mit "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor"
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- Gundi Lorenz
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1 Zusammenfassung Matrizen Transponierte: Addition: mit Skalare Multiplikation: Matrixmultiplikation: m x p m x n n x p mit ES "Skalarprodukt" aus i-tem "Zeilenvektor" und j-tem "Spaltenvektor" "Determinante" einer 2x2 Matrix: Fortsetzung: Einfaches Kriterium dafür, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden: 3x3 Matrizen: Die Spaltenvektoren sind linear unabhängig, falls sie nicht in einer Ebene liegen, d.h., falls ihr Spatprodukt ungleich 0 ist. (Spatprodukt = Volumen des Parallelipeds) Definition: "Determinante" einer 3x3 Matrix: Paralleliped det A 0 Spaltenvektoren sind linear unabhängig existiert
2 Explizit: "Merkregel des Sarrus für 3x3 Determinanten": + für Produktbildung links oben nach rechts unten: - für Produktbildung links unten nach rechts oben: Def: Determinante einer nxn Matrix: Sei Summe über alle n! Permutationen der natürlichen Folge sign P = "Vorzeichen der Permutation" = für gerade ungerade Anzahl v. Transpositionen Beispiele für Permutationen: P(123) Anzahl Transpositionen sign P Satz (ohne Beweis): Entwicklung einer Determinanten nach Zeile i oder Spalte j Die Determinante von lässt sich wie folgt berechnen: Entwicklung nach Zeile i: (i= 1,..., n beliebig) Entwicklung nach Spalte j: (j= 1,..., n beliebig) Def.: "algebraische Komplement zu Def: "Unterdeterminante": Determinante der (n-1)x(n-1) Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht
3 Beispiel: 3x3 Determinante, entwickelt nach Spalte 1: Trick: wähle Zeile oder Spalte mit möglichst vielen Nullen, das beschleunigt die Berechnung der Determinanten erheblich! Eigenschaften von Determinanten Im Folgenden sei Notation: (i) Transponierte: Beweisidee: (4) & (5) enthalten, nach Ausführen der Summe über alle Permutationen P, genau dieselben Terme mit denselben Vorzeichen, sind also gleich. Konsequenz: alle Aussagen für Determinanten, die im folgenden für Spaltenvektoren einer Matrix gemacht werden, gelten auch für Reihenvektoren einer Matrix.
4 (ii) "Multilinearität": linear für jede Spalte [und für jede Zeile, wegen (25.6)] Sei j-te Stelle j-te Stelle Beweisidee: nach (22.3) enthält jeder der n! Summanden in det A genau ein Element aus jeder Zeile bzw. jeder Spalte von A. Für jedes solche Element gilt Linearität: Explizit für 3x3: Multilinearität imliziert: da jede der n Spalten einen Faktor liefert.
5 (iii) Vorzeichenwechsel bei Vertauschen von Spalten: Beweisidee: die rechte Seite liefert genau dieselben n! Terme wie die Linke, aber benötigt für jeden Term eine ungerade Anzahl Transposition mehr oder weniger, sodass sich sign(p) umkehrt. Explizit für 3x3: (iv) Sind zwei Spalten oder zwei Zeilen gleich, ist Beweis: (28.1) mit i = j: Konsequenz (iv)1: addiert man zu einer Spalte (Zeile) die mit einer Zahl multiplizierten Glieder einer anderen Spalte (Zeile), ändert sich die Determinante nicht: zwei gleiche Spalten: Konsequenz (iv)2: Entwicklung der Determinante v. A nach Spalte j: Betrachte nun Spalte i Spalte j (zwei gleiche Spalten!) Analoges Argument für liefert:
6 (v) Multiplikationstheorem: (Beweis: siehe Lineare Algebra Vorlesung) (vi) Einheitsmatrix: Folgt direkt vom Entwicklungsatz (23.2), in dem nur ein Term ungleich 0 ist: (2) folgt auch aus (1), mit (vii) Inverse: Beweis: (viii) Satz: Existenz und Konstruktion der Inversen: Existenz: existiert genau dann, wenn Konstruktion: Die inverse Matrix ist explizit gegeben durch: (Beachte Anordnung der Indizes!) Beweis: berechne Matrixelemente von (analog für ): falls denn falls denn
7 (ix) Konsequenzen von det(a) = 0: existiert nicht Spaltenvektoren v. sind nicht linear Unabhängig und bilden keine Basis f. Reihenvektoren v. sind nicht linear Unabhängig und bilden keine Basis f. Matrizen als lineare Abbildungen, Drehungen Sei mit Explit nach Komponenten zerlegt: Die Komponenten v. sind Linearkombinationen der Komponenten v. vermittelt eine lineare Abbildung: Welche Abbildungen lassen Längen und Relativwinkel, also Skalarprodukte, invariant? Forderung: Skalarprodukt sei invariant: (5) ist erfüllt falls:
8 Dasselbe Argument in einer anderen, üblichen Schreibweise: Spaltenvektor: Reihenvektor: Analog: 1xn Matrix nx1 Matrix Forderung (33.4): (wie 33.6) Definition: "Orthogonale Matrizen": Die Matrix ist "orthogonal" falls oder (äquivalente Def.) falls In Komponenten: i-te Spalte, j-te Spalte v. D Fazit: die Spaltenvektoren einer orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. (Dasselbe gilt für die Zeilenvektoren.) Orthogonale Matrizen haben Determinante oder Beweis: Folgerung [aus (31.3)]: Orthogonale Matrizen sind invertierbar (weil )
9 Gruppeneigenschaften von orthogonalen Matrizen: Zur Erinnerung: Zitat von Seite V17: Definition: Eine "Gruppe" ist eine Menge G ausgestattet mit einer binären Verknüpfung, und folgenden Eigenschaften: i) assoziativ: ii) neutrales Element: iii) inverses Element: Orthogonale Matrizen bilden eine Gruppe unter Matrixmultiplikation die "orthogonale Gruppe": Beweis: (0) Orthogonale Matrizen sind abgeschlossen unter Matrixmultiplikation: Seien und orthogonal. Dann gilt dasselbe für denn: (i) Matrixmultiplikation ist assoziativ [siehe (11.1)] (ii) Das neutrale Element ist orthogonal. (iii) Sei und orthogonal. Dann gilt dasselbe für denn: somit erfüllt (35.2).
10 Orthogonale Matrizen mit bilden eine Untergruppe: die "spezielle orthogonale Gruppe": SO(n) ist eine "Untergruppe" von O(n), also geschlossen, denn falls gilt auch SO(n)-Matrizen beschreiben "Drehungen". Alle anderen Matrizen in O(n), d.h. alle mit, beinhalten auch Spiegelungen.
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