2. Die Steifigkeitsmatrix

Transkript

1 . Die Steifigkeitsmatrix Freiheitsgrade der Gesamtstruktur: Bei einem ebenen Fachwerk hat jeder Knoten zwei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u x und u y, zu denen die Kräfte F x und F y gehören. y 5 F 6y F 6x u 7y 6 7 u 7x x Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-1

2 . Die Steifigkeitsmatrix Die Verschiebungen werden in der Verschiebungsmatrix und die Kräfte in der Lastmatrix ]=[ zusammengefasst: F 1 x F 1 y F x y], [ F F y F 7 x F 7 x u 1 y u x [u ]=[u1 y] u y u 7 x u 7 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-

3 Assemblierung:. Die Steifigkeitsmatrix Für jeden Knoten muss das Kräftegleichgewicht erfüllt sein. Am Knoten greifen die Stabkräfte sowie die äußeren Kräfte an. Die Stabkräfte können über die Elementsteifigkeitsmatrizen aus den Verschiebungen berechnet werden. Dazu müssen zunächst die Verschiebungen an den beiden Knoten des Stabelements aus der Verschiebungsmatrix extrahiert werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-3

4 . Die Steifigkeitsmatrix Beispiel: Element y u y u 3y u x u 3x x u y u 3y 1 u x u 3x Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-4

5 [u1. Die Steifigkeitsmatrix x 1 [ u ]=[u u y 1 u 3 x 1 u 3 y]=[ ] 1 [a ] x u 1 y u x u y u 3 x u y] 3 y u 4 x u 4 y u 5 x u 5 y u 6 x u 6 y u 7 x u 7 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-5

6 . Die Steifigkeitsmatrix In Matrix-Schreibweise gilt: [u E ]=[a E ] [u ] Nun können die am Stabelement angreifenden Kräfte berechnet werden: [ F E ]=[ k E ] [u E ] Das sind die Kräfte, die die beiden Knoten auf das Stabelement ausüben. Diese Kräfte werden nun zu den Kräften, die die beiden Knoten auf die anderen angeschlossenen Stäbe ausüben, addiert. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-6

7 . Die Steifigkeitsmatrix Beispiel: Element y F y F 3y F x F 3x x F 1y + F y 1 F 1x F x Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-7

8 [ F x F y F 3 x ] F 3 y = ] [ Die Steifigkeitsmatrix [ F 1 x F 1 y ] F x F y In Matrix-Schreibweise gilt für die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben: [ F S ]= E = E Die Matrix [a E ] T [ F E ] [a E ] T [ k E ] [a E ] [ K ]= E [u ]=[ K ] [u ] [a E ] T [ k E ] [a E ] ist die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-8

9 . Die Steifigkeitsmatrix Die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur beschreibt eine lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen der Knoten und den Kräften, die die Knoten auf die Stäbe ausüben. Die Kräfte, die die Stäbe auf die Knoten ausüben, sind entgegengesetzt gleich groß wie die Kräfte, die die Knoten auf die Stäbe ausüben. Sie müssen im Gleichgewicht mit den äußeren Kräften sein: [ F S ] [ F ]=[ ] [ F S ]=[ F ] [ K ] [u ]=[ F ] Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-9

10 . Die Steifigkeitsmatrix Die praktische Assemblierung der Steifigkeitsmatrix erfolgt durch direkte Addition der Elemente der Elementsteifigkeitsmatrizen zu den entsprechenden Elementen der Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur: y x Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-1

11 . Die Steifigkeitsmatrix 1 1 [ K ] [ k 5 ] 6 6 1x 1y x y x / 3 y / 4 6x / 11 6y / 1 1x x / 3 ( 3, 3) ( 3, 4) ( 3, 11) ( 3, 1) 1y y / 4 ( 4, 3) ( 4, 4) ( 4, 11) ( 4, 1) x 6x / 11 ( 11, 3) ( 11, 4) ( 11, 11) ( 11, 1) y 6y / 1 ( 1, 3) ( 1, 4) ( 1, 11) ( 1, 1) Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-11

12 Eigenschaften:. Die Steifigkeitsmatrix Aus der Symmetrie der Steifigkeitsmatrizen der Stabelemente folgt, dass auch die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur symmetrisch ist. Die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur ist in der Regel dünn besetzt, d.h. jede Spalte enthält nur wenige Elemente, die von null verschieden sind. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-1

13 Interpretation:. Die Steifigkeitsmatrix Multiplikation der Steifigkeitsmatrix mit einer vorgegebenen Verschiebungsmatix ergibt die Kräfte, die nötig sind, um der Struktur diese Verschiebungen aufzuprägen: ]=[ K 11 K 1 K 1n K [ F 1 K K n u n]=[ K K 1 K 1 n K u K n ]u [ K n ]u n K nn K n1 K n K nn ][u [ K 1 K n1]u Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-13

14 . Die Steifigkeitsmatrix Eine Spalte der Steifigkeitsmatrix enthält die Kräfte, die nötig sind, um dem entsprechenden Freiheitsgrad eine Einheitsverschiebung aufzuprägen, wenn alle anderen Verschiebungen null sind: y 3 4 x Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-14

15 . Die Steifigkeitsmatrix ]=[ 1 [ u ]=[, [ F ]mm N ] 1 x 1 y x y 3 x 3 y 4 x 4 y 5 x 5 y 6 x 6 y 7 x 7 y Eine Spalte der Steifigkeitsmatrix enthält nur in den Zeilen von null verschiedene Werte, die Knoten entsprechen, die mit dem zu der Spalte gehörenden Knoten durch einen Stab verbunden sind. Die Steifigkeitsmatrix ist daher dünn besetzt. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-15

16 . Die Steifigkeitsmatrix Starrkörperbewegungen: Verschiebungen, bei denen keine elastischen Kräfte auftreten, werden als Starrkörperbewegungen bezeichnet. Für Starrkörperbewegungen gilt: Translationen: [ K ] [u r ]=[] Wird das Fachwerk als ganzes in x- oder y-richtung verschoben, treten keine elastischen Kräfte auf, da sich die Längen der Stäbe nicht ändern. Rotationen: Wird das Fachwerk als ganzes in der xy-ebene gedreht, treten ebenfalls keine elastischen Kräfte auf, da sich die Längen der Stäbe nicht ändern. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-16

17 Mechanismen:. Die Steifigkeitsmatrix Bei einem Mechanismus bewegt sich nur ein Teil des Bauteils wie ein starrer Körper. Bei dem dargestellten Fachwerk kann sich z.b. der Stab zwischen den Knoten 1 und um den Knoten drehen: 5 y x 3 4 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-17

18 . Die Steifigkeitsmatrix Linearisierte Rotationen: In einer linearen Rechnung werden Verschiebungen und Drehungen als klein angenommen. Bei einer Drehung bewegen sich die Knoten daher in erster Näherung auf Tangenten an die Kreisbahn. Das ist zu berücksichtigen, wenn Mechanismen durch Lager verhindert werden sollen. Bei einer linearisierten Drehung um Knoten bewegt sich Knoten 1 auf einer senkrechten Linie in y-richtung. Um diesen Mechanismus zu verhindern, muss die y-verschiebung von Punkt 1 durch ein Lager unterdrückt werden. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-18

19 . Die Steifigkeitsmatrix Elastische Energie: Dem Fachwerk wird die zeitabhängige Verschiebung aufgeprägt. [u t ]=[ u ] f t Von der Funktion f t wird gefordert: Die Funktion ändert sich so langsam mit der Zeit, dass Trägheitskräfte vernachlässigt werden können. Dann befindet sich das Fachwerk zu jedem Zeitpunkt im statischen Gleichgewicht. f = und f T =1 Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-19

20 Für die Leistung gilt:. Die Steifigkeitsmatrix P E =v 1 t F 1 t v t F t v ][ n t F n t F 1 t F =[v 1 t v t v n t t T v t ] F n t ]=[ [ F t ] = ḟ t [ u ] T [ K ] [u ] f t =[u ] T [ K ] [u ] f t ḟ t Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-

21 . Die Steifigkeitsmatrix Für die in der Zeit von bis T verrichtete Arbeit gilt: T W E = T P E t dt=[u ] T [ K ] [u ] Diese Arbeit ist gleich der im System gespeicherten elastischen Energie: E E =W E = 1 [ u ] T [ K ] [u ] f t ḟ t dt= 1 [ u ] T [ K ] [u ] Die elastische Energie ist immer positiv. Sie ist null für Starrkörperbewegungen. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM 1.-1