Umwelt-Campus Birkenfeld. der Fachhochschule Trier. Technische Mechanik I. Prof. Dr.-Ing. T. Preußler. 2. Grundlagen. 2.

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1 2. Grundlagen 1

2 2.1 Mathematische Grundbegriffe In der Mechanik treten folgende mathematische Größen auf: Skalare Richtungsunabhängige Größen, definiert durch Maßzahl und Einheit (Länge, Zeit, Arbeit, Leistung usw.) Vektoren: Richtungsabhängige Größen, definiert durch Maßzahl, Einheit, Richtung und Orientierung (Geschwindigkeit, Kraft, Moment, Impuls usw.) Tensoren: Richtungsabhängige Größen, die bestimmte Eigenschaften besitzen (Spannungen, Dehnungen) 2

3 2.1.1 Koordinatensysteme Die Wahl des Koordinatensystems richtet sich nach der Art der Aufgabenstellung. Man unterscheidet: kartesisch zylindrisch polar z P (a,b,c) z P (r,ϕ,c) z P (r,ϕ,ρ) y y r y 0 a c 0 ϕ r c 0 ρ ϕ b x x x Am häufigsten werden rechtwinklig kartesische Koordinatensysteme verwendet. Die Achsen bilden in der Reihenfolge x, y und z ein sog. rechtshändiges System und werden als Abszisse, Ordinate und Applikate bezeichnet 3

4 2.1.2 Vektoren Die Behandlung gerichteter Größen erfolgt mathematisch durch die Vektorrechnung. Allgemein wird ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt. Ein Vektor ist gekennzeichnet durch: Richtung (Wirkungslinie) Betrag (Länge) Orientierung (Pfeilspitze) Vektor A a Wirkungslinie E Jeder Vektor besitzt auf seiner Wirkungslinie einen Anfangs- und einen Endpunkt. 4

5 Gleichheit von Vektoren Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie den gleichen Betrag, die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung haben. Vektor a Vektor b a = b reie Vektoren können beliebig parallel verschoben werden, linienflüchtige Vektoren sind an Ihre Wirkungslinie gebunden. Ortsvektoren sind fest mit einem Punkt verbunden. 5

6 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar λ liefert einen Vektor a r, dessen Länge das λ-fache des Betrages von b r ist. Ist λ < 0, kehrt sich dessen Orientierung um. Ein Vektor der Länge 1 wird als Einheitsvektor e r bezeichnet. Man erhält den Einheitsvektor von a r, indem er durch seinen Betrag a dividiert wird. = e a r a Umgekehrt lässt sich jeder Vektor a r als Produkt seines Betrages a mit dem gleichgerichteten Einheitsvektor darstellen: a = a e 6

7 Addition und Subtraktion von Vektoren Zwei Vektoren a r und b r werden addiert, indem der Anfangspunkt des Vektors b r in den Endpunkt des Vektors a r parallel verschoben wird. Der Verbindungspfeil vom Anfangspunkt des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors ergibt den Summenvektor c r. Dabei zeigt die Spitze von c r immer auf die Spitze von b r. b r a r b r a r c = a+ b c = a+ b Der Summenvektor c r kann auch als Hauptdiagonale des von a r und b r aufgespannten Parallelogramms angesehen werden. a r b r 7

8 Zwei Vektoren und werden subtrahiert, indem der Anfangspunkt des Vektors b r a r b r in den Endpunkt des Vektors a r parallel verschoben und die Orientierung von b r invertiert wird. Die Subtraktion ist somit die Umkehrung der Addition. Der Verbindungspfeil vom Anfangspunkt des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors ergibt den Differenzvektor. d r a r b r d = a b b r a r Der Differenzvektor d r kann auch als Nebendiagonale des von a r und b r aufgespannten Parallelogramms angesehen werden. b r a r b r d = a b 8

9 Skalare Multiplikation zweier Vektoren Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren a r und b r versteht man das Produkt der beiden Beträge multipliziert mit dem Cosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels. a r a r α b r a b = α = a, a b cosα b b r Das Ergebnis der skalaren Vektormultiplikation ist ein Skalar. Der Operator des Skalarproduktes ist ein Punkt (Punktprodukt oder inneres Produkt). 9

10 Vektorielle Multiplikation zweier Vektoren Bei der vektoriellen Multiplikation zweier Vektoren a r und b r entsteht ein neuer Vektor c r, der senkrecht auf a r und b r steht und mit diesen ein Rechtssystem bildet. c = a b a r α h b r Der Betrag von c r ergibt sich aus dem Produkt der Beträge von a r und b r multipliziert mit dem Sinus des eingeschlossenen Winkels. Er entspricht dem lächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Trapezes. Das Ergebnis der vektoriellen Multiplikation ist ein Vektor. Der Operator des Vektorproduktes ist ein Kreuz (Kreuzprodukt oder äußeresprodukt). c = h b α = a, = a b sinα b 10

11 Darstellung von Vektoren in kartesischen Koordinaten In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich ein Vektor durch seine Komponenten als Projektion auf die Koordinatenachsen darstellen. z e r z 0 e r x a r x e r y ar a r y a r z y a = a x + a y + a Mit den in Koordinatenrichtung definierten Basisvektoren e r, e r und e r lässt sich ein Vektor in der Basisdarstellung a = a x e x + a y e y z + a z x e z y z x mit den skalaren Komponenten a x, a y und a z des Vektors a r schreiben. 11

12 Da die Basisvektoren in ihrer Richtung durch das Koordinatensystem festgelegt sind und immer den Betrag eins haben, können sie weggelassen werden. Damit lässt sich ein Vektor nur durch seine skalaren Komponenten als Zeilenvektor [ a, a a ] a =, eindeutig beschreiben. x y z oder Spaltenvektor a a = a a x y z Der Betrag eines Vektors ergibt sich aus dem Satz von Pythagoras: a = a + a + 2 x 2 y a 2 z 12

13 2.2 Mechanische Grundbegriffe In der Statik werden Kräfte an starren Körpern bestimmt, d. h. Verformungen werden nicht berücksichtigt. Auf einem starren Körper ändert sich der Abstand zweier Punkte unter beliebiger Krafteinwirkung nicht. Dies stellt eine Idealisierung dar, da reale Bauteile sich immer unter der Wirkung von Lasten verformen. Die Annahme ist zulässig, wenn die Verformungen klein sind im Vergleich zu den Abmessungen des Bauteils, was für die meisten technischen Werkstoffe (Stahl, Aluminium, Holz) zutrifft. Sie ist unzulässig, wenn sich durch die Verformung die Richtung der angreifenden Kräfte oder die Querschnitte stark ändern. 13

14 2.2.1 Kräfte Der Begriff der Kraft wurde aufgrund von Erfahrungstatsachen geprägt (z. B. Muskelkraft). Eine Kraft kann nicht beobachtet werden, sie zeigt sich nur aufgrund ihrer Wirkung, z. B. durch die Verlängerung einer eder unter der Wirkung einer Gewichtskraft G g Die Einheit der Kraft ist das Newton [N]. 1 N = 1 kgm/s 2 G 14

15 Zugkräfte sind positiv (+), Druckkräfte negativ (-) definiert. (+) (-) Zug Druck Man unterscheidet je nach Dimension der Wirkung Volumenkräfte (Schwerkraft, Auftrieb) lächenkräfte p (Druck, Pressung) Linienkräfte q (Schneiden, Stanzen) Punktkräfte (Lochen) Linien- und Punktkräfte werden oft als idealisierte Belastungen verwendet. p G g ~ 15

16 Weiterhin lassen sich Kräfte einteilen in Äußere Kräfte, G (eingeprägte Lasten) Reaktionskräfte R (Auflagerkräfte) Schnittkräfte S (innere Kräfte) Äußere Kräfte werden als Belastungen bezeichnet. Reaktionskräfte wirken in Lagerungen oder Abstützungen, mit der ein belastetes Bauteil fixiert wird. Schnittkräfte treten im Inneren von Bauteilen auf. Aus den Schnittkräften werden die Beanspruchungen (z. B. Spannungen) eines Bauteils ermittelt. Schnittkräften und Reaktionskräfte treten nach außen nicht auf. Sie werden erst sichtbar durch ein gedankliches Schneiden der Struktur (reimachen). Die Bestimmung von Reaktions- und Schnittkräften ist eine wesentliche Aufgabe der Statik. 16

17 2.2.2 Axiome der Mechanik Axiome sind grundlegende Erkenntnisse, die nicht auf einfachere Gesetze zurückgeführt werden können. Sie sind nicht beweisbar, werden aber durch Erfahrungen bestätigt. Die Technische Mechanik beruht auf einer Reihe von Axiomen, die erstmals von Newton (1643 bis 1727) formuliert wurden Trägheitsaxiom Ein Körper, auf den keine Kräfte einwirken, verbleibt im Zustand er Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung. In der ormulierung von Newton lautet das Trägheitsaxiom p = m v = const. mit dem Impuls p r, der Masse m und der Geschwindigkeit v r. Das Trägheitsgesetz spielt in der Statik allerdings keine Rolle. 17

18 Wechselwirkungsaxiom Das Wechselwirkungsaxiom (Reaktionsaxiom) sagt aus, dass eine Wirkung stets mit einer Gegenwirkung verbunden ist Actio = Reactio Daraus folgt, dass Kräfte immer paarweise auftreten. = R R Z E Erde M Mond Z E = M Die entgegengesetzte Richtung der Kräfte wird durch das Vorzeichen festgelegt. 18

19 Gleichgewichtsaxiom Das Gleichgewichtsaxiom besagt, dass zwei Kräfte im Gleichgewicht sind, wenn sie auf der selben Wirkungslinie liegen, entgegengesetzt gerichtet und gleich groß sind Verschiebungssaxiom = Zwei Kräfte, die den gleichen Betrag, die gleiche Wirkungslinie und Orientierung, jedoch verschiedene Angriffspunkte haben, üben auf einen starren Körper die gleiche Wirkung aus (Linienflüchtigkeit) 0 2 A B 19

20 2.2.3 Äquivalenzprinzip Eine Gruppe von Kräften nennt man äquivalent (mechanisch gleichwertig) zu einer zweiten Gruppe von Kräften, wenn beide für sich an einem starren Körper die gleiche mechanische Wirkung hervorrufen. ür jeden starren Körper sind unendlich viele Kräftegruppen möglich, die zu einer gegebenen Kräftegruppe äquivalent sind Gleichgewichtsprinzip Das Gleichgewichtsprinzip der Statik sagt aus, dass ein starrer Körper dann im Gleichgewicht ist, wenn er sich im Zustand der Ruhe befindet. Das Gleichgewichtsprinzip kann aus dem Trägheitsaxiom abgeleitet werden und stellt eine Verallgemeinerung des Gleichgewichtsaxioms auf beliebig viele Kräfte dar. Mit dem Äquivalenz- und Gleichgewichtsprinzips lassen sich unbekannte Kräfte der Statik berechnen 20

21 2.2.5 Schnittprinzip Kräfte wirken im Inneren eines belasteten Körpers oder zwischen Teilen eines mechanischen Systems als olge äußerer Kräfte (z. B. in einem Seil unter Gewichtslast). Da Kräfte nach dem Wechselwirkungsaxiom immer paarweise auftreten, heben sie sich gegenseitig auf und treten nach außen nicht in Erscheinung. g G Innere Kräfte sind nicht unmittelbar messbar. So lassen sich Kräfte in dem Seil erst bestimmen, wenn nach einem Schnitt durch das Seil die Enden z. B. durch eine ederwaage verbunden werden. 21

22 Die inneren Kräfte werden zu äußeren und damit an den interessierenden Stellen bestimmbar gemacht durch die Anwendung des Schnittprinzips: Das Gleichgewicht eines mechanischen Systems bleibt bei einem gedachten Schnitt durch das System erhalten, wenn an der Schnittstelle als Ersatz für die entfernten Teile die auftretenden Schnittkräfte berücksichtigt werden. Dabei müssen die Schnittkräfte jeweils an beiden Schnittufern nach dem Wechselwirkungsaxiom mit gleichem Betrag, auf gleicher Wirkungslinie aber mit entgegengesetzter Orientierung eingetragen werden. Um festzulegen, welche Kräfte bei einem mechanischen System als äußere und welche als innere Kräfte auftreten, ist eine Abgrenzung des betrachteten Körpers durch eine geschlossene Linie (Systemgrenze) erforderlich. Man erhält das sog. reikörperbild eines Systems, bei dem alle mechanischen Bindungen gelöst sind und durch Schnittkräfte ersetzt werden. 22

23 Am Beispiel eines Schraubstocks soll das Schnittprinzip verdeutlicht werden: Systemgrenze Legt man eine Systemgrenze um den Schraubstock und das eingespannte Werkstück, treten die Spannkräfte nach außen nicht auf. Grenzt man hingegen das Werkstück durch eine Systemgrenze vom Schraubstock ab, muss die gelöste mechanische Bindungen durch die zugehörigen Schnittkräfte ersetzt werden. Die Spannkräfte werden zu äußeren Kräften, die sowohl auf das Werkstück als auch auf den Schraubstock wirkt. 23

24 Auch Reaktionskräfte in Lagern werden erst durch das Schnittprinzip sichtbar: A a r b r B R A R B gegenüber liegende Schnittufer Die Orientierung der eingetragenen Schnitt- und Reaktionskräfte ist grundsätzlich beliebig. Sie müssen jedoch die Bedingungen des Wechselwirkungsaxioms erfüllen, d.h an gegenüberliegenden Schnittufern gleichen Betrag, aber entgegengesetzte Orientierung besitzen. Üblicherweise werden Schnittkräfte als Zug-, Reaktionskräfte als Druckkräfte eingetragen. 24

25 Weitere Beispiele für das Schnittprinzip: a) Seile und Stäbe: S S 1 Seil G Stab 1 G Stab 2 Systemgrenze S 2 Seile können nur Zugkräfte, Stäbe Zug- und Druckkräfte in axialer Richtung aufnehmen. Eine Struktur mit zwei Endgelenken wird als Pendelstab oder Pendelstütze bezeichnet. Pendelstäbe treten auch in der Praxis häufig auf (Hubzylinder, Kurbeltriebe). 25

26 b) Seilrollen Rolle 2 Rolle 1 S 3 c Seil eder S 1 S3 Bei reibungsfrei drehbar gelagerten Rollen sind die Seilkräfte konstant. S 2 26

27 c) Kontakt zwischen Körpern G 2 g G 1 G 2 f r G f r 1 M 1 M 2 f r f r 2 2 Beim Kontakt zwischen Körpern mit glatter Oberfläche sind die Wirkungslinien aller Kontaktkräfte senkrecht zur Tangente ausgerichtet. Bei kreisförmigen Körpern gehen diese radial durch den Kreismittelpunkt. 27

28 d) Gelenksysteme S S B D B D D S A C A C C In Gelenken ist die Wirkungslinie der Kraft zunächst unbekannt. 28

29 e) Hebebühne D S g m G C S C C B A B B Lässt sich keine geschlossene Systemgrenze eintragen, wird diese durch einzelne Schnitte angedeutet. 29

30 e) Schaufelbagger C Hubzylinder 2 H 1 B H 1 H 2 C H 1 Hubzylinder 1 Strebe B A S S H 1 A B A 30