l p h (x) δw(x) dx für alle δw(x).

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Dorothea Abel
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1 1.3 Potentielle Energie 5 In der modernen Statik benutzen wir statt dessen einen schwächeren Gleichheitsbegriff. Wir verlangen nur, dass die beiden Streckenlasten bei jeder virtuellen Verrückung dieselbe Arbeit leisten, also p(x) δw(x) dx = p h (x) δw(x) dx für alle δw(x). Das ist das schwache Gleichheitszeichen. Wenn alle wirklich alle bedeutet, dann ist natürlich das schwache Gleichheitszeichen identisch mit dem starken Gleichheitszeichen. In allen anderen Fällen, wo wir die Gleichheit nur gegenüber endlich vielen virtuellen Verrückungen δw herstellen, bleibt eine Differenz. Weil die FEM ein Energieverfahren ist, lassen sich Probleme, bei denen die Verzerrungsenergie unendlich groß ist, wie beim Angriff einer Einzelkraft in einer Scheibe oder der Linienlagerung eines Betonblocks, mit finiten Elementen daher (theoretisch) nicht lösen, s. Bild 1.4. Die fünfte These lautet: FEM = Verfahren der genäherten Einflussfunktionen (= Greenschen Funktionen) Ein Element und das damit erzeugte Netz ist so gut, wie die Einflussfunktionen, die man auf diesem Netz darstellen kann. Nach den Regeln der Statik ist die Verformung u(x) oder die Spannung σ x (x) in einem Punkt, die Überlagerung der Belastung p mit der zugehörigen Einflussfunktion (Greenschen Funktion) u(x) = G (y, x) p (y) dy, σ x (x) = G 1 (y, x) p (y) dy. Statt der exakten Einflussfunktionen setzt ein FE-Programm dafür genäherte Greensche Funktionen G h und G h 1, und daher ist der Fehler einer FE-Lösung so groß, wie der Abstand der genäherten Greenschen Funktion von der exakten Greenschen Funktion u(x) u h (x) = σ x (x) σ h x(x) = [ G (y, x) G h (y, x) ] p (y) dy, [ G1 (y, x) G h 1(y, x) ] p (y) dy. 1.3 Potentielle Energie Am Beispiel eines Seils, s. Bild 1.5, wollen wir die obigen fünf Thesen nun näher erläutern. Wir wählen ein Seil, weil es statisch sehr einfach ist, und wir anders als bei einem Fachwerkstab die Verformung, die Durchbiegung

2 6 1 Was sind finite Elemente? Abbildung 1.5. Seil unter Belastung und Unterteilung des Seils in vier Elemente des Seils, auf dem Papier nach unten abtragen können, so dass wir von den Vorgängen in dem Seil etwas sehen. Das Seil sei mit einer Kraft H vorgespannt und mit einer Streckenlast p belastet. Gesucht ist der Verlauf der Vertikalkraft V in dem Seil und die Biegelinie w des Seils. Die Biegelinie w ist die Lösung des Randwertproblems Hw (x) = p(x) < x < l w() = w(l) =. Die Vertikalkraft V in dem Seil ist proportional der Seilneigung w V = Hw, und sie bildet zusammen mit der Horizontalkraft H die Seilkraft S = H 2 +. Statisch spielt die Vertikalkraft V beim Seil dieselbe Rolle wie die Querkraft V beim Balken. Energetisch ist sie jedoch mit dem Moment M des Balkens verwandt: Die potentielle Energie eines Balkens ist der Ausdruck

3 Π(w) = 1 2 EI(w ) 2 dx p w dx = Potentielle Energie 7 und die potentielle Energie eines Seils ist der Ausdruck Π(w) = 1 2 H(w ) 2 dx p w dx = 1 2 Energetisch besteht also eine formale Verwandtschaft 1 l M 2 2 EI dx 1 2 H dx. M 2 EI dx H p w dx, p w dx. Um den Durchhang des Seils unter Last und damit die Seilkraft S zu berechnen, unterteilen wir das Seil in vier lineare finite Elemente, s. Bild 1.5. Die beiden Randknoten sind fest. Nur die drei Innenknoten können sich bewegen. Dazwischen verläuft die Durchbiegung linear (das bedeutet lineare Elemente). Effektiv bedeutet eine solche Konstruktion, dass wir dem Seil nur noch erlauben, die Verformungen anzunehmen, die sich durch die drei Einheitsverformungen ϕ i (x) der Innenknoten, die drei Seilecke in Bild 1.5, darstellen lassen, w h (x) = w 1 ϕ 1 (x) + ϕ 2 (x) + w 3 ϕ 3 (x) (FE-Ansatz). Die Zahlen w 1,, w 3 stehen für die Durchbiegung des Seils in den drei Knoten. Sie sind praktisch Gewichte an den Einheitsverformungen. Sie geben an, wieviel von der jeweiligen Einheitsverformung ein Seileck wie w h enthält. Alle diese Seilecke man lasse die Zahlen w 1,, w 3 in Gedanken beliebige Werte durchlaufen bilden den sogenannten Ansatzraum V h. Bleiben wir bei diesem geometrischen Bild, so können wir uns V h als Teilmenge des Verformungsraums des Seils denken. In V liegen all die Biegelinien, die das Seil theoretisch unter wechselnder Belastung in seinem Leben annehmen kann. Es ist anschaulich klar, dass die Seilecke in der Teilmenge V h wirklich nur einen kleinen Ausschnitt aus V darstellen. Die nächste Frage ist dann: Wie sollen wir die drei Knotendurchbiegungen w 1,, w 3 in dem FE-Ansatz wählen? Was ist die optimale Wahl? Mit welchen Werten w i erhalten wir die beste Näherung? Hier hilft das Prinzip vom Minimum der potentiellen Energie weiter. Dieses besagt: Die Durchbiegung w des Seils macht die potentielle Energie auf V zum Minimum, d.h. diejenige Biegelinie in V, die den kleinsten Wert für die potentielle Energie 2 oder V wie in Vorrat Π(w) = 1 2 H(w ) 2 dx p w dx (1.1)

4 8 1 Was sind finite Elemente? liefert, ist identisch mit der Gleichgewichtslage des Seils. Das p in dem zweiten Integral ist die Streckenlast, die auf das Seil wirkt. Die Idee ist nun, diese Eigenschaft zur Bestimmung der FE-Lösung zu nutzen: Die exakte Biegelinie w gewinnt die Konkurrenz auf ganz V, und wir bestimmen die Durchbiegungen w i der Knoten daher so, dass die FE-Lösung w h (x) = 3 w i ϕ i (x) (1.2) i=1 wenigstens auf der Teilmenge V h V die Konkurrenz gewinnt, also unter allen Biegelinien, die in V h liegen, den kleinsten Wert für die potentielle Energie (1.1) liefert. Auf Grund des speziellen Ansatzes (1.2) ist jede Biegelinie in V h eindeutig durch die Liste der Knotenverschiebungen w i, den Vektor w = [w 1,, w 3 ] T, bestimmt, und daher ist die potentielle Energie auf V h allein eine Funktion dieser drei Zahlen. Wie man leicht sieht, erhält man für Π so den Ausdruck Π(w h ) = Π(w) = 1 2 wt Kw f T w = 1 2 [w 1,, w 3 ] 4 H l 1 2 w 1 w 3 [f 1, f 2, f 3 ] w 1 w 3 = 4 H l [ 1 w w 3 + 3] f 1 w 1 f 2 f 3 w 3, wobei die Matrix K und der Vektor f die Elemente k ij = Hϕ i ϕ j dx und f i = p ϕ i dx l = 4 l e haben. Das Minimum von Π auf V h zu finden, ist daher äquivalent zu der Aufgabe, den Vektor w zu finden, der die Funktion Π(w) zum Minimum macht. Notwendig dafür ist, dass die ersten Ableitungen der Funktion Π(w) nach den 3 Parametern w i an der Stelle w verschwinden, Π w i = 3 k ij w j f i =, i = 1, 2, 3, j=1 was auf das Gleichungssystem Kw = f oder 4 H l w 1 = p l e p l e 1 2 w 3 p l e

5 1.4 Projektion 9 Abbildung 1.6. Der Schatten x ist der Vektor in der Ebene mit dem kürzesten Abstand zur Spitze des Vektors x. Der Fehler e steht senkrecht auf der Ebene. Der Schatten ist immer kürzer als das Original. Kürzer bedeutet in der Energiemetrik kleinere Energie: Das FE-Tragwerk ist steifer führt, dessen Lösung, w 1 = w 3 = 1.5 p l e, = 2. p l e, die beste Näherung auf V h für die exakte Biegelinie liefert w h (x) = p l e [1.5 ϕ 1 (x) + 2. ϕ 2 (x) ϕ 3 (x)]. (1.3) 1.4 Projektion Die FEM ist ein Projektionsverfahren. Arbeit ist ein Skalar wie z.b. die Temperatur. Das ist fast das wichtigste, was man über Arbeit sagen kann. Arbeit ist Kraft W eg. Arbeit und Energie bedeuten dasselbe. Das Integral 1 l 2 H dx, V = Hw, ist die innere Energie des Seils in der ausgelenkten Lage w. Es ist die Verzerrungsenergie, die nach unserem Verständnis in dem ausgelenkten Seil gespeichert ist. Energie ist ein Maß. Es ist das Maß, mit dem die finiten Elemente arbeiten. Wenn man ein Maß hat, dann hat man auch eine Topologie. Dann gibt es nah und fern. Längen von Vektoren messen wir mit dem euklidischen Maß x = x x2 2 + x2 3, Länge eines Vektors. Das euklidische Maß erzeugt eine Topologie. In dieser Topologie sind zwei Städte A und B eng benachbart, wenn der Unterschied zwischen ihren Ortsvektoren a und b (bezogen auf irgendeinen geographischen Nullpunkt) in der euklidischen Norm klein ist,

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