4. Das Verfahren von Galerkin
|
|
|
- Waltraud Heinrich
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 4. Das Verfahren von Galerkin 4.1 Grundlagen 4.2 Methode der finiten Elemente 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1
2 4.1 Grundlagen Das Verfahren von Galerkin ist ein allgemein anwendbares Verfahren zur numerischen Lösung von Differenzialgleichungen. Ausgangspunkt für die Anwendung des Verfahrens von Galerkin zur Lösung der Gleichungen der linearen Elastizitätstheorie ist das Prinzip der virtuellen Arbeit: V [ v ] T [ ] dv = m für alle [ v e ] [ v me ] T [ F m ] R [ v e ] T [q e ] dr V [ v e ] T [ f e ] dv Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-2
3 4.1 Grundlagen Die exakte Lösung erfüllt die Randbedingungen das Prinzip der virtuellen Arbeit für alle virtuellen Verschiebungen, die die Randbedingungen erfüllen. [ v e ] Numerische Lösung: Lösungsansatz: [u e ] [ u en x, y ]= n n x, y [c n ] Die Funktionen n x, y sind vorgegebene Ansatzfunktionen. Die Koeffizientenmatrizen [c n ] sind zunächst unbekannt. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-3
4 4.1 Grundlagen Die Ansatzfunktionen müssen die folgenden Bedingungen erfüllen: Die Randbedingungen müssen sich erfüllen lassen. Alle Starrkörperbewegungen müssen dargestellt werden können. In Matrix-Schreibweise lautet der Lösungsansatz: x ]=[ [u en c n 0 1 y n][c1 ] c nx c ny en [u ]=[ ] [ c ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-4
5 4.1 Grundlagen Mit dem Lösungsansatz lässt sich das Prinzip der virtuellen Arbeit nicht mehr für alle virtuellen Verschiebungen erfüllen. Die Koeffizienten werden so bestimmt, dass das Prinzip der virtuellen Arbeit für alle virtuellen Verschiebungen der Form für beliebige [d ] [ v e x, y ]=[ x, y ] [d ] erfüllt ist. Dehnungen und Spannungen: [ N x, y ]=[ xy ] [u en x, y ]=[ xy ] [ x, y ] [c]=[ B x, y ] [c ] [ v x, y ]=[ B x, y ] [d ] [ N x, y ]=[C ] [ N x, y ]=[C ] [ B x, y ] [c ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-5
6 4.1 Grundlagen Einsetzen in das Prinzip der virtuellen Arbeit ergibt: [d ] T V =[ d ] T m [ B ] T [C ] [ B ] dv [ c ] [ x m, y m ] T [ F m ] R [ ] T [q e ] dr V [ ] T [ f e ] dv Diese Gleichung ist nur dann für beliebige [d ] erfüllt, wenn gilt: V [ B ] T [C ] [ B ] dv [ c ]= m V [ m ] T [ F m ] R [ ] T [q e ]dr [ ] T [ f e ]dv mit [ m ]=[ x m, y m ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-6
7 Mit der Steifigkeitsmatrix und den Lastmatrizen [ F ]= m 4.1 Grundlagen [ m ] T [ F m ], [ q ]= R lautet das Gleichungssystem [ K ]= V [ B ] T [C ] [ B ] dv [ ] T [ q e ]dr, [ f ]= V [ K ] [c ]=[ F ] [q ] [ f ] In dieses Gleichungssystem müssen noch die Lagerbedingungen eingebaut werden. Danach können daraus die Koeffizienten [c ] ermittelt werden. [ ] T [ f e ] dv Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-7
8 Anmerkung: 4.1 Grundlagen Die Steifigkeitsmatrix ist symmetrisch, da die Materialmatrix symmetrisch ist, und [C ] [ K ]= V [ B ] T [C ] [ B ] dv der gleiche Ansatz für die Lösung und die virtuellen Verschiebungen verwendet wird. Galerkin-Verfahren, die die gleichen Ansatzfunktionen für die Lösung und die virtuellen Verschiebungen verwenden, werden als Bubnow-Galerkin-Verfahren bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-8
9 4.2 Methode der finiten Elemente Die Methode der finiten Elemente ist ein Bubnow-Galerkin-Verfahren, bei dem als Ansatzfunktionen Interpolationsfunktionen gewählt werden. Die Interpolationsfunktionen werden aus lokal definierten Interpolationsfunktionen zusammengesetzt. Dadurch lässt sich die Definition der Ansatzfunktionen leicht formalisieren. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-9
10 4.2 Methode der finiten Elemente Interpolationsfunktionen: Das vom zu berechnenden Körper eingenommene Raumgebiet wird durch die Vereinigung von einfachen elementaren Raumgebieten angenähert. Bei ebenen Problemen werden dreieckige oder viereckige elementare Gebiete verwendet. Die elementaren Raumgebiete werden als finite Elemente bezeichnet. Die Schnittpunkte der die finiten Elemente begrenzenden Linien werden als Knoten bezeichnet. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
11 4.2 Methode der finiten Elemente Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
12 4.2 Methode der finiten Elemente Die Interpolationsfunktion N k hat am Knoten k den Wert eins und an allen anderen Knoten den Wert null. 1 N k y x Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
13 4.2 Methode der finiten Elemente Die Interpolationsfunktion N k ist nur in den Elementen von null verschieden, die an den Knoten k angeschlossen sind. Sie ist aus den Interpolationsfunktionen N E der Elemente zusammengesetzt. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
14 Lösungsansatz: 4.2 Methode der finiten Elemente Die Verschiebungen in x- und y-richtung werden zwischen den zu bestimmenden Verschiebungen an den Knoten interpoliert: [u1 x [ u en ] [ = N 1 0 N 2 0 N n 0 n] u 1 y ] 0 N 1 0 N 2 0 N u nx u ny [ u en x, y ] = [ N x, y ] [u ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
15 4.2 Methode der finiten Elemente Die gesuchten Koeffizienten sind gerade die Verschiebungen an den Knoten. Prinzip der virtuellen Arbeit: [c ]=[u ] [d ]=[ v ] [ ]=[ N ] [ m ]=[ N m ]=[ N x m, y m ] Mit,,, und der Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix [ B ]=[ B ]=[ xy ] [ N ] lautet das Prinzip der virtuellen Arbeit: [ v ] T V [ B ] T [C ] [ B ] dv [ u ]=[ v ] T m [ v ] T V [ N m ] T [ F me ] [ v ]T R [ N ] T [ f e ] dv [ N ] T [q e ] dr Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
16 4.2 Methode der finiten Elemente Bei der Methode der finiten Elemente wird gefordert, dass Einzelkräfte nur an den Knoten angreifen. Wegen N k x k, y k =1 und N l x k, y k =0 für gilt daher: ]=[ l k F 1 x F 2 x ] [ F ]= [ N m ] T [ F me ]= [ N x k, y k ] T [ F ke m k F nx F ny Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
17 4.2 Methode der finiten Elemente Berechnung der Integrale: Die Integrale lassen sich als Summe der Integrale über die finiten Elemente berechnen: [ v ] T V [ v ] T R [ B ] T [C ] [ B ] dv [u ]= E [ N ] T [q e ] dr= E [ v ] T V E [ B ] T [C ] [ B ] dv [ u ] [ v ] T R E [ N ] T [q e ] dr [ v ] T V [ N ] T [ f e ] dv = E [ v ] T V E [ N ] T [ f e ] dv Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
18 4.2 Methode der finiten Elemente Innerhalb eines Elementes gilt: [ N x, y ] [u ]=[ N E x, y ] [u E ]=[ N E x, y ] [a E ] [u ] [ B x, y ] [u ]=[ x, y ]=[ B E x, y ] [u E ]=[ B E x, y ] [a E ] [u ] mit [ B E ]=[ xy ] [ N E ] [ N ] [ v ]=[ N E ] [a E ] [ v ], [ B ] [ v ]=[ B E ] [a E ] [ v ] Wie beim Fachwerk extrahiert die Matrix [a E ] die Matrix mit den Verschiebungen an den Elementknoten aus der Matrix mit den Verschiebungen an allen Knoten. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
19 4.2 Methode der finiten Elemente Für die Integrale folgt: [ v ] T V [ B ] T [C ] [ B ] dv [ u ]=[ v ] T E [a E ] T V E [ B E ] T [C ] [ B E ]dv [a E ] [ u ] [ v ] T R [ N ] T [q e ] dr=[ v ] T E [a E ] T R E [ N E ] T [q e ] dr [ v ] T V [ N ] T [ f e ]dv = [ v ] T E [a E ] V E [ N E ] T [ f e ] dv Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
20 4.2 Methode der finiten Elemente Mit den Element-Steifigkeitsmatrizen [ k E ]= V E [ B E ] T [C ] [ B E ] dv und den Element-Lastmatrizen [q E ]= [ N E ] T [q e ] dr und [ f E ]= R E gilt für die System-Matrizen: V E [ N E ] T [ f e ] dv [ K ]= E [a E ] T [ k E ] [a E ], [ q ]= E [a E ] T [q E ], [ f ]= E [a E ] T [ f E ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
21 4.2 Methode der finiten Elemente Berechnungsablauf: Berechnung der Element-Matrizen: Assemblierung der System-Matrizen [ k E ], [q E ], [ f E ] Partitionierung des Gleichungssystems entsprechend der Randbedingungen: [ [ K ff ] [ K fs ] [ K fs ] T [ K ss ] ][ [ u f ] [0] ] = [ [ F f ] [ F s ] ] [ [ q f ] [ q s ] ] [ [ f f ] Auflösen des Gleichungssystems nach und Berechnung der Dehnungen und Spannungen in den Elementen: [ E ]=[ B E ] [u E ], [ E ]=[C ] [ E ] [ f s ] ] [u f ] [ F s ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
22 Gleichgewicht: 4.2 Methode der finiten Elemente Die Interpolationsfunktionen müssen so gewählt werden, dass Starrkörperbewegungen exakt abgebildet werden können. Dann sind die Gleichgewichtsbedingungen für die frei geschnittene Gesamtstruktur sowie für jedes frei geschnittene finite Element erfüllt. Das lokale Gleichgewicht am infinitesimalen Element ist in der Regel nicht erfüllt. Bei statisch unbestimmten Systemen sind die einzelnen Lagerreaktionen nicht exakt. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
23 4.2 Methode der finiten Elemente Eigenschaften der Näherung: Durch die Vorgabe der Ansatzfunktionen wird die Bewegungsmöglichkeit der Struktur eingeschränkt. Es sind nur Bewegungen möglich, die durch die Ansatzfunktionen beschrieben werden können. Durch diese Einschränkung der Bewegungsmöglichkeit wird die Struktur versteift. Bei der klassischen Methode der finiten Elemente ist das diskrete Finite-Elemente-Modell daher steifer als die tatsächliche Struktur. Verschiebungen sind betragsmäßig kleiner als der exakte Wert. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
24 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Aufgabenstellung: A x L f Der Stab der Länge L ist im Punkt A fest eingespannt. Er wird durch die konstante Volumenkraft f belastet. B u B Gesucht: Verlauf der Verschiebung und der Spannung Daten: Länge L = 1m Querschnittsfläche A = 25mm 2 Elastizitätsmodul E = N/mm 2 Volumenkraft f = 7, N/mm 3 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
25 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Exakte Lösung: Aus der Festigkeitslehre ist bekannt: u x = f L2 2 E x L 2 x L, u B= f L2 2 E, x = f L 1 x L Zahlenwerte: u B = 7, N /mm mm 2 2 2, N /mm 2 0 = f L=0,75 N /mm 2 =1, mm Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
26 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Stabelement: Verschiebungsansatz: u x E = 1 x E L E Matrix-Darstellung: u 1 x E L E u 2 L E 1 2 x E u x E =[ 1 x E L E x E L E ][ u 1 u 2] = [ N E x E ] [u E ] Starrkörperbewegung: Translation in x-richtung u 1 =u 2 =u 0 u x E =u 0 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
27 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix: = du dx E Steifigkeitsmatrix: [ B E ]= d dx E [ N E ]= 1 L E [ 1 1 ] [ k E ]= [ B E ] T L E [C ] [ B E 1 ] dv = [ V E 0 L E = EA L E [ 1 1 ] ] E 1 L E [ 1 1 ] A dx E Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
28 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Lastmatrix: [ f E ]= [ N E ] T L E f dv = V E 0 [1 x E L E x E L E ] f Adx E= f A[ [ 2 x x E E 2 L E ]x E =0 [ x E 2 2 L E ]x E =0 x E =L E ] x E = L E = 1 2 f A L E[ 1 1] = 1 2 f V E[ 1 1] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
29 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Lösung mit 1 Element: Steifigkeitsmatrix: L E =L L 1 2 [ K ]= EA L [ ] =5250 N /mm [ ] [ K ff ]=[ K 22 ]=[5250 ] N /mm Lastmatrix: [ f ]= 1 2 f A L [ 1 1] =9,375 N [ 1 1], [ f f ]=[ f 2 ]=[9,375 ] N Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
30 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Verschiebungen: u 1 =0, u 2 = f 2 = 9,375 N K N /mm =1, mm Spannung: =E =E [ B E ] [u E ]= =0,375 N /mm N /mm mm [ 1 1 ] [ 0 mm 1, ] Die Spannung ist konstant. Das lokale Gleichgewicht ist nicht erfüllt: d dx f = f 0 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
31 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Bewertung: Die Verschiebung für Punkt B ist exakt. Die berechnete Spannung stimmt mit der Spannung an der Stelle x = L/2 überein. Die Verläufe werden nicht korrekt wiedergegeben. Lösung mit 4 Elementen: L E =L/ 4 L Steifigkeitsmatrizen der Elemente: [ k E ]=4 EA L [ ] =21000 N /mm [ ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
32 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Lastmatrizen der Elemente: [ f E ]= 1 8 f A L [ 1 1] =2,34375 N [ 1 1] Steifigkeitsmatrix der Struktur: [ K ]=21000 N /mm[ ] Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
33 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Lastmatrix der Struktur: Partitionierung: [ f ]=2,34375 N [1 1] [ K ff ]=21000 N /mm[ ] , [ f f ]=2,34375 N [2 1] 2 2 Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
34 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Gleichungssystem: [ u ][u u 4 u 5]=1, ] 4 mm[2 2 2 Verschiebungen: [u2 u 3 1,3392 u 4 1,6741 u 5]=[0,7813 1,7857]10 3 mm Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
35 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Spannungen: Die Spannung ist in jedem Element konstant: 1 =0,65625 N /mm 2, 2 =0,46875 N /mm 2 3 =0,28125 N /mm 2, 4 =0,09375 N /mm 2 Die Abbildungen auf der nächsten Seite zeigen: Die Verschiebungen an den Knoten stimmen mit den exakten Verschiebungen überein. Die Spannungen stimmen mit den exakten Spannungen in der Mitte der Elemente überein. Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
36 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Verschiebung: Spannung: Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM
3. Das Gleichungssystem
Lagerung: Damit das Fachwerk Kräfte aufnehmen kann, muss es gelagert werden, Die Lagerung muss so beschaffen sein, dass keine Starrkörperbewegungen oder Mechanismen mehr möglich sind. Die Verschiebungen
2. Die Steifigkeitsmatrix
. Die Steifigkeitsmatrix Freiheitsgrade der Gesamtstruktur: Bei einem ebenen Fachwerk hat jeder Knoten zwei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u x und u y, zu denen die Kräfte F x und F y gehören.
1. Das Stabelement. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM L x E u 1. u 2
Ein Fachwerk besteht aus einzelnen Stäben, die in den Knoten gelenkig miteinander verbunden sind. Für jeden Stab besteht eine lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen seiner Knoten und den Kräften
3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit
3.1 Stab 3.2 Scheibe 3. Das Prinzip der virtuellen Arbeit Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.3-1 3.1 Stab Herleitung des Prinzips der virtuellen Arbeit: Am Stab greifen als äußere
Finite Elemente Modellierung
Finite Elemente Modellierung Modellerstellung Diskretisierung des Kontinuums Methode der Finite Elemente Anwendungsbeispiele der FEM Zugstab: Kraftmethode Zugstab: Energiemethode Zugstab: Ansatzfunktion
1. Zug und Druck in Stäben
1. Zug und Druck in Stäben Stäbe sind Bauteile, deren Querschnittsabmessungen klein gegenüber ihrer änge sind: D Sie werden nur in ihrer ängsrichtung auf Zug oder Druck belastet. D Prof. Dr. Wandinger
3. Fluid-Struktur-Kopplung
3. Fluid-Struktur-Kopplung Bei einer schwingenden Struktur muss die Normalkomponente der Schallschnelle mit der Normalkomponente der Geschwindigkeit an der Oberfläche der Struktur übereinstimmen. Dadurch
2. Gauß-Integration. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-1
Die analytische Integration der Steifigkeitsmatrix für das Rechteckelement ist recht mühsam. Für Polynome gibt es eine einfachere Methode zur Berechnung von Integralen, ohne dass die Stammfunktion benötigt
4. Der Berechnungsprozess
Idealisierung Bauteil / Entwurf Preprocessor Mathematisches Modell Diskretisierung Finite-Elemente- Modell Solver Rechnung Ergebnisse Postprocessor Bewertung Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.4-1
Ausblick. 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen. Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1
Ausblick 1. Lineare dynamische Analysen 2. Nichtlineare Analysen 3. Weitere Anwendungen Prof. Dr. Wandinger 5. Ausblick FEM 5-1 1. Lineare dynamische Analysen Beschleunigungen: Bei linearen dynamischen
3. Prinzip der virtuellen Arbeit
3. Prinzip der virtuellen rbeit Mit dem Satz von Castigliano können erschiebungen für Freiheitsgrade berechnet werden, an denen Lasten angreifen. Dabei werden nicht immer alle Terme der Formänderungsenergie
Übungsaufgaben Systemmodellierung WT 2015
Übungsaufgaben Systemmodellierung WT 2015 Robert Friedrich Prof. Dr.-Ing. Rolf Lammering Institut für Mechanik Helmut-Schmidt-Universität / Universität der Bundeswehr Hamburg Holstenhofweg 85, 22043 Hamburg
Inhaltsverzeichnis Einleitung Mathematische Grundlagen
Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1.1 Vorgehensweise bei der FEM... 3 1.2 Verschiedene Elementtypen... 5 1.3 Beispiele zur Finite-Elemente-Methode... 10 1.3.1 Beispiel zu nichtlinearen Problemen... 10 1.3.2
2. Sätze von Castigliano und Menabrea
2. Sätze von Castigliano und Menabrea us der Gleichheit von äußerer rbeit und Formänderungsenergie kann die Verschiebung am Lastangriffspunkt berechnet werden, wenn an der Struktur nur eine Last angreift.
Dankert/Dankert: Technische Mechanik, 5. Auflage Lösungen zu den Aufgaben, Teil 4 (Kapitel 15-17)
Dankert/Dankert: Technische Mechanik, 5. Auflage Lösungen zu den Aufgaben, Teil 4 (Kapitel 15-17) Lösung 15.1: Element-Steifigkeitsmatrix Jeweils drei 2*2-Untermatrizen einer Element- Steifigkeitsmatrix
Klausurlösung Einführung in Numerische Methoden und FEM Universität Siegen, Department Maschinenbau,
Universität Siegen, Department Maschinenbau, 7.7. Aufgabe y 3 l 3 3 F l l x Das dargestellte Fachwerk soll statisch mit Hilfe der FEM untersucht werden. Die Knoten und Elemente sind in der Abbildung nummeriert.
Einführung FEM 1D - Beispiel
p. 1/28 Einführung FEM 1D - Beispiel /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/4_fem_intro/deckblatt.tex Seite 1 von 28 p. 2/28 Inhaltsverzeichnis 1D Beispiel - Finite Elemente Methode 1. 1D Aufbau Geometrie
Biegelinie
3. Biegelinie Die Biegemomente führen zu einer Verformung der Balkenachse, die als Biegelinie bezeichnet wird. Die Biegelinie wird beschrieben durch die Verschiebung v in y-richtung und die Verschiebung
Computational Biology: Bioelektromagnetismus und Biomechanik
Computational Biology: Bioelektromagnetismus und Biomechanik Biomechanik III Gliederung Wiederholung: Biomechanik II Spannungsanalyse Materialgleichungen Bewegungsgleichungen Biomechanik III Statische
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe
Numerische Methoden I FEM/REM
Numerische Methoden I FEM/REM Dr.-Ing. Markus Kästner ZEU 353 Tel.: 035 463 32656 E-Mail: Markus.Kaestner@tu-dresden.de Dresden, 06.0.206 Zusammenfassung 8. Vorlesung. Schiefwinklige Scheibenelemente Numerischer
Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer
Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine
3. Erzwungene Schwingungen
3. Erzwungene Schwingungen 3.1 Grundlagen 3.2 Tilger 3.3 Kragbalken 3.4 Fahrbahnanregung 3.3-1 3.1 Grundlagen Untersucht wird die Antwort des Systems auf eine Anregung mit harmonischem Zeitverlauf. Bewegungsgleichung:
1. Einfache ebene Tragwerke
Die Ermittlung der Lagerreaktionen einfacher Tragwerke erfolgt in drei Schritten: Freischneiden Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen Auflösen der Gleichungen Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse
Einführung FEM, 1D - Beispiel
Einführung FEM, D - Beispiel home/eichel/lehre/mhs/fem_intro/deckblatt.tex. p./6 Inhaltsverzeichnis D Beispiel - Finite Elemente Methode. D Aufbau Geometrie 2. Bilanzgleichungen 3. Herleitung der Finiten
Biegelinie
3. Biegelinie Die Biegemomente führen zu einer Verformung der Balkenachse, die als Biegelinie bezeichnet wird. Die Biegelinie wird beschrieben durch die Verschiebung v in y-richtung und die Verschiebung
Lineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 17.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 9 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche
4. Wellenausbreitung
Motivation: Beim Stab konnten Lösungen der Form gefunden werden. u x,t = f 1 x ct f 2 x ct Diese Lösungen beschreiben die Ausbreitung von Wellen im Stab. Die Funktionen f 1 x und f 2 x werden durch die
52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems. Festlager
52 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Loslager A estlager B BH Einspannung A M A AH A BV AV Abbildung 5.11: Typische Lagerungen eines starren Körpers in der Ebene (oben) und die zugehörigen Schnittskizzen
FEM isoparametrisches Konzept
FEM isoparametrisches Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/deckblatt.tex Seite von 25. p./25 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen
Finite-Elemente-Methode
Finite-Elemente-Methode Rechnergestützte Einführung von Peter Steinke 1. Auflage Finite-Elemente-Methode Steinke schnell und portofrei erhältlich bei beck-shop.de DIE FACHBUCHHANDLUNG Springer 2012 Verlag
3. Isoparametrische Elemente
3. Isoparametrische lemente Mit dem einfachen Rechteckelement lassen sich nur Probleme mit einer sehr einfachen Geometrie berechnen. Vielseitigere lemente lassen sich formulieren, wenn neben den Verschiebungen
4 Gewöhnliche Differentialgleichungen
4 Gewöhnliche Differentialgleichungen 4.1 Einleitung Definition 4.1 Gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten
1. Ebene gerade Balken
1. Ebene gerade Balken Betrachtet werden gerade Balken, die nur in der -Ebene belastet werden. Prof. Dr. Wandinger 4. Schnittlasten bei Balken TM 1 4.1-1 1. Ebene gerade Balken 1.1 Schnittlasten 1.2 Balken
Lineare Gleichungssysteme: Ein Beispiel aus der Elektrotechnik
Lineare Gleichungssysteme: Ein Beispiel aus der Elektrotechnik Ekkehard Batzies www.hs-furtwangen.de/ batzies 28. März 2008 Unser Beispiel: mit 4 Knoten. R 0,1 := Widerstand zwischen Knoten 0 und Knoten
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren
Hauptachsentransformation: Eigenwerte und Eigenvektoren die bisherigen Betrachtungen beziehen sich im Wesentlichen auf die Standardbasis des R n Nun soll aufgezeigt werden, wie man sich von dieser Einschränkung
5. Kritische Drehzahl
Aufgabenstellung: 5. Kritische Drehzahl y y Ω c/4 c/4 m c/4 e z O O S c/4 x Prof. Dr. Wandinger 6. Schwingungen Dynamik 2 6.5-1 Der starre Körper mit der Masse m dreht sich mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit
l p h (x) δw(x) dx für alle δw(x).
1.3 Potentielle Energie 5 In der modernen Statik benutzen wir statt dessen einen schwächeren Gleichheitsbegriff. Wir verlangen nur, dass die beiden Streckenlasten bei jeder virtuellen Verrückung dieselbe
A2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
1. Die Wellengleichung
1. Die Wellengleichung Die Wellengleichung ist eine partielle Differenzialgleichung für das Schallfeld. Sie lässt sich durch Linearisierung aus der Massenbilanz, der Impulsbilanz und der Energiebilanz
5.1 Gruppe paralleler Kräfte 5.2 Körperschwerpunkt 5.3 Flächenschwerpunkt. 5. Schwerpunkt. Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1
5.1 Gruppe paralleler Kräfte 5.2 Körperschwerpunkt 5.3 Flächenschwerpunkt 5. Schwerpunkt Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1 5.1 Gruppe paralleler Kräfte G 1 G 2 G R G i G n P x x 1 S x S Gesucht: Angriffspunkt,
Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen
3 Elementare Umformung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen Beispiel 1: Betrachte das Gleichungssystem x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 = 1 3x 1 x 2 + 4x 3 = 7 Wir formen das GLS so lange
Dankert/Dankert: Technische Mechanik, 5. Auflage Lösungen zu den Aufgaben, Teil 5 (Kapitel 18)
Dankert/Dankert: Technische Mechanik, 5. Auflage Lösungen zu den Aufgaben, Teil 5 (Kapitel 18) Lösung 18.1: Die Aufgabe wird nach der im Beispiel des Abschnitt 18.1.5 demonstrierten Strategie für die Lösung
Seminar Finite Elemente Implementierung der linearen Elastizitätsgleichungen in Matlab
Technische Universität Chemnitz Chemnitz, 16.11.2009 G. Wachsmuth Seminar Finite Elemente Implementierung der linearen Elastizitätsgleichungen in Matlab Einführung in die lineare Elastizität Dieses Kapitel
Kolloquium zur Bachelorarbeit Alain-B. Nsiama-Leyame 567830 Bachelorstudiengang Produktentwicklung und Produktion WS 2015 / 2016
Strukturanalyse einer mittels Rapid-Prototyping gefertigten Pelton-Turbinenschaufel - grundlegende Festigkeitsanalysen sowie Überlegungen zu Materialkennwerten Kolloquium zur Bachelorarbeit Alain-B. Nsiama-Leyame
5 Numerische Mathematik
6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul
3. Elastizitätsgesetz
3. Elastizitätsgesetz 3.1 Grundlagen 3.2 Isotropes Material 3.3 Orthotropes Material 3.4 Temperaturdehnungen 1.3-1 3.1 Grundlagen Elastisches Material: Bei einem elastischen Material besteht ein eindeutig
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung
1. Anfangswertprobleme 1. Ordnung 1.1 Grundlagen 1.2 Euler-Vorwärts-Verfahren 1.3 Runge-Kutta-Verfahren 1.4 Stabilität 1.5 Euler-Rückwärts-Verfahren 1.6 Differentialgleichungssysteme Prof. Dr. Wandinger
CES-Softwareentwicklungspraktikum Projekt: Elastische zweidimensionale Tragwerksberechnung
CES-Softwareentwicklungspraktikum Projekt: Elastische zweidimensionale Tragwerksberechnung Dipl.-Ing. M. Nicolai, Dipl. Phys. Eva Schlauch, Chair for Computational Analysis of Technical Systems, RWTH Aachen
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS 12/13 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt 12
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler im WS /3 Lösungen zu den Übungsaufgaben Blatt Aufgabe 5 Welche der folgenden Matrizen sind positiv bzw negativ definit? A 8, B 3 7 7 8 9 3, C 7 4 3 3 8 3 3 π 3
Diplomprüfung Frühjahr Prüfungsfach. Statik. Klausur am (bitte deutlich schreiben!)
Diplomprüfung Frühjahr 00 Prüfungsfach Statik Klausur am 04.0.00 Name: Vorname: (bitte deutlich schreiben) Matr.-Nr.: (9-stellig) Aufgabe 4 5 6 7 8 9 Summe mögliche Punkte 7 5 4 6 6 4 4 0 erreichte Punkte
2. Trägheitstensor. Prof. Dr. Wandinger 3. Kinetik des starren Körpers Dynamik
2. Trägheitstensor Der Drall hängt ab von der Verteilung der Masse und der Geschwindigkeit über den örper. Die Geschwindigkeitsverteilung ergibt sich aus der Überlagerung einer Translation und einer Rotation.
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau
Rolf Kindmann Matthias Kraus Finite-Elemente-Methoden im Stahlbau ICENTENN Ernst & Sohn Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung und Übersicht 1 1.1 Erforderliche Nachweise und Nachweisverfahren 1 1.2 Verfahren
Finite Elemente. Klaus Knothe Heribert Wessels. Eine Einführung für Ingenieure. Springer-Verlag
Klaus Knothe Heribert Wessels Finite Elemente Eine Einführung für Ingenieure Mit 283 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris Tokyo Hong Kong Barcelona Budapest Inhaltsverzeichnis
Statik I Ergänzungen zum Vorlesungsskript Dr.-Ing. Stephan Salber Institut für Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen Statik I Vorlesungs- und Übungsmaterial Vorlesung Benutzername: Vorlesungsskript
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)
WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE
2.5 ANFANGSRANDWERTPROBLEM DER ELASTOMECHANIK Charakterisierung Die Zusammenfassung der in den vorangehenden Folien entwickelten Grundgleichungen des dreidimensionalen Kontinuums bildet das Anfangsrandwertproblem
Brückenkurs Mathematik. Mittwoch Freitag
Brückenkurs Mathematik Mittwoch 5.10. - Freitag 14.10.2016 Vorlesung 4 Dreiecke, Vektoren, Matrizen, lineare Gleichungssysteme Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Montag 10.10.2016 0 Brückenkurs
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.2 Determinanten www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Kapitel 11 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Ein lineares Gleichungssystem (lgs) mit m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x 1, x 2,..., x n hat die Gestalt: Mit a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Matrizen und Vektoren, LGS, Gruppen, Vektorräume 1.1 Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A := 1 1 2 0 5 1 8 7 Berechnen Sie alle möglichen
CES-Softwareentwicklungspraktikum Projekt: Elastische zweidimensionale Tragwerksberechnung
CES-Softwareentwicklungspraktikum Projekt: Elastische zweidimensionale Tragwerksberechnung Dipl.-Ing. M. Nicolai, Dipl. Phys. Eva Schlauch, Dipl. Phys. Roland Siegbert, Chair for Computational Analysis
Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN
Schule Thema Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Unterlagen LehrerInnenteam Sehr oft treten in der Mathematik
(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA)
Wirtschaftsmathematik Plus für International Management (BA) und Betriebswirtschaft (BA) Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg Lineare : Einführung Beispiele linearer a) b) c) 2x 1 3x 2 = 1 x 1 +
Lineare Gleichungssysteme
Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare
4. Die ebene Platte. 4.1 Schallabstrahlung von Platten 4.2 Biegeschwingungen von Platten. Prof. Dr. Wandinger 4. Schallabstrahlung Akustik 4.
4. Die ebene Platte 4.1 Schallabstrahlung von Platten 4.2 Biegeschwingungen von Platten Prof. Dr. Wandinger 4. Schallabstrahlung Akustik 4.4-1 Schallabstrahlung einer unendlichen ebenen Platte: Betrachtet
Mathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem
Mathematisches Proseminar - Rotationssymmetrisches Wirbelstromproblem Daniel Leumann 9. Oktober 3 Inhaltsverzeichnis Zusammenfassung 3 Methoden 4. Schwache Lösung... 4. DasGalerkin-Verfahren... 4.3 FiniteElementeMethode...
a i j (B + C ) j k = n (a i j b j k + a i j b j k ) =
Lösungen Lineare Algebra für Physiker, Serie 2 Abgabe am 25.10.2007 1. Es seien A K m n, B,C K n p und D K p q gegeben. 9 P (a) Beweisen Sie das Distributivgesetz A(B + C ) = A B + AC. (b) Beweisen Sie
Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 2016
Institut für Analysis Prof Dr Michael Plum Lösungsvorschlag zur Modulprüfung Numerische Methoden Sommersemester 0 0090 Aufgabe Punkte: Betrachten Sie das lineare Gleichungssystem Ax = b mit A = 0 und b
5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag 6 $Id: jordantex,v 7 9/6/ :8:5 hk Exp $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5 Die Jordansche Normalform Nachdem wir bisher das Vorgehen zur Berechnung
Lagerreaktionen und Schnittgrößen eines verzweigten Gelenkrahmens
. Aufgabe Lagerreaktionen und Schnittgrößen eines verzweigten Gelenkrahmens Geg.: Kräfte F, F = F, F Streckenlast q F a Moment M = Fa Maß a 5 F Ges.: a) Lagerreaktionen in B, C und Gelenkkräfte in G, b)
Lineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 18.10.2012 Alexander Lytchak 1 / 12 Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen nun allgemeiner Gleichungssysteme der
Die Finite-Elemente-Methode. Anwendungsbereiche Soft- und Hardwarevoraussetzungen Programmierbarkeit
Die Finite-Elemente-Methode Anwendungsbereiche Soft- und Hardwarevoraussetzungen Programmierbarkeit Inhalt Die Finite-Elemente-Methode Was ist das und wofür? Die Idee mit den Elementen Anwendung der FEM
5.1 Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte
5 Prinzip der virtuellen Kräfte 5. Grundlagen zum Prinzip der virtuellen Kräfte Das Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK) stellt eine nwendung des Prinzips der virtuellen rbeit dar. Es dient zur Bestimmung
Inhaltsverzeichnis. 2 Anwendungsfelder und Software Problemklassen Kommerzielle Software 12
Bernd Klein FEM Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen- und Fahrzeugbau 8., verbesserte und erweiterte Auflage Mit 230 Abbildungen, 12 Fallstudien und 20 Übungsaufgaben STUDIUM
2. Der ebene Spannungszustand
2. Der ebene Spannungszustand 2.1 Schubspannung 2.2 Dünnwandiger Kessel 2.3 Ebener Spannungszustand 2.4 Spannungstransformation 2.5 Hauptspannungen 2.6 Dehnungen 2.7 Elastizitätsgesetz Prof. Dr. Wandinger
Statik. Klausur am Name: Vorname: Matrikelnummer: (bitte deutlich schreiben)
Diplomprüfung Frühjahr 2006 Prüfungsfach Statik Klausur am 20.02.2006 Name: Vorname: Matrikelnummer: (bitte deutlich schreiben) (9stellig) Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Summe mögliche Punkte 20 4 6 25 20 30
Spannungszustand
1. Spannungszustand 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor 1.2 Hauptspannungen 1.3 Mohrsche Spannungskreise 1.4 Fließbedingung 1.5 Gleichgewichtsbedingungen 1.1-1 1.1 Spannungsvektor und Spannungstensor
7.1 Matrizen und Vektore
7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit
Lösung II Veröffentlicht:
1 Momentane Bewegung I Die Position eines Teilchens auf der x-achse, ist gegeben durch x = 3m 30(m/s)t + 2(m/s 3 )t 3, wobei x in Metern und t in Sekunden angeben wird (a) Die Position des Teilchens bei
Lineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme 21 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Lernziele 2 Lineare Gleichungssysteme definieren Matrizen, Matrizen definieren lineare Abbildungen, Lösen von linearen Gleichungssystemen
Aufgaben zu Kapitel 14
Aufgaben zu Kapitel 14 1 Aufgaben zu Kapitel 14 Verständnisfragen Aufgabe 14.1 Haben (reelle) lineare Gleichungssysteme mit zwei verschiedenen Lösungen stets unendlich viele Lösungen? Aufgabe 14.2 Gibt
Spezielle Matrixformen
Definition B57 (Transposition) Eine einfache aber wichtige Operation auf Matrizen ist die Transposition, die aus einer (m n) Matrix A eine (n m) Matrix B = A T macht Hierbei gilt β i j = α j i, so daß
Ausgleichsproblem. Definition (1.0.3)
Ausgleichsproblem Definition (1.0.3) Gegeben sind n Wertepaare (x i, y i ), i = 1,..., n mit x i x j für i j. Gesucht ist eine stetige Funktion f, die die Wertepaare bestmöglich annähert, d.h. dass möglichst
Wilfried Gawehn FINITE ELEMENTE METHODE
Wilfried Gawehn FINITE ELEMENTE METHODE Aus dem Programm ~--- Maschinenbau/lnformatik FINITE-ELEMENTE-METHODE Lehrbuch Grundbegriffe der Energiemethoden und FEM in der linearen Elastostatik von Wilfried
1.1.2 Stabkräfte berechnen
1.1.2 Stabkräfte berechnen Wozu brauche ich dieses Thema? Man braucht die Berechnungsmethoden dieses Themas, um die Kräfte in Fachwerken zu berechnen. Auch Seilkräfte, z.b. im Bridle, können so ermittelt
in den knotenzentrierten Koordinatensystemen des linken und rechten Knotens (Element i) bekannt sind. Das Prinzip der Berechnung lat
Kapitel Gleichgewicht von Stabwerken Durch die Festlegung auf die grundlegenden Elementtypen und die knotenzentrierten Koordinatensysteme ist der Weg zur Formulierung der Gleichgewichtsbedingungen vorgezeichnet.
4. Verzerrungen. Der Abstand von zwei Punkten ändert sich. Der Winkel zwischen drei Punkten ändert sich
4. Verzerrungen Wird ein Körper belastet, so ändert sich seine Geometrie. Die Punkte des Körpers ändern ihre Lage. Sie erfahren eine Verschiebung. Ist die Verschiebung für benachbarte Punkte unterschiedlich,
Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 4 Seite 1 von 7. Unterlagen für die Lehrkraft. Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs
Seite 1 von 7 Unterlagen für die Lehrkraft Abiturprüfung 007 Mathematik, Leistungskurs 1. Aufgabenart Lineare Algebra/Geometrie mit Alternative 1 (Abbildungsmatrizen). Aufgabenstellung siehe Prüfungsaufgabe
18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus
18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus Conrad Donau 8. Oktober 2010 Conrad Donau 18. Matrizen 2: Gleichungssysteme, Gauß-Algorithmus 8. Oktober 2010 1 / 7 18.1 Wiederholung: Ebenen in R 3