) (y µ y ) f(x, y) dx dy = x y x y Korrelationskoeffizient: ρ = cov x,y σ x σ y = gibt an, wie stark die beiden Variablen korreliert sind.

4 Beispiel:

5 Beispiel: Gewicht/Gramm g i und Länge/cm l i von N = 12 Schrauben: g i l i Hier Näherung: N = 12 ist groß (na ja... )

6 Estimatoren: ḡ = 1 N gi = 2.99 l = 1 N li = 5.88 g 2 = 1 N l 2 = 1 N g 2 i = 9.01 l 2 i = 34.7 gl = 1 N gi l i = 17.7 σ g = σ l = g 2 (ḡ) 2 = 0.25 l 2 ( l) 2 = 0.42 ḡ = 1 N σ g = 0.07 l = 1 N σ l = 0.12 ρ = gl ḡ l σ g σ l = 0.94

7 Variablentransformation Eindimensional: Gegeben: Verteilung f(x) (= Wahrscheinlichkeitsdichte) Variablentransformation: x u u = u(x) Gesucht: Verteilung g(u(x)) Erhaltung Wahrscheinlichkeit: g(u)du = f(x)dx g(u) = dx du f(x) = 1 du/dx f(x)

8 Beispiel: Winkelverteilung x θ (0... π) u z z = cos θ dn dθ f(θ) = sin θ (1 + cos2 θ) dz = sin θ = sin θ dθ dn d cos θ g(z) = 1 sin θ f(θ) = 1 + z2 Beispiel: Strahlungsdichte schwarzer Körper x ν u λ = c ν ν = c λ ρ λ (λ, T ) = c λ 2 ρ ν(c/λ, T )

9 Mehrdimensional, hier zwei Variable: Gegeben: Verteilung f(x 1, x 2 ) Variablentransformation: x 1, x 2 u 1 u 1 = u 1 (x 1, x 2 ) x 1, x 2 u 2 u 2 = u 2 (x 1, x 2 ) Gesucht: Verteilung g(u 1 (x 1, x 2 ), u 2 (x 1, x 2 )) ohne Beweis: g(u 1, u 2 ) = J( x 1, x 2 u 1, u 2 ) f(x 1, x 2 ) J( x 1, x 2 u 1, u 2 ) = det(s) = Jakobi Determinante S = x 1 u 1 x 2 u 1 x 1 u 2 x 2 u 2

10 Beispiel: Lepton-Nukleon-Streuung Differentieller Wirkungsquerschnitt: x 1 x, x 2 y u 1 Q 2, u 2 ν d 2 σ dxdy x, y Q 2, ν x = Q 2 /(2Mν) y = ν/e S = x Q 2 x ν y Q 2 y ν = 1 2Mν E J = 1/(2MνE) d 2 σ dq 2 dν = 1 2MνE d 2 σ dxdy

11 Fehlerfortpflanzung [für kleine Fehler!] Eindimensional: Gegeben: Messresultat ˆx ± x Variablentransformation: x u u = u(x) Gesucht: û ± u û = u(ˆx) Entwicklung: u(x) u(ˆx) + du dx x=ˆx (x ˆx) u = du dx x

12 Beispiel: Kantenlänge und Volumen eines Würfels a = (4.0 ± 0.1) cm V = a 3 = 64.0 cm 3 V = d V d a a = 3 a2 a = 4.8 cm 3 V = (64.0 ± 4.8) cm 3 Relative Fehler: V V = 3 a2 a a 3 = 3 a a

13 Mehrdimensional (hier zweidimensional): Gegeben: korrelierte Messresultate ˆx 1 ± x 1, ˆx 2 ± x 2 ( x i σ xi ), cov x1 x 2 Kovarianzmatrix = Fehlermatrix: V (x 1, x 2 ) = ( ) σ 2 x1 cov x1 x 2 cov x1 x 2 σx 2 2 Variablentransformation: x 1, x 2 u 1, u 2 u 1 = u 1 (x 1, x 2 ), u 2 = u 2 (x 1, x 2 ) Gesucht: û 1 ± u 1, û 2 ± u 2 und Korrelation Linearisierung: (u i (x 1, x 2 ) u i (ˆx 1, ˆx 2 )) 2 [ ] 2 [ ] 2 ui x 1 (x 1 ˆx 1 ) + ui x 2 (x 2 ˆx 2 ) + 2 u i u i x 1 x 2 (x 1 ˆx 1 )(x 2 ˆx 2 ) Dann Bildung der Erwartungswerte - man erkennt die Elemente der Kovarianzmatrix! Kovarianzmatrix transformiert sich so (ohne Beweis): V (u 1, u 2 ) = T T V (x 1, x 2 ) T T = u 1 x 1 u 2 x 1 u 1 x 2 u 2 x 2

14 Beispiel: Summe und Differenz zweier Zufallsvariablen x 1 und x 2 unkorreliert mit Standardabweichung σ x1, σ x2. Neue Variablen: u + = x 1 + x 2 u = x 1 x 2 V (x 1, x 2 ) = ( ) σ 2 x1 0 0 σx 2 2 T = T T = ( ) V (u +, u ) = σ 2 x 1 + σ 2 x 2 σ 2 x 1 σ 2 x 2 σ 2 u + = σ 2 u = σ 2 x 1 + σ 2 x 2 σ 2 x 1 σ 2 x 2 σ 2 x 1 + σ 2 x 2 Varianzen σ 2 sind zu addieren, nicht Fehler σ!

15 Verallgemeinerungen Die x i seien unkorreliert, die zugehörigen Fehler bezeichnen wir mit σ i. Wir betrachten eine Variable u u 1 : a) u = x i ( u) 2 = σ 2 i b) u = α i x i ( u) 2 = α 2 i σ2 i c) u = u(x i ) ( u) 2 = ( ) u 2 σ 2 i x i

16 Anwendung: Mittelwert Verallgemeinerung: N Messungen x i der gleichen Größe: Mittelwert: Fehler des Mittelwertes: x = 1 N i x i x = 1 N i x 2 i = 1 N 1 N x 2 i i Falls alle x i gleich: x = 1 N x i Bedeutung: Gesamtgenauigkeit verbessert sich mit der Wurzel der Zahl der Messungen!

17 Anwendung: gewichteter Mittelwert Falls Fehler verschieden, benutze gewichteten Mittelwert: x = wi x i wi w i = 1 ( x i ) 2 minimiert Gesamtfehler (hier ohne Beweis): ( x) 2 = 1 wi Beispiel: x 1 = 13.5 ± 0.4 x 2 = 13.9 ± 0.2 Ungewichtet: x = ± 0.22 Gewichtet: x = ± 0.18 = besser!

18 χ 2 -Fit-Methode, unkorreliert, 1-dimensional N Messungen: x i, y i ± σ i (gaußisch) KEINE Korrelationen zwischen Messwerten Theorie: 1 freier Parameter a A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: f(x i, y i a) = 1 2πσi e (y i t(x i a)) 2 /(2 σ 2 i ) Zu minimieren: L(a) χ 2 (a) = N i=1 (y i t(x i a)) 2 σ 2 i = ( ) 2 Messung Theorie(a) Fehler Estimator für a: Fehler von a: χ 2 (a) = χ 2 min χ 2 (a ± a) = χ 2 min + 1 Qualität des Fits: Falls gut: χ 2 min ist χ2 -verteilt (!) mit N dof = Zahl Messpunkte N minus Zahl Parameter = N 1

19 Unkorrelierte Daten: i T i /K y i /mm ± ± ± ± ± 5 Beispiel: Temperaturkoeffizient, Folge 1 Theorie: y i (T i ) t(t i a) = a T i χ 2 -Fit liefert: a = (7.833 ± 0.015) mm/k χ 2 /N dof = 6.4/4 1 ok!

20 χ 2 -Fit-Methode, korreliert, 1-dimensional N Messungen: x i, y i ± σ i (gaußisch) KORRELATIONEN zwischen Messwerten y i Theorie: 1 freier Parameter a A-posteriori-Wahrscheinlichkeit: χ 2 (a) = N w ij (y i t(x i a)) (y j t(x j a)) i,j Gewichtsmatrix = (w ij ) = W = V 1 V = (v ij ) = Kovarianzmatrix Spezialfall: ρ ij = 0, alle Messungen unkorreliert: V = ( σ 2 i ) v ij = δ ij σ 2 i w ij = δ ij 1 σ 2 i W = ( 1/σ 2 i )

21 Beispiel: Temperaturkoeffizient, Folge 2 Zusätzlicher gemeinsamer systematischer Fehler (gaußisch!) für alle Messwerte: σ 2 ij σ 2 ij + σ2 c σ c = 10 mm ( ˆ=1.3%) Systematische Fehler (Eichung Maßstab): 100%-ige Korrelation zwischen allen Messwerten! Kovarianzmatrix (modulo Einheiten) und Gewichtsmatrix: V = W = χ 2 -Fit: a = (7.83 ± 0.10) mm/k χ 2 /N dof = 6.2/4 Systematik dominiert!

22 χ 2 -Fit-Methode, unkorreliert, n-dimensional N Messungen: x i, y i ± σ i (gaußisch) keine Korrelationen zwischen Messwerten Theorie: L freie Parameter a l f(x i, y i a 1,..., a L ) = 1 2πσi e (y i t(x i a 1,...,a L )) 2 /(2 σ 2 i ) χ 2 (a l ) = N i=1 (y i t(x i a l )) 2 σ 2 i Estimator für Vektor (a l ): MINIMUM von χ 2 (= χ 2 min ) Fehlerkontur von (a l ): χ 2 = χ 2 min + χ2 (CL, L) Achtung: a l sind i.a. korreliert!

23 χ 2 : L 68% 90% 95%

24 Unkorrelierte Daten wie in Folge 1 Theoretisches Modell: Beispiel: Temperaturkoeffizient, Folge 3 g(t ; a, c) = a T + c (T T 0 ) 2 T 0 = 100 K Beide Parameter a und c sind zu fitten. Modulo Einheiten: CL = 68%, L = 2 χ 2 = χ 2 /N dof = 5.9/3 1 ok!

25 χ 2 -Fit-Methode, korreliert, n-dimensional...

Erwartungswerte und Estimatoren Mittelwert und Standardabweichung Zusammenfassung (Teile I + II) Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gauß zentraler Grenzwertsatz

26 Erwartungswerte und Estimatoren Mittelwert und Standardabweichung Zusammenfassung (Teile I + II) Wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gauß zentraler Grenzwertsatz Poisson Binomial χ 2 Kovarianz und Korrelation Variablentransformationen Fehlerfortpflanzung Fehler des Mittelwertes Parameterbestimmung: Maximum-Likelihood-Methode χ 2 -Methode

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