1. Einfache ebene Tragwerke

Transkript

1 Die Ermittlung der Lagerreaktionen einfacher Tragwerke erfolgt in drei Schritten: Freischneiden Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen Auflösen der Gleichungen Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

2 Beispiel: B Loslager Gegeben: a Gewicht G = 5000 N Höhe h = 3 m Abstand a = 2,5 m Gesucht: Kräfte in den Lagern A und B h G A Festlager Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

3 Freischneiden: Die Lager werden entfernt. B x B a Die Kräfte, die die Lager auf das Bauteil ausüben, werden eingezeichnet. Die Pfeilrichtung legt die positive Richtung fest. h G Ergibt die Rechnung einen negativen Zahlenwert, so wirkt die Kraft entgegen der Pfeilrichtung. A x A A y y x Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

4 Gleichgewichtsbedingungen: Zur Bestimmung der 3 unbekannten Kräfte Ax, A y und B x stehen die 3 Gleichgewichtsbedingungen zur Verfügung: F x =0 : A x B x =0 A x =B x F y =0 : A y G=0 A y =G M A =0 : h B x a G=0 B x = a h G Zahlenwerte: A x =B x = 2, N=4167N, A y=5000 N Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

5 Beispiel: Kragbalken Freischnitt: L A x A y L A F α M A A y x F α Gegeben: L, F, α Gesucht: Lasten an der Einspannung A Gleichgewichtsbedingungen: F x =0 : F cos(α) A x =0 F y =0 : A y F sin(α)=0 M A =0 : M A L F sin (α)=0 Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

6 : Auflösen: F x =0 A x =F cos(α) F y =0 A y =F sin (α)=0 M A =0 M A =L F sin (α) Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

7 Wichtige Anmerkungen: Das Bauteil, für das die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden, muss komplett freigeschnitten sein. Es muss möglich sein, das freigeschnittene Bauteil in Gedanken beliebig zu verschieben. Die Gleichgewichtsbedingungen beziehen sich auf einen Freischnitt. Gleichgewichtsbedingungen ohne zugehörigen Freischnitt sind sinnlos! Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

8 Eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte: Eingeprägte Kräfte sind vorgegebene Kräfte wie z.b. Gewichtskraft, Winddruck oder Schneelast. Reaktionskräfte sind Zwangskräfte, die dadurch entstehen, dass die Bewegungsfreiheit des Körpers durch die Lager und Gelenke eingeschränkt wird. Beim Freischneiden werden die Lager durch die dort auftretenden Reaktionskräfte ersetzt. Die Reaktionskräfte werden durch die eingeprägten Kräfte verursacht. Werden die eingeprägten Kräfte entfernt, dann verschwinden auch die Reaktionskräfte. Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

9 Lager: Lager verhindern Bewegungen. Für jede verhinderte Verschiebung ist im Freischnitt eine unbekannte Kraft einzuzeichnen. Für jede verhinderte Verdrehung ist im Freischnitt ein unbekanntes Moment einzuzeichnen. Der Richtungssinn kann frei gewählt werden. Der gewählte Richtungssinn definiert den Richtungssinn einer positiven Kraft bzw. eines positiven Moments. Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

10 Die Wertigkeit eines Lagers gibt an, wie viele Bewegungsmöglichkeiten das Lager verhindert: Ein 1-wertiges Lager verhindert eine Bewegungsmöglichkeit. Es tritt eine Reaktionslast auf. Ein 2-wertiges Lager verhindert zwei Bewegungsmöglichkeiten. Es treten zwei Reaktionslasten auf. Ein 3-wertiges Lager verhindert drei Bewegungsmöglichkeiten. Es treten drei Reaktionslasten auf. Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

11 Feste Einspannung: Festlager: Loslager: Glatte Wand: Seil: Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

12 Statisch bestimmte Lagerung: Eine Lagerung heißt statisch bestimmt, wenn sich die Lagerreaktionen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen lassen. Wenn die Gleichgewichtsbedingungen nicht zur Bestimmung der Lagerreaktionen ausreichen, heißt die Lagerung statisch unbestimmt. Bei ebenen Tragwerken gilt: Treten 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk statisch bestimmt gelagert. Treten mehr als 3 Lagerreaktionen auf, so ist das Tragwerk statisch unbestimmt gelagert. Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

13 Beispiel: statisch bestimmt: statisch unbestimmt: 3 Lagerreaktionen 4 Lagerreaktionen Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM

14 Unzureichende Lagerung: Die angegebenen Regeln gelten nur, wenn das Tragwerk so gelagert ist, dass keine Bewegungen mehr auftreten können. F y x Das abgebildete Tragwerk kann sich in x-richtung bewegen. Ein Kräftegleichgewicht in x-richtung ist nicht möglich. Die drei unbekannten Lagerkräfte können aus den beiden verbleibenden Gleichgewichtsbedingungen nicht ermittelt werden. Prof. Dr. Wandinger 3. Tragwerksanalyse TM