3. Zentrales ebenes Kräftesystem

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1 3. Zentrales ebenes Kräftesystem Eine ruppe von Kräften, die an einem starren Körper angreifen, bilden ein zentrales Kräftesystem, wenn sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden. f 3 f 1 P F 3 f 2 1

2 3.1.1 Zerlegung von Kräften Eine Kraft lässt sich in der Ebene eindeutig in zwei Einzelkräfte zerlegen, deren Wirkungslinie vorgegeben sind und die sich in einem Punkt schneiden f 2 P F f 1 Im werden die Wirkungslinien f 1 und f 2 der Einzelkräfte festgelegt. Sie bilden mit der Kraft F r ein zentrales Kräftesystem. F f 2 Kräfteplan Im maßstäblichen Kräfteplan werden die Einzelkräfte ermittelt und wieder in den eingetragen. Die Einzelkräfte F r und ersetzen die Kraft F r 1 F r 2. f 1 2

3 3.1.2 Zusammenfassen von Kräften Zwei Kräfte F r 1 und, deren Wirkungslinien sich schneiden, können zu ihrer Resultierenden R r F r 2 zusammengefasst werden. Im wird die relative Lage der Kräfte zueinander eingetragen. r f 2 P f 1 r R R Kräfteplan Im maßstäblichen Kräfteplan erfolgt grafisch die Addition der Kräfte. Die Resultierende wird anschließend in den eingezeichnet. Ihre Wirkungslinie geht durch den Schnittpunkt der angreifenden Kräfte. 3

4 Sonderfall: Seilrolle s r 1 s r 2 P S S S R A r r S S R r r S Kräfteplan Die Resultierende der Seilkräfte geht stets durch das Lager, sie bilden ein zentrales Kräftesystem. Die Lagerkraft ist der Resultierenden entgegengerichtet. 4

5 Das Zusammenfassen mehrerer Kräfte kann durch wiederholtes Zusammenfassen von zwei Kräften realisiert werden. P F 3 F 4 R R R 1 R 2 F 4 F 3 F 4 Kräfteplan R F 3 Die Resultierende ergibt sich durch Verbinden des Anfangspunktes mit dem Endpunkt des gebildeten Kraftecks. Zwischenresultierende werden i. allg. nicht eingetragen. Alle Kraftvektoren werden mit gleichem Umlaufsinn eingetragen. Die Resultierende ist den Kraftvektoren entgegengerichtet. 5

6 Beispiel: Pfosten mit drei Kräften egeben: = 30 kn, = 40 kn und F 3 = 20 kn esucht: Betrag und Richtung der Resultierenden R Richtung von und Betrag von R, wenn diese senkrecht wirken soll Kräfteplan F 3 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 kn 6

7 Übung: Fundament mit drei längs belasteten Trägern egeben: = 50 kn, = 80 kn und F 3 = 20 kn esucht: Betrag und Richtung der Resultierenden R Betrag von F 3, damit R minimal wird Kräfteplan F 3 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 kn 7

8 3.1.3 Rechnerische Behandlung Für die Resultierende R r mehrere Kräfte F r gilt: n R x = F ix i= 1 Der Betrag der Resultierenden ergibt sich aus R = R x R y n R = F n = F i i= 1 Zweckmäßigerweise werden die Kraftvektoren F r i in Richtung eines x,y- Koordinatensystem zerlegt. Die skalaren Komponenten der Resultierenden ergeben sich aus der Summe der skalaren Komponenten der Einzelkräfte: n R y = F iy i= 1 i und für den Winkel der Resultierenden gegenüber der x-achse gilt R tanϕ = y R Rx 8

9 Beispiel: Zusammenfassen dreier Kräfte esucht: Betrag und Richtung der Resultierenden =30 N y α 1 =120 =40 N α 2 =30 0 α 3 =-15 x F 3 =50 N 9

10 Übung: eschleppter Tanker in Fahrrinne egeben: = 50 KN, α 1 = 30, α 2 = 15 esucht: und R, wenn der Tanker in der Fahrrinne bleiben soll α 1 Fahrrinne y x α 2 10

11 3.2 leichgewicht von Kräften Ein Körper befindet sich im statischen leichgewicht, wenn die auf ihn einwirkenden Kräfte sich gegenseitig aufheben. F 3 P f 2 F 4 F 4 R Krafteck F 3 f4 f 3 f 1 Kräfteplan Kräfte mit gemeinsamen Schnittpunkt heben sich auf, wenn ihre Resultierende verschwindet, d. h. das Krafteck geschlossen ist. Alle Kräfte besitzen beim leichgewicht den gleichen Umlaufsinn. 11

12 3.2.1 rafische Behandlung Ein zentrales Kräftesystem befindet sich im statischen leichgewicht, wenn das Krafteck geschlossen ist Mit der leichgewichtsbedingung lassen sich für ein ebenes, zentrales Kräftesystem stets zwei unbekannte rößen ermitteln: Zwei unbekannte Kräfte Zwei unbekannte Richtungen unbekannter Betrag und unbekannte Richtung Die Ermittlung der leichgewichtskräfte erfolgt grafisch durch vektorielle Addition der angreifenden Kräfte und Bestimmung der unbekannten Kräfte bzw. Richtungen aus der Bedingung, dass das Krafteck im Kräfteplan geschlossen ist. Mehr als zwei unbekannte rößen lassen sich mit der leichgewichtsbedingung für ein ebenes, zentrales Kräftesystem nicht ermitteln. 12

13 Beispiel: ewicht an zwei Seilen Kräfteplan S 2 S 1 =30 N Beispiel: ewicht an drei Seilen Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N S 3 S 2 S 1 13

14 Beispiel: Spannvorrichtung egeben: Seilkraft S = 300 N esucht: Feder- und Stabkräfte Umlenkrolle Spannrolle S f r s r 1 s r 2 s r 3 Seil Feder S Kräfteplan Kraftmaßstab: 1 cm = 100 N 14

15 Beispiel: Seilzug egeben: 1 = 2 = 50 N, 3 = 60 N esucht: Seilwinkel α und β A S 1 α S 3 β B =S 1 =50N 2 =50N 3 =S 3 = 60N 1 Kräfteplan Kraftmaßstab: 1 cm = 20 N 15

16 Beispiel: Seilaufhängung egeben: F = 4 kn, = 2 kn, α = 45 esucht: β, S, S 1 und S 2 Kräfteplan B A y S 2 S 1 α S β C F F x F Kraftmaßstab: 1 cm = 1 kn 16

17 Übung: Kugeln in zylindrischer Aufnahme egeben: = 25 N esucht: Kontaktkräfte f r 2 f r 1 m f r 1 f r 2 g r f r 3 f r 4 f r 2 g m f r 3 f r 4 Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N 17

18 3.2.2 Rechnerische Behandlung Aus der Forderung eines geschlossenen Kraftecks ergibt sich für die leichgewichtsbedingung eines zentralen Kräftesystems, dass die Resultierende verschwindet: R = F n = F i = 0 n R x = F ix i= 1 = 0 n i= 1! Die Resultierende ist dann Null, wenn ihre skalaren Komponenten Null sind: n R y = F iy i= 1 = Ein zentrales Kräftesystem befindet sich im leichgewicht, wenn die Summe der Kräfte in den Koordinatenrichtungen jeweils für sich verschwindet. Die Orientierung der unbekannten Kräfte wird im zunächst willkürlich festgelegt. Ergibt die Rechnung einen negativen Betrag der Kraft, so ist die tatsächliche Kraftrichtung entgegengesetzt der angenommenen. 0 18

19 Beispiel: Last an zwei Seilen egeben: = 30 N, α = 45, β = 30 esucht: Seilkräfte S 1 und S 2 S 2 S 1 β =30 α = 45 y x =30 N 19

20 Beispiel: Seilaufhängung egeben: F = 9 kn = 3 kn, α = 60 esucht: β, S, S 1 und S 2 B A y S 2 S 1 α S β x F C Hinweis: tan β=sin β/cos β 20

21 Übung: Kugeln in zylindrischer Aufnahme egeben: = 25 N esucht: Kontaktkräfte Freikörperbilder leichgewichtsbedingung f r 2 r f r 1 g r g r 3r α r 2r cos = r α = 0,5 2 r α = 60 f r 3 f r 4 f r 2 21

22 Ergänzung: Kugeln in prismatischer Aufnahme egeben: 1 = 20 N, 2 = 30 N esucht: Kontaktkräfte 2 f r 4 m 2 2 m 1 1 f r 1 f r 2 1 f r 2 fr 1 g r 1 F 4 f r 1 f r 3 g r 2 f r 4 F 3 Kräfteplan Kraftmaßstab: 1 cm = 10 N f r 3 g 1 f r f r N 19 N F 3 48 N F 4 49 N f r 3 2 f r 4 22

23 ...Fortsetzung egeben: 1 = 20 N, 2 = 30 N, α = 60 esucht: Kontaktkräfte eometrie 2 2r 1 f r 4 f r 3 r f r 1 3r β δ r y α f r 3 2r α x sin = r δ = 3 r δ = arcsin = 19, 5 β = α δ = 45 19,5 = 25,

24 Freikörperbilder 1 =20 N y x 2 =30 N f r 3 f r 1 g r 2 f r 2 fr 1 g r 1 F 4 F 3 f r 4 F x = 0 = F1 2 cosβ F cosα F y = 0 = F2 sinα + F1 sinβ 1 sinα F1 cos β + F1 sin β 1 = 0 cosα 1 F1 = sin β + cos β tanα 20 = = 15 N sin 25,5 + cos 25,5 tan 45 cos β cos 25,5 F2 = F1 = 15 = 19, 2 N cos α cos 45 F x = 0 = F4 F1 cos β F3 cosα F y = 0 = F3 sinα F1 sinβ 2 F1 sin β sin 25, F3 = = = 48, 9 N sinα sin 45 F4 = F1 cos β + F3 cosα = 48, 1N 24