Lehrveranstaltung Stereostatik

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1 ehrveranstaltung Stereostatik Thema 7: Berechnung ebener Rahmen Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.1

2 Problemstellung Wir haben uns bisher auf reine Fachwerke beschränkt. Auch wenn Fachwerke durchaus wichtig sind, handelt es sich bei den meisten Tragwerken um keine Fachwerke, sondern um Rahmen, deren Bauteile einer Biegung unterworfen sind. Beispiel: Die Bauteile sind nicht durch Gelenke verbunden, so dass kein Fachwerk vorliegt. Als Folge kommt es zu einem inneren Kraftgrößenzustand, der nicht durch eine konstante Kraft allein abgebildet werden kann. Fragen: 1. Welche Kraftgrößen kennzeichnen den inneren Kräftezustand?. Wie erfasse ich diesen Zustand? 3. Wie berechne ich diesen Zustand für beliebige Tragwerke unter beliebiger Belastung? Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.

3 inientragwerk Stabachse und Querschnitt echtes 3D-Kontinuum Stabachse Stabkoordinatensystem y Idealisierung z Stabachse (1D) + Querschnitt (D) Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.3

4 Koordinatendefinition bei ebenen Stabtragwerken z z z z gestrichelte Faser festlegen Orientierung der z-achse.. Blatt drehen, so so dass gestrichelte Zone unten Stabkoordinate von links nach rechts y-achse ergibt sich, so so dass Rechtssystem entsteht z Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.4

5 Schnittprinzip positives und negatives Schnittufer Träger Schnitt: es es entstehen Schnittufer Flächennormalen positives Schnittufer: Flächennormale zeigt zeigt in in positive -Richtung negatives Schnittufer: Flächennormale zeigt zeigt in in negative -Richtung Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.5

6 Schnittgrößen des ebenen Balkens pos. Schnittufer M neg. Schnittufer z Q N verhindert Relativ-Verschiebung in -Richtung, positiv: Stab wird gezogen. verhindert Relativ-Verschiebung in -Richtung, N: Normalkraft positiv: Stab wird gezogen. Q: Querkraft verhindert Relativ-Verschiebung in in z-richtung. verhindert Relativ-Verdrehung des Querschnittes, positiv: gestrichelte Faser wird gezogen. verhindert Relativ-Verdrehung des Querschnittes, M: Biegemoment positiv: gestrichelte Faser wird gezogen. Positive Schnittgrößen wirken am positiven Schnittufer in in positiver Koordinatenrichtung, am negativen in in negativer! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.6

7 Zustandslinien In In jedem Punkt des Tragwerks besitzen die Schnittgrößen einen anderen Wert: N = N() Q = Q() M = M() Zustandslinie: graphische Darstellung des Verlaufes einer Schnittgröße: N-inie Q-inie M-inie Ziel: Identifikation der Orte der maimalen Beanspruchung Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.7

8 Zustandslinien: analytische Vorgehensweise Schritt I: I: Bestimmung der der Auflagerreaktionen. Schritt II: II: Wahl der der Stabkoordinaten (gestrichelte Zonen). Schritt III: III: Schnitte führen, N(), Q(), M() in in jedem Bereich bestimmen. Schritt IV: IV: Graphische Darstellung mit mit Angabe relevanter Ordinaten. Positive Schnittgrößen in in Richtung der der positiven z-achse auftragen. Nachteil: angwierig und fehleranfällig! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.8

9 Gleichgewichtsbedingungen des Balkens M N p Q N () = p() N() = q N p() d Q () = q() Q() = Q q() d Q () = M () M() = M + Q() d Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.9

10 Beziehungen zwischen den Verläufen von q, Q, M q konstant linear... Q M konstant konstant linear linear quadratisch quadratisch kubisch ast Wo Q Null wird, besitzt M einen Etremwert! Q M Einzellast Sprung Knick Einzelmoment Sprung in q keine Änderung Knick Sprung Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.1

11 Zustandslinien: ingenieurmäßige Vorgehensweise Schritt I: I: Bestimmung der der Auflagerreaktionen. Schritt II: II: Wahl der der Stabkoordinaten (gestrichelte Zonen). Schritt III: III: Schnitte an an ausgesuchten Stellen führen, N, N, Q, Q, M dort dort bestimmen. Schritt IV: IV: Verläufe mittels der der Beziehungen zwischen den den einzelnen Variablen erschließen und und sofort zeichnen. Vorteil: Schneller und zuverlässiger! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.11

12 Direkte ösung der Gleichgewichts-DGen Die Gleichgewichtsbetrachtung am differentiellen Element liefert einen Satz von Differentialgleichungen. Bisher haben wir diese nur so weit interpretiert, dass aus ihnen gewisse Beziehungen zwischen den Schnittgrößen untereinander und zwischen Schnittgrößen und Belastung folgen. Sie können aber auch als Bestimmungsgleichungen angesehen werden: Gesucht sind Funktionen für N(), Q() sowie M(), die diese Differentialgleichungen erfüllen! N () = p() Q () = q() Q () = M () Wenn es uns gelingt, derartige Funktionen zu finden, herrscht im Innern des Stabes in jedem Punkt Gleichgewicht. Wenn wir also an einer beliebigen Stelle einen Schnitt führen und an den Schnittufern die entsprechenden Schnittgrößen antragen, die sich aus Auswertung der Funktionen N(), Q() und M() an dieser Stelle ergeben, stehen die freigeschnittenen Tragwerksteile jedes für sich im Gleichgewicht. Voraussetzung hierfür ist, dass die Schnittgrößenfunktionen kompatibel mit den agerungsbedingungen sind! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.1

13 DG und agerbedingungen Eventuell vorhandene agerungsbedingungen gehen nicht in die ösung der DGen ein, da die DGen ausschließlich von der ast abhängen. System I Beispiel: Träger unter Dreieickslast q System II q Die Belastungsfunktion ist in beiden Fällen identisch, so dass sich folglich die gleichen Differentialgleichungen ergeben, die auch die gleiche ösung hätten: q() = q Q () = q Q () = q + C1 M () = Q() = q + C1 M () = q C1 C Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.13

14 agerbedingungen - Randbedingungen Q () + 3 = q C1 M () = q + C1 + C 6 Wenngleich die ösungen der DG für beide Systeme I und II identisch sind, wissen wir doch, dass die Zustandslinien unterschiedlich sind, weil die agerungsbedingungen unterschiedlich sind. Bei jeder Integration der DG entsteht eine Integrationskonstante, die zunächst frei gewählt werden kann. Im vorliegenden Fall können wir also über zwei Konstanten C 1 und C verfügen. Diese Konstanten müssen so bestimmt werden, dass die Schnittgrößen am Rand die agerungsbedingungen erfüllen. Aus der zunächst unendlich großen Zahl der möglichen ösungen filtern wir genau diejenige heraus, die lagerkompatibel ist. Bei einem statisch bestimmten System gibt es genau so viele Bestimmungs immungs- gleichungen wie Integrationskonstanten, so dass sich diese eindeutig bestimmen men lassen! Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.14

15 System I: links eingespannter Träger q Q () = q + C 1 M () = q C1 C In der Einspannung entstehen eine vertikale Auflagerkraft und ein Einspannmoment, deren Größe unbekannt ist. Damit kennen wir auch die Werte der Querkraft und des Momentes in der Einspannung nicht. Am freien Ende des Trägers jedoch können wir unmittelbar links vom Ende einen Schnitt führen und die Werte der Schnittgrößen dort bestimmen. Da dort keine Einzellasten oder Einzelmomente angreifen, ergeben sich die Schnittgrößen zu Null: 1 Q ( = ) = C q M ( = ) = 1 = C 1 3 = q Q() = q M() = q Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.15

16 System II: beidseitig gelenkig gelagerter Träger q Q () = q + C 1 M () = q C1 C In den Gelenken entstehen vertikale Auflagerkräfte, deren Größe unbekannt sind. Damit kennen wir auch die Werte der Querkraft in den Gelenken nicht. Da die Gelenke frei drehbar gelagert sind, gibt es an dieser Stelle keinen Widerstand hinsichtlich einer Drehung und es entstehen keine korrespondierenden Reaktionen, so dass das Moment in den Gelenken Null ist: 1 M ( = ) = C = M ( = ) = C1 = q 6 Q() = q M() = q Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.16

17 Integrationsbereiche - Übergangsbedingungen Die Integration der Gleichgewichtsdifferentialgleichung setzt die Eistenz einer geschlossenen ösungsfunktion voraus. Immer dort, wo sich eine Größe sprunghaft ändert, muss deshalb einer neuer Integrationsbereich definiert werden mit nur dort lokal geltenden ösungsfunktionen. Neue Integrationsbereiche entstehen durch: Änderung der astfunktion, Angriff von Einzellasten bzw. Einzelmomenten, Auftreten von agern, Geometrische Diskontinuitäten. Die Gesamtlösung für das Gesamttragwerk setzt sich somit aus einer Anzahl von Teillösungen zusammen, die an ihren Übergängen entsprechende Übergangsbedingungen befriedigen müssen. Mit der Anzahl der Integrationsbereiche steigt die Anzahl der Integrationskonstanten entsprechend an. Wiederum gilt: Bei einem statisch bestimmten System gibt es genau so viele Bestimmungs immungs- gleichungen,, resultierend aus Rand- und Übergangsbedingungen,, wie Integrationskonstanten, so dass sich diese eindeutig bestimmen lassen! l Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.17

18 Beispiel: Träger mit vier Integrationsbereichen Der Träger besitzt vier Integrationsbereiche: I-II: Einzelmoment + Gelenk II-III: ager III-IV: Einzelkraft Somit entstehen durch die Integration 4=8 Integrationskonstanten, die durch 8 Rand- und Übergangsbedingungen zu bestimmen sind. Q I = Q II M II = M I = M M = M III = MIV II M III QIII = QIV + P Q IV = M IV = M P Bereich I Bereich II Bereich III Bereich IV Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.18

19 Zustandslinien: ösung der Gleichgewichts-DG Schritt I: I: Zerlegung des des Tragwerks in in Integrationsbereiche. Schritt II: II: Aufstellen der der bereichsweisen Differentialgleichungen und und ösung dieser. Schritt III: III: Bestimmung der der Integrationskonstanten aus aus Rand- und und Übergangsbedingungen. Schritt IV: IV: Funktionsverläufe zeichnen. Schritt V: V: Freischneiden der der ager und und Bestimmung der der agerreaktionen. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.19

20 Superpositionsprinzip Annahme: Das Tragwerk verhält sich linear; d.h. die Verformungen sind infinitesimal klein. Die Tragwerksantwort ist ist proportional zur Belastung; d.h. doppelte ast ergibt auch doppelte Schnittgrößen. Superpositionsprinzip: Die asten können in in beliebig viele astfälle aufgeteilt werden. Jeder astfall wird separat berechnet. Die Gesamtlösung ergibt sich dann als als Addition (Überlagerung, Superposition) der einzelnen Teillösungen. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.

21 Superposition des Momentes bei Stabbelastung herausgeschnittener Stab Stab mit mit konstanter inienlast Randlasten M l M r M l Moment linear linear M r M l Momentenlinie: quadratisch M r Stablasten Es Es ergibt sich sich der der gleiche Momentenverlauf im im Stab, wenn dem dem linearen Verlauf infolge der der Randmomente die die ösung des des Balkens auf auf Stützen überlagert wird! Moment Parabel Parabel Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.1

22 Einige Elementarfälle q M ma = ma q q /8 /8 P M ma = ma P/4 P/4 P a b M ma = ma Pab/ Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.

23 Zusammenfassung Es wurde erkannt, dass der innere Kräftezustand eines ebenen Rahmens durch drei Kraftgrößen bestimmt wird: die Normalkraft, die Querkraft und das Biegemoment. Diese Größen sind veränderlich: es handelt sich um Funktionen, die sog. Zustandslinien. Es ist eine zentrale Aufgabe der Statik, die Zustandslinien zu ermitteln, um aus diesen die maimalen Beanspruchungen abzulesen. Belastung und Schnittgrößen sind über die Gleichgewichtsdifferentialgleichungen miteinander verknüpft. Die Zustandslinien können auf verschiedene Art und Weise ermittelt werden: 1. Durch Führen eines allgemeinen Schnittes und analytische Bestimmung des Funktionsverlaufes.. Durch Führen spezieller Schnitte an ausgesuchten Stellen zur punktweisen Ermittlung der Zustandsgrößen und Ermittlung der funktionalen Verläufe durch Überlegung. 3. Durch ösen der Gleichgewichtsdifferentialgleichungen und Anpassung der allgemeinen ösungen an die Rand- und Übergangsbedingungen. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.3

24 Ausblick Nächste Übungsschritte: Schnittgrößenermittlung für verschiedene Rahmen mit geraden und gekrümmten Bauteilen mit Hilfe aller drei ösungstechniken. Nächster Vorlesungsschritt: In Wirklichkeit gibt es keine ebenen Tragwerke. Jedes Tragwerk umschließt einen Raum und ist somit dreidimensional. Es kann nur sein, dass man die Tragwirkung in eine Summe von ebenen Tragwirkungen zerlegen kann, die dann jede für sich als ebener Rahmen idealisiert und berechnet werden kann. Das ist jedoch nicht immer möglich. Es gibt ebenfalls Strukturen, durch das Aufkommen von computerbasierten Berechnungsmethoden sogar in verstärktem Maße, die ausschließlich als echte 3D-Probleme behandelt werden können. Wir werden sehen, dass neben den bereits bekannten Phänomenen wie Normalkraft und Biegung ein weiteres Phänomen auftritt, die sog. Torsion, die ausschließlich durch eine 3D-Betrachtungsweise erfassbar ist. Bergische Universität Wuppertal Baumechanik und Numerische Methoden Prof. Dr.-Ing. W. Zahlten Mechanik 1 Ebene Rahmen 7.4