1. Aufgabe (ca % der Gesamtpunktzahl)

Transkript

1 . Aufgabe (ca. 7.5 % der Gesamtpunktzahl) S 4 b G S S S 3 F A B 8a Das dargestellte Tragwerk besteht aus 4 Stäben und einer starren Scheibe. Es wird durch die Kraft F und durch die Gewichtskraft G (im Schwerpunkt der starren Scheibe) belastet. a) Beurteilen Sie das Tragwerk hinsichtlich der statischen Bestimmtheit. b) Weisen Sie nach, dass b = 7 a für die Schwerpunktkoordinate der Scheibe gilt. 3 c) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen in A und B für den Fall b = 7 3 a. d) Bestimmen Sie die Stabkräfte S, S, S 3 und S 4. Gegeben: a, G, F = 7 36 G.

2 . Aufgabe a) Es gilt: a+g = 3n a = Lagerbedingungen g = Gelenke n = Anzahl Körper Da das Tragwerk aufgrund der Struktur als ein Körper betrachtet werden kann, folgt mit n =,g = 0 und a = = 3 = 3 hinreichend bestimmt nicht kinematisch gelagert notwendig bestimmt Innerlich und äußerlich bestimmt b) Es gilt: x s = Ai x i A i Daraus folgt für den Drehpunkt um C: C S b = ( ) + ( ) 3 S + ( ) = 6a a3 8a +8a = 7 3 a c) Für die Gleichgewichtsbedingungen gilt: S 4 S S S 3 b G F A B y B x 8a Fix = 0 : B x = 0 Fiy = 0 : B y +A F G = 0 M B = 0 : F 7 3 a G 8a A = 0

3 Daraus folgt: M B = 0 : 37 6 G 7 3 a G 8a A = 0 8a A = 37 6 G 7 3 a G A = 0 Fiy = 0 : B y +A F G = 0 B y = F +G B y = 43 6 G d) Für die Gleichgewichtsbedingungen mittels Ritterschnitt gilt: S 4 φ S S S a b G 8a Fix = 0 : S cos(φ) = 0 Fiy = 0 : S S 3 G = 0 M P = 0 : S 3 3 a G = 0 Daraus folgt: M P = 0 : S = 3 G Fiy = 0 : S S 3 G = 0 S 3 = S G S 3 = 43 G

4 Für die Stabkraft S 4 folgt mit dem Knotenpunktverfahren: S 4 α S S x Fix = 0 : S +S 4 sin(α) = 0 Mit sin(α) = 4 + = 5 folgt schließlich: S 4 = 5S = 5 3 G

5 . Aufgabe (ca. 7.5 % der Gesamtpunktzahl) b z c a a B a y 3 a a A a x F Das aus gelenkig verbundenen Stäben bestehende System (Gerippe einer Aufhängekonstruktion) wird im Punkt A durch eine Seilkraft F = F e x F e y F e z belastet. a) Diskutieren Sie die statische Bestimmtheit des Systems. b) Schneiden Sie die Knoten A und B frei und stellen Sie die einwirkenden Stabkräfte als Vektoren dar. c) Berechnen Sie die Stabkräfte S bis S 6. Gegeben: a, b, c, F.

6 . Aufgabe a) Es gilt: a+s = 3k a = Auflager s = Stäbe k = Knoten Mit k = 7,s = 6 und a = 3 5 folgt: = = 3 7 hinreichend bestimmt nicht kinematisch gelagert notwendig bestimmt Innerlich und äußerlich bestimmt b) Knoten A: S S z S 3 x F y S = S e = S ae x +ae z ( ae x +ae z ) = S ( e x +e z ) S = S e = S ae x +ae z (ae x +ae z ) = S (e x +e z ) S 3 = S 3 e 3 = S 3 ce y ce y = S 3 e y F = F( e x e y e z )

7 Knoten B: S 3 S 4 S 6 S 5 z x y S 3 = S 3 e 3 = S 3 ce y ce y = S 3 e y S 4 = S 4 e 4 = S 4 ae x +ae z ( ae x +ae z ) = S 4 ( e x +e z ) S 5 = S 5 e 5 = S 5 ae x +ae z (ae x +ae z ) = S 5 (e x +e z ) S 6 = S 6 e 6 = S 6 be y +ae z (be y +ae z ) be y +ae z = S 6 b +a c) Gleichgewicht in Knoten A: Gleichgewicht in Knoten B: +0 F S 3 F = 0 +0 F 0 S + S S + S Auflösen liefert: 0 S 4 + S 5 +0 b S S S 4 + S 5 a b +a +S 6 b +a 0 = 0 0 S,= 0 S = F, S 3 = F, S 4 = S 5 = F a b, S b +a 6 = F b

8 3. Aufgabe (ca. 7.5 % der Gesamtpunktzahl) q 0 A G B C l - x x l Der dargestellte Gerberträger wird durch eine konstante Streckenlast q 0 belastet. a) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen sowie die Gelenkkräfte in Abhängigkeit der Abmessung x. b) Bestimmen Sie die Abmessung x so, dass das maximale Feldmoment M Feld,max im Balken AG betragsmäßig so groß ist wie das Stützmoment M Stütz über Lager B. c) Skizzieren Sie für diesen Fall qualitativ den Momentenverlauf über den gesamten Träger. Gegeben: l, q 0.

9 3. Aufgabe a) Teilkörper I: q 0 G x A G y l x Für die Gleichgewichtsbedingungen gilt: Fix = 0 : G x = 0 M G (l x) l x = 0 : A(l x)+q 0 = 0 A = q 0 l x Fiy = 0 : A+G y q 0 (l x) = 0 G y = q 0 Teilkörper II: q 0 G x G y B y B x C x l Für die Gleichgewichtsbedingungen gilt: Fix = 0 : B x = 0 M B l = 0 : q 0 +q 0x +C l+g l x y x = 0 C = q 0 Fiy = 0 : q 0 l q 0 x G y +C +B y = 0 B y = q 0 l+q 0 x

10 b) Es gilt: gefordert ist: M Feld = M Stütz M Feld = q 0 (l x) Ermitteln des Stützmomentes über M B = 0 q 0 G x G y x M Stütz x B M Stütz +q 0 x +G yx = 0 B y M Stütz = q 0lx M Feld = M Stütz liefert q 0 (l x) = q 0lx q 0 ( l 8 lx 4 + x 8 lx ) = 0 x 6lx+l = 0 Auflösen ergibt x 5,83l x 0,76l Lösung: x 0,76l c) Momentenverlauf

11 4. Aufgabe (ca. 7.5 % der Gesamtpunktzahl) Teilaufgabe 4.: Beim Felsklettern können zur Sicherung von Personen sogenannte Klemmgeräte verwendet werden. Diese Geräte eignen sich besonders gut zur Verwendung in Felsspalten. Die Klemmwirkung beruht auf der Haftung zwischen dem Klemmgerät und dem Fels. In Abb. ist ein solches Klemmgerät abgebildet. Es kann zu dem in Abb. dargestellten System vereinfacht werden. Dabei sind zwei Stäbe gleicher Länge durch ein Gelenk verbunden, an dem die Last F angreift. Die Felswände seien unverschieblich, starr und rau. β β µ 0 (β) F µ 0 µ β Abb. Abb. Abb. 3 Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben: a) Berechnen Sie die Kräfte, die auf die Felswände wirken in Abhängigkeit von F und β. b) Bestimmen Sie den zum Haften benötigten Haftkoeffizient µ 0 in Abhängigkeit von β. c) Stellen Sie den Bereich, in dem Haften möglich ist, im gegebenen Diagramm (Abb. 3) qualitativ dar. Gegeben: F, β.

12 Teilaufgabe 4.: Beim Klettern an einem überhängenden Felsen stürzt ein Kletterer der Masse m und hängt danach statisch im Seil. Das undehnbare Seil wird dabei an drei feststehenden Rollen umgelenkt und durch den Sichernden gehalten. Zwischen den feststehenden Umlenkrollen und dem Seil herrscht Haftreibung mit Haftkoeffizient µ 0. Wie groß ist die Seilkraft, die auf den Sichernden wirkt? µ 0 µ 0 α 3 α m g α µ 0 Gegeben: α = 05, α = 45, α 3 = 70, µ 0 = 0., m = 00kg, g = 9.8 m s.

13 4. Aufgabe Teilaufgabe 4. a) Freischnitt Knoten : β β Fx = 0 : S cos(β)+s cos(β) = 0 Fx = 0 : S sin(β) S sin(β) F = 0 S F S Daraus folgt: Fx = 0 : S = S Fy = 0 : S = F sin(β) b) Aufgrund der Symmetrie genügt der Freischnitt von Knoten : S N β H µ 0 N Fx = 0 : N +S cos(β) = 0 Fx = 0 : H +S sin(β) = 0 Daraus folgt: Fx = 0 : N = S cos(β) = F Fy = 0 : H = S sin(β) = F cos(β) sin(β) = F tan(β) Über die Haftbedingung ergibt sich c) Haftbereich: H µ 0 N µ 0 H N = F F tan(β) = tan(β)

14 µ = tan(β) β Teilaufgabe 4. Berechnen des Umschlingungswinkels: β i = 0 Umrechnen in [rad] α = 05 β = α = 75 α = 45 β = α = 35 α 3 = 70 β = α 3 = 0 0 = 0 π = 3,8397 [rad] 360 Einsetzen in die Formel nach Euler-Eytelwein liefert S a = S b e µ 0β S a = m g e µ 0 βi = 00kg 9,8 m s e 0, 3,8397 = 668, kg m s = 668,N