TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK)

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1 Probeklausur im Fach TECHNISCHE MECHANIK A (STATIK) Nr. 8 Matrikelnummer: Vorname: Nachname: Ergebnis Klausur Aufgabe: 3 4 Summe Punkte: 9 8,, 8 Davon erreicht Punkte: Gesamtergebnis Klausur Testate Summe NOTE Bearbeitungszeit: Minuten Hilfsmittel: - Taschenrechner, programmierbar oder nicht programmierbar - Gebundenes Vorlesungsmanuskript der Veranstaltung Technische Mechanik A (Statik) mit handschriftlichen Notizen ohne zusätzliche Blätter Hinweise: Beschriften Sie das Deckblatt mit Name und Matrikelnummer. Die Aufgaben sind nachvollziehbar zu lösen. Selbst eingeführte Variablen sind durch gegebene Größen zu definieren. Nur Ergebnisse in den dafür vorgesehenen Lösungsbereichen auf dem Aufgabenblatt werden bewertet. Zusätzliche Lösungsbögen sind ebenfalls mit Name und Matrikelnummer zu versehen und abzugeben. Seite von 6

2 Aufgabe (9 Punkte) Der dargestellte Kran besteht aus einer Fachwerkstruktur und einem Ausleger der Länge l. Der Kran ist durch das Festlager im Punkt A und das Loslager im Punkt B fixiert. Der Ausleger ist im Punkt G gelenkig mit dem Fachwerk verbunden und wird zusätzlich durch das im Punkt C angeschlossene Seil gehalten. Durch äußere Belastungen wirkt auf den Balken des Auslegers eine linear veränderliche Streckenlast, welche vom Punkt G linear auf den Maximalwert q im Punkt D ansteigt. Außerdem wirkt am Ende des Auslegers in Punkt E die Kraft F in vertikale Richtung. Zur Bestimmung der Gelenkkräfte in G und der Seilkraft S sollen a) das / die erforderliche/n Freikörperbild/er erstellt, b) die entsprechenden Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt und c) die Gelenkkräfte in G und die Seilkraft S mit den Gleichgewichtsbedingungen aus Aufgabenteil b) berechnet werden. Für den Aufgabenteil d) sind die Gelenkkräfte in G und die Seilkraft S als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der Gelenkkräfte aus Aufgabenteil a)! d) Bestimmen Sie den Normalkraft-, Querkraft- und Momentenverlauf im Balken des Auslegers zwischen den Punkten G und E in Abhängigkeit der gegebenen Größen. Definieren Sie hierzu (ein) geeignete(s) Koordinatensystem(e) und geben Sie den (die) dazugehörigen Gültigkeitsbereich(e) an. Gegeben: l, α, β = 3, q, F = q l, nur in Aufgabenteil d) zusätzlich: Gelenkkräfte in G und Seilkraft S Lösung a) Freikörperbild(er): R q = q o l Seite von 6

3 Lösung b) Gleichgewichtsbedingungen: F x = : G x S cos(β) F sin(α) = () F y = : G y + S sin(β) R q F cos(α) = () M A = : R q l S sin(β) 4 l + F cos (α) 7 l = (3) 3 aus (3): S = R q 3 l+f cos (α) 7 l sin(β) 4 l (4) (4) in (): G x = S cos(β) + F sin(α) = ( R q 3 l+f cos(α) 7 l ) cos(β) + F sin(α) sin(β) 4 l (4) in (): G y = S sin(β) + R q + F cos(α) = ( R q 3 l+f cos(α) 7 l ) sin(β) + R q + F cos(α) sin(β) 4 l Lösung c) Ergebnisse (, Punkte): S = + 3 q l G x = 7+ 3 q 4 l G y = 9 3 q 4 l Seite 3 von 6

4 Lösung d) Freikörperbild(er) mit Bereichs-/Gültigkeitsangabe(n): Bereich : < x < 4 l R q = q(x) x q(x) = m x + b q(x = ) = = m + b R q = q l x b = q(x = l) = q = m l + q(x) = q l m = q l x Bereich : 4 l < x < l R q = q(x) x q(x) = m x + b q(x = ) = = m + b R q = q l x b = q(x = l) = q = m l + q(x) = q l m = q l x Bereich 3: l < x < 7 l (negatives Schnittufer) Seite 4 von 6

5 Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen und Ergebnisse für Schnittreaktionen (keine graphische Darstellung): Gleichgewichtsbedingungen: Bereich : < x < 4 l F x = : N(x) + G x = N(x) = G x F z = : Q(x) G y + R q = Q(x) = G y R q M S = : M(x) + R q x G 3 y x = M(x) = G y x R q x 3 Bereich : 4 l < x < l F x = : N(x) + G x S cos(β) = N(x) = G x + S cos(β) F z = : Q(x) G y + R q S sin(β) = Q(x) = G y + S sin(β) R q M S = : M(x) + R q x G 3 y x S sin (β) (x 4 l) = M(x) = G y x + S sin(β) (x 4 l) R q x 3 Bereich 3: l < x < 7 l (negatives Schnittufer) F x = : N(x) F sin(α) = N(x) = F sin (α) F z = : Q(x) + F cos (α) = Q(x) = F cos (α) M S = : M(x) F cos (α) ( 7 l x) = M(x) = F cos (α) (7 l x) Ergebnisse: Bereich : < x < 4 l Bereich : 4 l < x < l N(x) = G x N(x) = G x + S 3 Q(x) = G y R q Q(x) = G y + S R q M(x) = G y x R q x 3 M(x) = G y x + S (x 4 l) R q x 3 Bereich 3: l < x < 7 l (negatives Schnittufer) N(x) = F Q(x) = F 3 M(x) = F 3 (7 l x) Seite von 6

6 Aufgabe (8, Punkte) Die rechts dargestellte Satellitenstation besteht aus einer Fachwerkstruktur, welche die Satellitenschüssel in ihrer dargestellten Position hält. Das System wird durch das Festlager A und das Loslager B im Gleichgewicht gehalten. Auf die Satellitenschüssel wirkt durch eine äußere Belastung eine konstante Streckenlast mit dem Wert q. Am Punkt C greift die Kraft F in vertikaler Richtung an. a) Markieren Sie alle Nullstäbe in der Skizze (ohne Begründung). b) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen in A und B. Für den Aufgabenteil c) sind die Auflagerreaktionen als gegeben anzunehmen! Übernehmen Sie den Richtungssinn und die Orientierung der Auflagereaktionen aus Aufgabenteil b)! c) Ermitteln Sie unter Verwendung des Ritterschen Schnittprinzips die Stabkräfte S, S 3, S 4 in den Stäben, 3 und 4. d) Ermitteln Sie unter Verwendung des Knotenpunktgleichgewichtsverfahrens die Stabkräfte S 7 und S 8 in den Stäben 7 und 8. Gegeben: a, γ, q, F 4aq, nur in Aufgabenteil c) zusätzlich: Auflagerreaktionen in A und B Lösung b) alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen: F q = q a Seite 6 von 6

7 Lösung b) alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen: (Fortsetzung) F q = q a F q V = ( q a) = a q F q H = ( q a) = a q M A = : B V a + F a F q H 3 a = B V = (F q H 3 a F a) a = ( a q 3 a 4 a q a) a = 6 q a q a = 4 q a F y = : A V + B V F F q V = A V = B V + F + F q V = 4 q a + 4 q a + q a = q a F x = : A H + F q H = A H = F q H = q a Seite 7 von 6

8 Lösung c) Freikörperbild(er) zur Bestimmung der Stabkräfte: h = tan (γ) a A H = q a A V = q a B V = 4 q a Lösung c) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stabkräfte: M I = : S 4 a + B V a = S 4 = B V = 4 q a M II = : S a A H h A V a = S = a ( A H h A V a) = q a (tan(γ) ) F x = : S 3 cos(γ) A H = S 3 = A H = q a cos(γ) cos (γ) Lösung c) Ergebnisse (, Punkte): S = q a (tan(γ) ) S 3 = q a cos (γ) S 4 = 4 q a Seite 8 von 6

9 Lösung d) Freikörperbild(er) zur Bestimmung der Stabkräfte: Lösung d) Gleichgewichtsbedingungen zur Bestimmung der Stabkräfte: F x = : S 7 + S 8 = () F y = : F S 7 = () aus (): S 7 = F = 4 a q o (3) (3) in (): ( F) + S 8 = S 8 = F = 4 a q Lösung d) Ergebnisse (, Punkte): S 7 = 4 a q o S 8 = 4 a q Seite 9 von 6

10 Aufgabe 3 ( Punkte) Das dargestellte räumliche Dreibein besteht aus den Stäben I, II und III. Zusätzlich ist ein Seil im Punkt A befestigt und verläuft von dort über eine frei drehbar gelagerte Rolle bis zum Punkt B. Das Seil soll nun mit der Kraft F vorgespannt werden. Bestimmen Sie die Seilkraft S, so dass die sich einstellende Kraft im Stab I N (Druck) beträgt. Dazu sollen, a) das / die zur Berechnung der Seilkraft und der Stabkräfte S II und S III erforderliche(n) Freikörperbild(er) gezeichnet werden, b) die Einheitsvektoren in Richtung der Seilkraft und Stabkräfte S I, S II, S III mit Hilfe der gegebenen geometrischen Größen bestimmt werden und in Abhängigkeit der noch unbekannten Beträge der Seilkraft sowie der Stabkräfte S II und S III die Vektoren dieser Kräfte ermittelt werden, c) das vektorielle Kräftegleichgewicht zur Bestimmung der Beträge der Seilkraft und der Stabkräfte S II, S III aufgestellt werden, d) die sich einstellenden Kräfte in dem Seil und den Stäben II und III berechnet werden. Die Umlenkrolle ist jetzt als fest anzusehen. Zwischen ihr und dem Seil liegt der Haftreibungskoeffizient μ vor. Nehmen Sie an, dass die Seilkraft am Punkt A aus Aufgabenteil a) bekannt ist. e) Bestimmen Sie die Seilkraft am Punkt B, wenn die Umlenkrolle klemmt und zusätzlich der Haftreibungskoeffizient μ zwischen Seil und Umlenkrolle vorliegt. Gegeben: a, S I = - N, nur in Aufgabenteil e) zusätzlich: μ =,3, Seilkraft S Lösung a-e): Seite von 6

11 Lösung a-e): b) c) e I = ( 6a ) 6a 6a e II = ( 3a) a 9 a 6a e III = ( 3a) e = ( 3a) a 9 a 4 a = S I + S II + S III + S S I = N ( ) 6 S II = S II ( 3) 3 6 S III = S III ( 3) 3 S = S ( 3) d) 6 6 ( ) = ( ) + S II ( 3) + S 3 III ( 3) + S 3 ( 3) = N S II S III + () = S II 3 3 S III 3 S () = N + + S (3) aus (3): S = F = N (Zug) (4) aus (): 6 3 S II = N 6 3 S III S II = 3N S III () () & (4) in (): = 3 3 (3N S III) 3 S 3 III 3 ( N) = N 3 S 4 3 III 3 S 3 III 3 S III = 3 3 (N 4 N 3 N) 6,76N (Druck) (6) (6) in (): S II = 3N ( 6,76N) = 49,368N (Zug) e) S B = S e μ α^ S B = N e,3( 8 )π = 3,76N tan(γ) = 3 γ = 3 α = 8 3 = Seite von 6

12 Aufgabe 4 ( Punkte) Ein Fahrradfahrer mit dem Gesamtgewicht F G (Radfahrer + Fahrrad) steht an einem Hang und betätigt nur die Hinterradbremse. In der Detailansicht ist das System der Hinterradbremse zur Verdeutlichung genauer dargestellt. Am Punkt C greift die Bremskraft F Brems an und wird über die Kabelzüge an die Stäbe I und II bzw. III und IV weitergeleitet. Die Stäbe I und II bzw. III und IV sind gelenkig miteinander verbunden. Die Stäbe II bzw. IV sind dabei jeweils durch ein Festlager in A bzw. B gehalten. Wird die Hinterradbremse betätigt, so entsteht eine Zugkraft im Kabelzug, wodurch über die gelenkige Verbindung eine Druckkraft auf die Felge mittels der Bremsbeläge ausgeübt wird. Zwischen den Bremsbelägen und der Felge ist der Haftreibungskoeffizient μ S anzunehmen. Die Gleichgewichtslage beim Betätigen der Hinterradbremse ist durch die gegebenen Winkel δ und ε dargestellt. Bestimmen Sie die minimale Bremskraft F Brems im Kabelzug der Hinterradbremse, sodass der Fahrradfahrer nicht hangabwärts fährt! Dazu soll(en), a) die hangparallele Kraftkomponente der Gewichtskraft F G berechnet werden, b) das Haftreibungsgesetz für die notwendige minimale Haftreibunskraft zwischen den Bremsbelägen und der Felge aufgestellt werden, welcher der hangparallelen Kraftkomponente entgegenwirkt. Nehmen Sie hierfür vereinfachend an, dass die Haftreibungskraft der gesamten hangparallelen Kraftkomponente entgegenwirken muss! c) die Kräfte in den Stäben I, II, III und IV sowie die Kräfte in den Kabelzügen und die Bremskraft F Brems berechnet sowie das / die dazu erforderliche(n) Freikörperbild(er) gezeichnet werden. Gegeben: α, β, δ, ε, µ S, F G Lösung a), hangparallele Kraftkomponente der Gewichtskraft F G : F H = F G sin (α) Seite von 6

13 Lösung b), Haftreibungsgesetz für die Haftreibungskraft an den Bremsbelägen: Druckkraft auf die Felge: Hangabtriebskraft: N Ges F H M Radmittelpunkt = : F H r Reifen F H Felge r Felge = F H Felge = F H r Reifen r Felge mit: r Reifen r Felge folgt: F H Felge F H Bedingungsgleichung: N Ges μ S F H Felge (Haften) N Ges F Felge H μ S Lösung c), alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen: Aufgrund der symmetrischen Bremsanlage und einem Bremsbelag pro Seite wird die Stabkraft wie folgt angenommen: S I = N Ges (Druck) F x = : S I + S K cos(δ) + S II cos(ε) = () F y = : S K sin(δ) S II sin(ε) = () aus(): S II = S K sin(δ) sin(ε) (3) (3) in (): S I + S K cos (δ) + S K sin(δ) sin(ε) cos(ε) = S K = S I = NGes cos(δ)+ sin(δ) sin(ε) cos(ε) (cos(δ)+ sin(δ) sin(ε) cos(ε)) (Zug) (4) (4) in (3): S II = N Ges sin(δ) = N Ges sin(δ) (Zug) (cos(δ)+ sin(δ) cos(ε)) sin(ε) (sin(ε) cos(δ)+sin(δ) cos(ε)) sin(ε) Seite 3 von 6

14 Lösung c), alle benötigten Freikörperbilder und Gleichgewichtsbedingungen (Fortsetzung): Aus Symmetrie: S IV = S II = N Ges sin(δ) (sin(ε) cos(δ)+sin(δ) cos(ε)) (Zug) S III = S I = N Ges (Druck) 8 = β + δ + 9 β = (9 δ) () F y = : F Brems S K cos ( β ) = F Brems = S K cos ( β ) (6) (4) & () in (6): F Brems = N Ges cos(9 δ) (cos(δ)+ sin(δ) sin(ε) cos(ε)) F Brems F Felge H cos(9 δ) μ S (cos(δ)+ sin(δ) sin(ε) cos(ε)) Ergebnis ( Punkte): F Brems F Felge H cos(9 δ) μ S (cos(δ)+ sin(δ) sin(ε) cos(ε)) Seite 4 von 6

15 Aufgabe (, Punkte) Das dargestellte Blech mit konstanter Dicke t und homogener Dichteverteilung ρ soll in der gezeigten horizontalen Position mittels einer Seilschlaufe angehoben werden. a) Bestimmen Sie die Position b der Bohrung um das Blech in der gezeigten horizontalen Gleichgewichtslage anzuheben. b) Berechnen Sie die y S -Koordinate des Flächenschwerpunktes. (Hinweis: Bei den Berechnungen ist die Seilschlaufe zu vernachlässigen.) Gegeben: a Lösungen a)+ b): x s = n i= A i x Si n i= A i ; y s = n i= A i y Si n i= A i i A i x Si y Si A i x Si A i y Si a a,a a 3 a 3 7,a a 3 a 8,a3,a 3 3 3a,a,a 4,a 3 4,a 3 4 πa b,a πa b,πa 3 (4, π)a / / 38a 3 πa b (33,π)a 3 x s =! b b = 38a3 πa b (4, π)a b = 38a πb 4, π 4, π b ( + π ) = 38a 4, π b ( 4, 4, π ) = 38a 4, π 4, π b = 38a 4, π (4, π 4, ) = 38a 4, 6,8a y s = (33,π)a3 (4, π)a,437a Seite von 6

16 Notizen (werden nicht bewertet): Seite 6 von 6