2. Sätze von Castigliano und Menabrea

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Katrin Kalb
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1 2. Sätze von Castigliano und Menabrea us der Gleichheit von äußerer rbeit und Formänderungsenergie kann die Verschiebung am Lastangriffspunkt berechnet werden, wenn an der Struktur nur eine Last angreift. Die Sätze von Castigliano sind eine Erweiterung auf Strukturen, an denen mehrere Lasten angreifen

2 2. Sätze von Castigliano und Menabrea 2.1 Grundlagen 2.2 eispiele 2.3 Rahmen 2.2-2

3 2.1 Grundlagen etrachtet wird ein elastischer Körper, an dem Kräfte und Momente angreifen: Für die Verschiebungen bzw. Verdrehungen wird der gleiche Richtungssinn gewählt wie für die Kräfte bzw. Momente. F 1 u 1 F 2 M l ϕ l u 2 u k F k 2.2-3

4 2.1 Grundlagen Der erste Satz von Castigliano: Die rbeit von Kräften und Momenten ist definiert durch das Differenzial dw = F k du k M l d l k l ei einem elastischen Körper ist die rbeit unabhängig davon, wie die Lasten aufgebracht werden. Sie definiert eine potenzielle Energie. us W =E F =E F u k, l folgt: dw =de F = k E F u k du k l E F l d l 2.2-4

5 2.1 Grundlagen Daraus folgt der erste Satz von Castigliano: F k = E F u k, M l = E F l Mit dem ersten Satz von Castigliano lassen sich die Kräfte und Momente ermitteln, die nötig sind, um vorgegebene Verschiebungen und Verdrehungen zu verursachen. Dazu muss die Formänderungsenergie in bhängigkeit der vorgegebenen kinematischen Größen aufgestellt werden

6 2.1 Grundlagen Der zweite Satz von Castigliano: In der Praxis häufiger ist der Fall, dass die Verschiebungen und Verdrehungen für eine vorgegebene elastung gesucht sind. Es ist oft einfacher, die Formänderungsenergie in bhängigkeit von den Lasten aufzustellen. Um Gleichungen zu finden, die die kinematischen Größen in bhängigkeit von den Lasten liefern, wird die komplementäre rbeit eingeführt: C= k F k u k l M l l W 2.2-6

7 2.1 Grundlagen Veranschaulichung für ein System mit nur einer Kraft: Das Differenzial der komplementären rbeit berechnet sich zu F C W C=F u W u dc= k l k = k F k du k u k df k M l d l l dm l F k du k l u k df k l M l d l l dm l 2.2-7

8 2.1 Grundlagen Daraus kann abgelesen werden: u k = C F k, l = C M l Für eine linear-elastische Struktur gilt: C=W =E F F C W u Daraus folgt der zweite Satz von Castigliano: u k = E F F k, l = E F M l Damit können die Verschiebungen in Lastrichtung berechnet werden, wenn die Formänderungsenergie in bhängigkeit von den Lasten bekannt ist

9 2.1 Grundlagen Satz von Menabrea: Mit dem Satz von Menabrea lassen sich Reaktionslasten für statisch unbestimmte Systeme ermitteln. Dazu wird die Formänderungsenergie in bhängigkeit aller an der freigeschnittenen Struktur angreifenden Lasten aufgestellt. Da die Verschiebungen an den Lagern null sind, gilt für die Lagerkräfte und -momente: 0= E F F k, 0= E F M l Daraus können die Reaktionslasten berechnet werden

10 2.2 eispiele alkensystem: Gegeben: C F a = 500mm E = MPa M a = 480mm 2 I y = mm 4 2a F = 10kN, M = 10kNm Gesucht: Verschiebung u C und Verdrehung ϕ

11 2.2 eispiele Schnittlasten für Kraft F: iegemoment Normalkraft C C M y N F x 2 x 2 x M y 1 -af x 1 N -af alken : N 1 x 1 =F alkenc : N 1 x 2 =0 alken : M y1 x 1 = a F alkenc : M y1 x 2 = a F 1 x 2 a

12 2.2 eispiele Schnittlasten für Moment M: Die Normalkraft ist null: Im alken ist das iegemoment konstant: Im alken C ist das iegemoment null: Formänderungsenergie: E F = a N 1 E 1 2 N 2 =0 M y 1 M y 2 2 E I y dx 1 2 M y 2 =0 C 2 M y 1 M y 2 =M E I y dx erechnung der Integrale mit Hilfe einer Koppeltafel: M y1 M y 2 2 dx= M y 1 2 dx 2 M y1 M y2 dx M 2 y 2 dx

13 2.2 eispiele M y 1 2 dx=a 2 F 2 2 a=2 a 3 F 2, M 2 y 2 dx=2 a M 2 C M y1 M y 2 dx= a F M 2 a= 2 a 2 F M, M 2 y1 dx= 1 3 a3 F 2 Ergebnis: E F = a F 2 E 1 E I y = a3 F 2 E I y 7 6 i 2 y a 2 2 a3 F 2 a M 2 2 a 2 F M 1 6 a3 F 2 a2 F M a M 2 E I y E I y mit i y 2 = I y

14 Verschiebungen: u= E F F = 2 a3 F E I y Zahlenwerte: 2.2 eispiele 7 6 i 2 y a 2 2 a2 M E I y, = E F M = 2 a M a F E I y mm N u= 7 2, N /mm mm mm Nmm 2, N / mm mm 4 = 3,571 5,952 = 2,381 mm = mm 107 Nmm 500 m 10 4 N N / mm mm 2 =5,

15 2.2 eispiele Statisch unbestimmt gelagerter alken: Gegeben: a q 0 E a a q 0 C x I y z Gesucht: Kräfte in den Lagern, und C

16 2.2 eispiele Statisch bestimmtes Grundsystem: q 0 C a a x z z Lastfall 1: Streckenlast q 0 C x z 1z C 1z

17 2.2 eispiele Lagerkräfte: M =0 : 2 a C 1 z a 2 a q 0 =0 C 1z =q 0 a iegemoment: M y 1 0 =0 : c 2 =0 M C =0 : a 2 a q 0 2 a 1 z =0 1 z =q 0 a d 2 M y1 dx 2 = q 0 : M y1 x = 1 2 q 0 x 2 c 1 x c 2 M y 1 2 a =0 : 1 2 q 0 2 a 2 c 1 2 a =0 c 1 =q 0 a 2[ 2] M y 1 x =q 0 a x a 1 x 2 a ½q 0 a 2 M y M y 1 a = 1 2 q 0 a 2 a 2a x

18 2.2 eispiele Lastfall 2: Einzelkraft Schnittlasten: C x Q z 2z z Lagerkräfte: C 2z ½ z a 2a x M =0 : a z 2 C 2 z =0 -½ z M y C 2 z = 1 2 z M C =0 : a z 2 2 z =0 2 z = 1 2 z -½a z x

19 2.2 eispiele Formänderungsenergie: E F = = 1 2 E I y 2 a M y 1 M y2 2 2a a E I y M y 1 dx 2 a 2 dx 2 0 2a M y 1 M y 2 dx 0 M 2 y 2 dx erechnung der Integrale: 2 a 0 M y 1 2 a 2 dx=q 2 0 a 4 0 = 4 15 q 2 0 a 5 ( x a 1 2 ( x a )2 )2 2 dx=q 2 0 a 5 0 ( x a 12 ( x a ))2 d ( x a )

20 2.2 eispiele 2 a 0 2 a 0 a M y 1 M y 2 dx=2 0 M y 2 a 2 dx=2 0 M y 1 M y2 dx= a 1 2 q 0 a a z = 5 24 q 0 a 4 z M 2 y 2 dx= 2 3 a 1 2 a z 2= 1 6 a3 2 z Ergebnis: E F = 1 2 E I y 4 15 q 0 2 a q 0 a 4 z 1 6 a3 z

21 2.2 eispiele Lagerkräfte: Die Kraft z berechnet sich aus 0= E F = 1 z 2 E I 5 y 12 q 0 a a3 z zu z = 5 4 q 0 a. Für die übrigen Kräfte folgt: z = 1 z 2 z =q 0 a 5 8 q 0 a= 3 8 q 0 a C z =C 1 z C 2 z =q 0 a 5 8 q 0 a= 3 8 q 0 a

22 2.3 Rahmen Problem: ei geschlossenen Rahmen können die Schnittlasten nicht aus den Gleichgewichtsbedingungen ermittelt werden. Geschlossene Rahmen sind statisch unbestimmt. eispiele:

23 2.3 Rahmen Lösung: Zur Ermittlung der Schnittlasten wird der Rahmen an einer beliebigen Stelle geschnitten: s M y M y Q z N N Q z

24 2.3 Rahmen Nun kann die Formänderungsenergie in bhängigkeit von den noch unbekannten Schnittlasten ermittelt werden. Die Schnittlasten an den beiden Schnittufern sind gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet. Die Verschiebungen und die Verdrehung sind an beiden Schnittufern gleich. Daher ist die äußere rbeit der Schnittlasten null. Daraus folgt: E F N =0, E F Q z =0, E F M y =0 us diesen drei Gleichungen können die drei Schnittlasten bestimmt werden

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