Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau

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1 Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau Aufgabe 1 Innerer Kräfteverlauf in Fachwerkträgern. Bestimmen Sie qualitativ (ohne Cremonaplan) die inneren Kräfte in allen Elementen dieser vier Fachwerkträger. Nehmen Sie die Ergebnisse der äquivalenten Scheiben aus Übung 1 zur Hilfe. Angaben in m a) c) d) Seite 1

2 Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau Aufgabe 1 b) Um den inneren Kräfteverlauf in Fachwerkträger b) qualitativ eindeutig zu bestimmen, müsste man ihn Knoten für Knoten mit Hilfe eines Cremona-Plans lösen Seite 2

3 Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau Aufgabe 2 Tragwerksfamilie 1 - Schnittpunkt der Wirkungslinien innerhalb der Wandscheibe a) Damit die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt werden können, müssen sich die Wirkungslinien der Kräfte in einem Punkt schneiden. Aus dieser Forderung ergibt sich die Wirkungslinie der rechten Auflagerkraft. Der Schnittpunkt der Wirkungslinie der linken Auflagerkraft mit der Wirkungslinie der äusseren Einwirkung liefert den erforderlichen Schnittpunkt. Wird dieser Schnittpunkt mit dem rechten Auflager verbunden, so ist die Ermittlung der fehlenden Wirkungslinie erbracht. Im ersten Fall treffen sich die Wirkungslinien innerhalb der Scheibe. Einen möglichen inneren Kräfteverlauf erhält man, indem man die drei Kräfte direkt vom Auflager zum Schnittpunkt führt. Weil im nächsten Schritt eine Öffnung im unteren Teil der Scheibe vorgesehen werden soll, muss der Kräfteverlauf zurück ins Material gebracht werden. Das führt zu einer Zug-Umlenkkraft in den Ecken der Scheibe. Für die Ermittlung der Fachwerkstäbe bietet sich die ähnliche Herangehensweise wie in Aufgabe 1 an. Das heisst die Projektion des entwickelten qualitativen Kräfteverlaufs auf das Fachwerk liefert die Information, welche Elemente auf Druck und welche auf Zug beansprucht sind. Seite 3

4 Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau Aufgabe 2 Tragwerksfamilie 2 - Schnittpunkt der Wirkungslinien ausserhalb der Wandscheibe a) Im zweiten Fall treffen sich die Wirkungslinien ausserhalb der Scheibe. Einen möglichen inneren Kräfteverlauf erhält man, indem man die drei Kräfte zunächst direkt vom Auflager zum Schnittpunkt führt. Dort wo die Kräfte das Material verlassen, kann beispielsweise eine Kopplung der Umlenkungen vorgesehen werden. Weil im nächsten Schritt eine Öffnung im unteren Teil der Scheibe vorgesehen werden soll, muss der Kräfteverlauf erneut zurück ins Material gebracht werden. Das führt zu einer Zug-Umlenkkraft in den Ecken und einer Umlenkung im mittleren Feldbereich. Der Kräfteverlauf muss also insgesamt zweimal vom direkten Weg zum Auflager abweichen und umgelenkt werden. Zusätzlich muss die Umlenkung im mittleren Bereich im Vergleich zum Schritt zuvor noch (vertikal) skaliert werden, damit der Kräfteverlauf innerhalb des Materials bleiben kann. Für die Ermittlung der Fachwerkstäbe bietet sich die ähnliche Herangehensweise wie in Aufgabe 1 an. Das heisst die Projektion des entwickelten qualitativen Kräfteverlaufs auf das Fachwerk, liefert die Information, welche Elemente auf Druck und welche auf Zug beansprucht sind. * * In den mit * markierten Feldern, die die Wirkungslinie durchschneiden, kann ähnlich wie in Aufgabe 1 b) ein Cremona-Plan notwendig werden, um die Stabkräfte qualitativ zu bestimmen. Seite 4

5 Übung 2: Innerer Kräfteverlauf in Fachwerken, Stahlbau Aufgabe 2 Tragwerksfamilie 3 - Schnittpunkt der Wirkungslinien im Unendlichen a) Im dritten Fall treffen sich die Wirkungslinien im Unendlichen. Einen möglichen inneren Kräfteverlauf erhält man, indem man die drei Kräfte zunächst direkt vom Auflager zum Schnittpunkt (also vertikal) führt. Dort wo die Kräfte das Material verlassen, kann beispielsweise eine Kopplung der Umlenkungen vorgesehen werden, um den Kräfteverlauf in das Material zurück zu lenken. Es fällt auf, dass dieser Fall genau dem Fall enspricht, bei dem ein Rollenlager vorhanden ist. äquivalente Lösung äquivalente Lagerung Durch die Öffnung im unteren Teil der Scheibe muss der entwickelte Kräfteverlauf hier nur (vertikal) skaliert werden. Es braucht hier im Gegensatz zu dem vorherigen Fall keine zusätzlichen Umlenkräfte. Für die Ermittlung der Fachwerkstäbe bietet sich die ähnliche Herangehensweise wie in Aufgabe 1 an. Das heisst die Projektion des entwickelten qualitativen Kräfteverlaufs auf das Fachwerk liefert die Information, welche Elemente auf Druck und welche auf Zug beansprucht sind. Seite 5

6 Allgemeine Vorbemerkungen zum Unterschied zwischen statisch bestimmt und statisch unbestimmt gelagerten Tragwerken. Tragwerke, die statisch bestimmt gelagert sind, haben für die Auflagerkräfte nur eine Lösung (unabhängig von der Wahl des Stiches des Hilfs-Bogen-Seil Tragwerks) 1 Lösung für die Auflagerkräfte Tragwerke, die einfach statisch unbestimmt gelagert sind, haben bereits für die Auflagerkräfte unendlich viele Lösungspaare. Die Lösungen können zum Beispiel durch die Wahl der Stichhöhe des Bogens bzw. des Seils gesteuert werden. unendlich viele Lösungspaare für die Auflagerkräfte x-beliebiges Wirkungslinien-Paar Seite 6

7 Tragwerke, die mehrfach statisch unbestimmt gelagert sind, haben unendlich viele Lösungen. Kombinationen und Überlagerungen von statisch bestimmten Lösungen sind ein probates Mittel, um Lösungen für diese Tragwerke zu entwickeln. Eine Möglichkeit besteht darin, bestimmte Auflager auszublenden, und mit zwei Auflagern zu arbeiten. unendlich viele Lösungen für die Auflagerkräfte Eine andere Möglichkeit besteht darin, Teillösungen zu überlagern. 0.5* + 0.5* 0.75* * Seite 7

8 Entweder aus den gegebenen (statisch bestimmt gelagert) oder gewählten (statisch unbestimmt gelagert) Auflagerlösungen ergeben sich Randbedingungen für die Entwicklung des inneren Kräfteverlaufs, die es einzuhalten gilt. Trotz dieser Randbedingungen gibt es insbesondere für Scheiben unendlich viele Lösungen für den inneren Kräfteverlauf. äusseres, globales Gleichgewicht eine definierte Auflagerlösung gewählte Auflagerlösung gewählte Auflagerlösung eine beispielhafte Auswahl von unendlich vielen Lösung inneres, lokales Gleichgewicht Seite 8

9 Beim Picture Window House liegt eine statisch unbestimmte Auflagersituation vor. Innerer Fachwerkträger - Steuerung & Überlagerung der Tragwirkung bzw. ualitative Ermittlung Beim inneren Fachwerkträger können die äusseren Knotenkräfte stützenartig direkt in die, in derselben Wirkungslinie liegenden, Auflager eingeleitet werden. Stützenartiges Tragverhalten Die drei Kräfte in der Mitte des Fachwerks werden mit Hilfe eines balkenartigen Bogen-Seil Tragwerks in die beiden am nahe gelegensten Auflager eingeleitet. Das Auflager ganz rechts kann aufgrund des fehlenden Vertikalverbands nicht an der Abtragung der drei Kräfte beteiligt werden. Alternativ wäre es allerdings auch möglich die drei Kräfte über ein Konsolen-artiges Tragwerk in die beiden linken Auflager einzuleiten. Diese Alternative (unten dargestellt) soll hier allerdings nicht weiter verfolgt werden. Balkenartiges Tragverhalten Konsolenartiges Tragverhalten Überlagert man nun das stützenartige Tragverhalten für die aussen angreifenden Lasten mit dem balkenartigen Tragverhalten für die mittleren drei Lasten, so erhält man folgenden qualitativen Kräfteverlauf. Möglicher qualitativer Kräfteverlauf des inneren Fachwerkträgers (Überlagerung stützenartiges & balkenartiges Tragverhalten) Seite 9

10 Äusserer Fachwerkträger - ualitative Ermittlung Auch beim äusseren Fachwerkträger können die äusseren Knotenkräfte stützenartig direkt in die, in derselben Wirkungslinie liegenden, Auflager eingeleitet werden. Stützenartiges Tragverhalten Da das äussere Fachwerk auf beiden Seiten einen Vertikalverband besitzt, können dort im Gegensatz zum inneren Fachwerkträger auch auf beiden Seiten horizontale Kräfe eingeleitet werden. Dies ermöglicht ein Rahmenartiges Tragverhalten. Das Tragverhalten hängt, wie in Aufgabe 2 gezeigt, von der Wahl des Stiches ab. Im vorliegenden Fall wird die doppelte Gebäudehöhe gewählt. Durch diese Wahl kann sich folgender qualitativer innerer Kräfteverlauf einstellen. H H Rahmenartiges Tragverhalten (Verband mit je einem Auflager) Die im Vertikalverband angenommene Auflagersituation (mit einem unverschieblichen Auflager) lässt sich elegant in die real vorliegende Auflagerbedingung überführen. Rahmenartiges Tragverhalten (Verband je zwei Auflager) Überlagert man nun das stützenartige Tragverhalten für die äusseren Lasten mit dem rahmenartigen Verhalten für die mittleren Lasten, so erhält man folgenden qualitativen Kräfteverlauf für den Fachwerkträger. Möglicher qualitativer Kräfteverlauf des äusseren Fachwerkträgers (Überlagerung stützenartiges & rahmenartiges Tragverhalten) Überlagerte Auflagerkräfte sind gestrichelt dargestellt Seite 10

11 Bemessung innerer Fachwerkträger b) Ermitteln Sie nun für den inneren Fachwerkträger sowohl die inneren als auch die Auflagerkräfte quantitativ mit Hilfe des Cremona-Plans. Verwenden Sie dafür die Farbe rot für Zug, blau für Druck und grün für die äusseren Kräfte. Vorschlag Massstab Kräfteplan (bei DIN A3): 1cm=200kN Lageplan R= 1320 kn =440 kn =440 kn =440 kn 2 4 A R = 660 kn 1 l=5,64m 3 0 A L = 660 kn A L = 660 kn A R = 660 kn Kräfteplan Im Cremonaplan ist nur die Ermittlung der Stabkräfte des Trägers dargestellt. Die Kräfte aus der Überlagerung der Stütze werden nicht dargestellt Z max 8,4 cm D max 7 cm = kn = 1 430kN Seite 11

12 Bemessung innerer Fachwerkträger c) Ermitteln Sie die erforderliche uerschnittsfläche des Zuggurtes? Annahme Stahlgüte S235: f s,d = 235 N/mm 2 /1.05 (Teilsicherheitsbeiwert) = 224 N/mm 2 Z max = kn f s,d = 224 N/mm 2 A erf =1 680 *1000 [N] / 224 [N/ mm 2 ] = mm 2 d) Warum ist es sinnvoll sowohl den Zug- als auch den Druckgurt etwas stärker auszubilden als im entwickelten Kräfte-Modell angenommen? Welcher Sachverhalt wurde nicht berücksichtigt? In der Realität werden den reinen Zug-und Druckspannungen in den Fachwerkstäben weitere Spannungen, die aus lokalen Bogen-Seil Tragwerken zwischen den Knoten resultieren, überlagert. Diese Überlagerung wird zu noch grösseren Spannungen in bestimmten uerschnittsbereichen führen. Kräfte/Spannungen aus dem globalen Fachwerkmodell Kräfte/ Spannungen aus dem lokalen Bogen-Seil-Modell Spannungen überlagert + = e) Bei welchen Elementen könnte ein Knickproblem vorliegen? Was sind die entscheidenden Parameter für das Knickproblem und welchen Einfluss haben sie auf den Entwurf von Tragwerken? Bei Elementen auf Druck. Entscheidende Parameter sind die Lagerung des Elements (gelenkig, eingespannt), die Einfluss auf die Knicklänge haben. Aus dem Verhältnis der Knicklänge zur uerschnittsfläche ergibt sich die Schlankheit des Elements. Je grösser die Schlankheit, desto grösser die Abminderung der Tragfähigkeit für Druckbeanspruchungen. f) Führen Sie den Knicknachweis für die maximal beanspruchte Diagonale des inneren Fachwerkträgers durch. Vereinfachend kann diese Verbindung als am Ende gelenkig angeschlossen angenommen werden. (Zwischenergebnis D max = kn) uerschnittsannahme: H-Profil 250/250/9/14 mit A=9 000 mm 2 D D d A l = 5,64 m l cr = l = 5,64 m = mm Annahme: beidseitig gelenkig aus Angabe A = mm 2 A = 94,86 l cr / A = 5 640/94,86 = 59,5 mit dieser Zahl in das Diagramm gehen, t l l = t 0,72 als Abminderung D d = D max = kn A = mm 2 f s,d = 235 N/mm 2 D d A * f s,d = * 1000 [N] = [N] = [mm 2 ] * 235 [N/mm 2 ] = [N] D d / A * f s,d = [kn] / [kn] = 0,67 < 0,72 Seite 12

13 g) In der unten dargestellten Zeichnung sehen Sie links ein mögliches Spannungsfeld für einen Fachwerkknoten, der qualitativ genau die gleiche Beanspruchung wie Knoten A im äusseren Fachwerkträger erfährt. Ordnen Sie zunächst die Spannungszustände I, II und III einem Bereich in dem rechts abgebildeten zwei-achsigen Spannungsdiagramm für Stahl zu. σ 2 f s,d + I II Bereich a I III f s,d - Bereich d II I Bereich b f s,d + σ 1 II III Bereich c III f s,d - In Bereich I liegt ein einachsiger Zugspannungszustand vor. Im Diagramm kommen qualitativ alle Punkte auf der Achse σ 1, als auch auf der Achse σ 2 im positiven Bereich in Frage. In Bereich II liegt ein einachsiger Druckspannungszustand vor. Im Diagramm kommen qualitativ alle Punkte auf der Achse σ 1, als auch auf der Achste σ 2 im negativen Bereich in Frage. In Bereich III liegt ein zweiachsiger Spannungszustand vor. Dabei treten Zug- und Druckkräfte auf. Das heisst im Diagramm kommt qualitativ sowohl der Bereich d, als auch der Bereich b für diesen Spannungszustand in Frage. Seite 13